Страница 63 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

238. На отрезке $AB$ отметили точку $C$. Расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$ составляет 12 см. Какова длина отрезка $AB$?

Пусть $M$ — середина отрезка $AC$, а $N$ — середина отрезка $BC$.

По условию задачи, расстояние между точками $M$ и $N$ равно 12 см, то есть $MN = 12$ см.

По определению середины отрезка, длина отрезка $MC$ составляет половину длины отрезка $AC$. Математически это можно записать так:

$MC = \frac{AC}{2}$

Аналогично, длина отрезка $CN$ составляет половину длины отрезка $BC$:

$CN = \frac{BC}{2}$

Точка $C$ лежит на отрезке $AB$. Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, а точка $N$ — на отрезке $BC$. Следовательно, расстояние $MN$ равно сумме длин отрезков $MC$ и $CN$:

$MN = MC + CN$

Теперь подставим выражения для $MC$ и $CN$ в эту формулу:

$MN = \frac{AC}{2} + \frac{BC}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$MN = \frac{1}{2}(AC + BC)$

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, сумма длин отрезков $AC$ и $BC$ равна длине всего отрезка $AB$:

$AC + BC = AB$

Подставив это в предыдущее уравнение, получим:

$MN = \frac{1}{2}AB$

Из условия мы знаем, что $MN = 12$ см. Подставим это значение:

$12 = \frac{1}{2}AB$

Чтобы найти длину $AB$, умножим обе части уравнения на 2:

$AB = 12 \cdot 2$

$AB = 24$ см.

Ответ: 24 см.

239. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки $A (1)$, $B (7)$, $C (3)$, $D (9)$. На этом же луче отметьте точки, которые удалены от точки $B$:

1) на три единичных отрезка;

2) на восемь единичных отрезков. Найдите координаты этих точек.

Сначала начертим координатный луч и отметим на нём точки с заданными координатами: A(1), B(7), C(3), D(9). Координатный луч — это луч, на котором выбрано начало отсчёта (точка О с координатой 0), единичный отрезок и направление.

Теперь найдём точки, которые удалены от точки B(7). Чтобы найти точки, удалённые от данной точки на определённое расстояние, нужно к координате этой точки прибавить и вычесть заданное расстояние.

1) на три единичных отрезка

Ищем точки, удалённые от точки B(7) на 3 единичных отрезка.

Первая точка будет находиться правее точки B. Её координата равна сумме координаты точки B и расстояния: $7 + 3 = 10$.

Вторая точка будет находиться левее точки B. Её координата равна разности координаты точки B и расстояния: $7 - 3 = 4$.

Обе полученные координаты (4 и 10) являются положительными числами, значит, обе точки лежат на координатном луче.

Ответ: 4 и 10.

2) на восемь единичных отрезков

Ищем точки, удалённые от точки B(7) на 8 единичных отрезков.

Первая точка будет находиться правее точки B. Её координата: $7 + 8 = 15$.

Вторая точка должна находиться левее точки B. Её координата: $7 - 8 = -1$.

Однако, координатный луч содержит только неотрицательные числа (начинается с 0 и идёт вправо). Точка с координатой $-1$ не принадлежит координатному лучу. Следовательно, существует только одна такая точка на данном луче.

Ответ: 15.

240. Во сколько раз путь по лестнице с первого этажа на десятый длиннее, чем путь с первого этажа на второй?

Для решения этой задачи нужно посчитать количество лестничных пролетов, которые необходимо преодолеть в каждом из двух случаев. Путь измеряется именно количеством пролетов между этажами, а не номерами этажей.

1. Чтобы подняться с первого этажа на второй, нужно пройти расстояние в один лестничный пролет. Это можно рассчитать как разность номеров этажей: $2 - 1 = 1$ пролет.

2. Чтобы подняться с первого этажа на десятый, нужно пройти расстояние от первого до второго этажа, от второго до третьего и так далее до десятого. Общее количество пролетов равно: $10 - 1 = 9$ пролетов.

3. Теперь, чтобы определить, во сколько раз путь на десятый этаж длиннее, чем на второй, нужно разделить количество пролетов во втором случае на количество пролетов в первом:

$\frac{9}{1} = 9$

Таким образом, путь по лестнице с первого этажа на десятый в 9 раз длиннее, чем путь с первого этажа на второй.

Ответ: в 9 раз.