Страница 61 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

225. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы вычитание было выполнено верно:

1) $\begin{array}{rcccccc} & \text{\_} & \ast & 5 & 6 & 7 & \ast \\- & & & \ast & 9 & \ast & 7 \\\cline{2-7} & 8 & 6 & \ast & 4 & 6 & \\\end{array}$

2) $\begin{array}{rcccccc} & \text{\_} & \ast & \ast & 5 & \ast & 2 \\- & & & 7 & \ast & 1 & \ast \\\cline{2-7} & & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \\\end{array}$

1)

Запишем пример, заменив звёздочки буквами, чтобы было удобнее на них ссылаться:
$ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & A & 5 & 6 & 7 & B \\ - & & C & 9 & D & 7 \\ \hline & 8 & 6 & E & 4 & 6 \end{array} $

Решать будем поразрядно, справа налево, выполняя вычитание в столбик.

Разряд единиц: Из цифры $B$ вычитают 7 и получают 6. Это возможно, только если из разряда десятков был взят заём. Таким образом, получаем уравнение: $(10 + B) - 7 = 6$. Решив его, находим, что $B + 3 = 6$, следовательно $B = 3$.

Разряд десятков: В уменьшаемом стояла цифра 7, но из неё заняли единицу для предыдущего разряда, поэтому осталось 6. Теперь из 6 вычитаем $D$ и получаем 4. Уравнение: $6 - D = 4$. Отсюда $D = 2$.

Разряд сотен: Из 6 вычитают 9. Необходимо снова сделать заём из старшего разряда. Получаем: $(10 + 6) - 9 = E$. Вычисляем: $16 - 9 = 7$, значит $E = 7$.

Разряд тысяч: В уменьшаемом стояла цифра 5, но из неё заняли единицу, поэтому осталось 4. Из 4 вычитаем $C$ и получаем 6. Опять делаем заём. Уравнение: $(10 + 4) - C = 6$. Отсюда $14 - C = 6$, и $C = 8$.

Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом стоит цифра $A$, из которой мы заняли единицу, осталось $A-1$. В вычитаемом на этом месте цифры нет (это 0). Получаем $(A-1) - 0 = 8$. Отсюда $A = 9$.

Теперь подставим все найденные цифры в исходный пример:
$ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & 9 & 5 & 6 & 7 & 3 \\ - & & 8 & 9 & 2 & 7 \\ \hline & 8 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $
Проверка показывает, что вычитание выполнено верно.

Ответ: $ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & 9 & 5 & 6 & 7 & 3 \\ - & & 8 & 9 & 2 & 7 \\ \hline & 8 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

2)

Аналогично первому пункту, заменим звёздочки буквами:
$ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & A & B & 5 & C & 2 \\ - & & 7 & D & 1 & E \\ \hline & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

Решение также будем проводить поразрядно справа налево.

Разряд единиц: Из 2 вычитаем $E$ и получаем 6. Требуется заём из старшего разряда. Уравнение: $(10 + 2) - E = 6$. Отсюда $12 - E = 6$, следовательно $E = 6$.

Разряд десятков: В уменьшаемом стояла цифра $C$, но мы заняли из неё единицу, осталось $C-1$. Из $C-1$ вычитаем 1 и получаем 4. Уравнение: $(C-1) - 1 = 4$, или $C-2=4$. Отсюда $C = 6$.

Разряд сотен: Из 5 вычитаем $D$ и получаем 7. Снова нужен заём. Уравнение: $(10 + 5) - D = 7$. Отсюда $15 - D = 7$, и $D = 8$.

Разряд тысяч: В уменьшаемом стояла цифра $B$, из которой заняли единицу, осталось $B-1$. Из $B-1$ вычитаем 7 и получаем 6. Опять делаем заём. Уравнение: $(10 + B - 1) - 7 = 6$. Упрощаем: $B+2=6$, откуда $B = 4$.

Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом стоит $A$, из которой мы заняли единицу, осталось $A-1$. Из $A-1$ вычитаем 0 (пустое место) и получаем 7. Уравнение: $(A-1) - 0 = 7$. Отсюда $A = 8$.

Подставим найденные цифры в пример для проверки:
$ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & 8 & 4 & 5 & 6 & 2 \\ - & & 7 & 8 & 1 & 6 \\ \hline & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $
Вычисления верны.

Ответ: $ \_ \begin{array}{@{}c@{\,}r@{}r@{}r@{}r@{}r} & 8 & 4 & 5 & 6 & 2 \\ - & & 7 & 8 & 1 & 6 \\ \hline & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

226. На остановке из троллейбуса вышло 15 пассажиров, а вошло – 8. На следующей остановке вышло 6 пассажиров и вошло – 12. Сколько пассажиров было в троллейбусе до первой остановки, если после второй их стало 31?

Для решения этой задачи необходимо произвести вычисления в обратном порядке, начиная с конечного количества пассажиров.

1. Сначала найдем, сколько пассажиров было в троллейбусе до второй остановки. Известно, что после второй остановки их стало 31. На этой остановке вошло 12 пассажиров, значит, до того как они вошли, в салоне было $31 - 12 = 19$ пассажиров. Перед этим из троллейбуса вышло 6 пассажиров, следовательно, до того как они вышли, было $19 + 6 = 25$ пассажиров. Таким образом, к началу второй остановки в троллейбусе находилось 25 пассажиров.

2. Теперь определим, сколько пассажиров было в троллейбусе до первой остановки. Мы знаем, что после первой остановки их было 25. На первой остановке вошло 8 человек, значит, до их входа было $25 - 8 = 17$ пассажиров. Перед этим вышло 15 человек, значит, первоначально в троллейбусе было $17 + 15 = 32$ пассажира.

Можно также решить задачу с помощью уравнения. Пусть $x$ — это первоначальное количество пассажиров. Тогда после всех изменений можно составить следующее уравнение:

$x - 15 + 8 - 6 + 12 = 31$

Упростим левую часть:

$x - 1 = 31$

Отсюда находим $x$:

$x = 31 + 1 = 32$

Ответ: 32.

227. Между завтраком и обедом Женя съел 7 слив, которые лежали в тарелке. После обеда мама положила туда ещё 14 слив. Между обедом и ужином Женя съел 9