Страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

234. Заполните имеющиеся пропуски в таблице, в которой приведены данные о выступлениях российских школьников на международных математических олимпиадах в 2006–2015 гг.

2) $(0 + 505) (6)$

$(0 + 10 + 36) (8)$

$(0 + 40 + 50) (8)$

Для заполнения пропусков в таблице будем исходить из того, что сумма золотых, серебряных и бронзовых медалей за каждый год равна итоговому значению в столбце "Итого". Как видно из заполненных ячеек, общее количество медалей, завоеванных командой за год, всегда равно 6. Примем это значение для всех лет.

Словения, 2006 г. (серебряные медали)

Находим количество серебряных медалей ($S$), зная, что всего медалей 6, из них 3 золотые и 0 бронзовых.
$3 + S + 0 = 6$
$S = 6 - 3 = 3$
Ответ: 3

Вьетнам, 2007 г. (итого медалей)

Находим общее количество медалей, суммируя известные.
$5 + 1 + 0 = 6$
Ответ: 6

Испания, 2008 г. (золотые медали)

Находим количество золотых медалей ($G$), зная, что всего медалей 6, из них 0 серебряных и 0 бронзовых.
$G + 0 + 0 = 6$
$G = 6$
Ответ: 6

Германия, 2009 г. (бронзовые медали)

Находим количество бронзовых медалей ($B$), зная, что всего медалей 6, из них 5 золотых и 1 серебряная.
$5 + 1 + B = 6$
$6 + B = 6$
$B = 0$
Ответ: 0

Казахстан, 2010 г. (серебряные медали)

Находим количество серебряных медалей ($S$).
$4 + S + 0 = 6$
$S = 6 - 4 = 2$
Ответ: 2

Аргентина, 2012 г. (итого медалей)

Находим общее количество медалей.
$4 + 2 + 0 = 6$
Ответ: 6

Колумбия, 2013 г. (серебряные медали)

Находим количество серебряных медалей ($S$).
$4 + S + 0 = 6$
$S = 6 - 4 = 2$
Ответ: 2

ЮАР, 2014 г. (серебряные медали)

Находим количество серебряных медалей ($S$).
$3 + S + 0 = 6$
$S = 6 - 3 = 3$
Ответ: 3

Нидерланды (2011 г.) и Таиланд (2015 г.)

В строках за 2011 и 2015 годы пропущено по два значения. Для их нахождения используем итоговое значение из строки "Всего медалей" для столбца "золотые", которое равно 36.
Сумма всех известных и уже найденных золотых медалей: $3 + 5 + 6 + 5 + 4 + 4 + 4 + 3 = 34$.
Пусть $G_{2011}$ и $G_{2015}$ — количество золотых медалей в 2011 и 2015 годах. Тогда их сумма равна:$G_{2011} + G_{2015} = 36 - 34 = 2$.
Теперь рассмотрим уравнение для 2011 года, где известно 4 серебряные медали:$G_{2011} + 4 + B_{2011} = 6 \implies G_{2011} + B_{2011} = 2$.
Во всех остальных годах, для которых данные известны, количество бронзовых медалей равно нулю. Логично предположить, что и в 2011 году бронзовых медалей не было, то есть $B_{2011} = 0$. Это предположение позволяет найти единственное решение.
При $B_{2011} = 0$, получаем $G_{2011} = 2$.
Зная $G_{2011}$, находим $G_{2015}$: $2 + G_{2015} = 2 \implies G_{2015} = 0$.
Наконец, находим количество серебряных медалей для 2015 года ($S_{2015}$):$0 + S_{2015} + 0 = 6 \implies S_{2015} = 6$.
Ответ: в 2011 году: 2 золотые, 0 бронзовых; в 2015 году: 0 золотых, 6 серебряных.

Строка "Всего медалей"

Теперь, когда все ячейки таблицы заполнены, можно рассчитать итоговые суммы для недостающих столбцов.
Всего серебряных: $3+1+0+1+2+4+2+2+3+6 = 24$.
Всего бронзовых: $0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0$.
Всего Итого: $10 \times 6 = 60$.
Проверка: $36 (\text{золотые}) + 24 (\text{серебряные}) + 0 (\text{бронзовые}) = 60$.
Ответ: 24 (всего серебряных), 0 (всего бронзовых), 60 (всего итого).

235. В двухзначном числе 6 десятков. Между цифрами этого числа вписали цифру 0. На сколько полученное трёхзначное число больше, чем данное двухзначное?

Пусть данное двузначное число имеет 6 десятков, а цифра в разряде единиц равна a. Тогда это число можно записать в виде $10 \cdot 6 + a$, что равно $60 + a$.

После того как между цифрами 6 и a вписали цифру 0, получилось новое, трёхзначное число. У этого числа 6 сотен, 0 десятков и a единиц. Это число можно записать в виде $100 \cdot 6 + 10 \cdot 0 + a$, что равно $600 + a$.

Чтобы найти, на сколько полученное трёхзначное число больше, чем данное двузначное, нужно найти их разность. Для этого вычтем из нового числа исходное:

$(600 + a) - (60 + a) = 600 + a - 60 - a = 540$.

Таким образом, полученное число больше данного на 540, независимо от того, какая цифра была в разряде единиц.

Ответ: 540.

236. В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» или знак «-» так, чтобы в результате арифметических действий получилось число 100.

Для решения задачи необходимо расставить знаки «+» или «–» между цифрами в последовательности 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Также разрешается объединять соседние цифры в многозначные числа. Цель — получить в результате арифметических действий число 100.

Эта задача имеет несколько решений. Приведём одно из них с подробным разбором.

Решение

Стратегия может заключаться в том, чтобы сначала составить из нескольких первых цифр число, близкое к 100, а затем скорректировать его до 100 с помощью оставшихся цифр.

Возьмём первые три цифры (1, 2, 3) и образуем из них число 123. Теперь нам нужно с помощью оставшихся цифр (4, 5, 6, 7, 8, 9) и знаков «+» и «–» получить такое число, чтобы в сумме с 123 получилось 100.

Искомое число равно $100 - 123 = -23$.
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы расставить знаки перед цифрами 4, 5, 6, 7, 8, 9 и получить в сумме -23.
То есть, $\pm 4 \pm 5 \pm 6 \pm 7 \pm 8 \pm 9 = -23$.

Пусть $P$ — это сумма всех чисел в наборе {4, 5, 6, 7, 8, 9}, перед которыми будет стоять знак «+», а $N$ — сумма абсолютных значений всех чисел, перед которыми будет стоять знак «–». Тогда мы имеем систему уравнений:
1) $P - N = -23$ (требуемый результат)
2) $P + N = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39$ (сумма всех доступных цифр)

Сложим эти два уравнения:
$(P - N) + (P + N) = -23 + 39$
$2P = 16$
$P = 8$

Это означает, что сумма цифр со знаком «+» должна быть равна 8. В нашем наборе цифр {4, 5, 6, 7, 8, 9} единственная комбинация, дающая в сумме 8, — это сама цифра 8.
Следовательно, перед цифрой 8 должен стоять знак «+», а перед всеми остальными цифрами (4, 5, 6, 7, 9) — знак «–».

Теперь мы можем записать полное выражение, объединив обе части:
$123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9$.

Проверка

Проверим полученное выражение, выполнив все действия последовательно:
$123 - 4 = 119$
$119 - 5 = 114$
$114 - 6 = 108$
$108 - 7 = 101$
$101 + 8 = 109$
$109 - 9 = 100$
Результат вычислений равен 100, что соответствует условию задачи.

Ответ: $123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100$.

237. Выполните действия:

1) $25 \cdot (63 - 741 : 19)$;

2) $(900 - 7218 : 9) \cdot 12$;

3) $3926 : 13 \cdot 8 + 2584$;

4) $690 - 2944 : 64 \cdot 15$.

1) $25 \cdot (63 - 741 : 19)$
Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — умножение.
1. Выполним деление в скобках: $741 : 19 = 39$.
2. Выполним вычитание в скобках: $63 - 39 = 24$.
3. Выполним умножение: $25 \cdot 24 = 600$.
Таким образом, $25 \cdot (63 - 741 : 19) = 25 \cdot 24 = 600$.
Ответ: 600

2) $(900 - 7218 : 9) \cdot 12$
Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — умножение.
1. Выполним деление в скобках: $7218 : 9 = 802$.
2. Выполним вычитание в скобках: $900 - 802 = 98$.
3. Выполним умножение: $98 \cdot 12 = 1176$.
Таким образом, $(900 - 7218 : 9) \cdot 12 = 98 \cdot 12 = 1176$.
Ответ: 1176

3) $3926 : 13 \cdot 8 + 2584$
В этом примере действия выполняются слева направо: сначала деление, затем умножение, и в конце сложение.
1. Выполним деление: $3926 : 13 = 302$.
2. Выполним умножение: $302 \cdot 8 = 2416$.
3. Выполним сложение: $2416 + 2584 = 5000$.
Таким образом, $3926 : 13 \cdot 8 + 2584 = 2416 + 2584 = 5000$.
Ответ: 5000

4) $690 - 2944 : 64 \cdot 15$
Порядок действий следующий: сначала деление, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним деление: $2944 : 64 = 46$.
2. Выполним умножение: $46 \cdot 15 = 690$.
3. Выполним вычитание: $690 - 690 = 0$.
Таким образом, $690 - 2944 : 64 \cdot 15 = 690 - 690 = 0$.
Ответ: 0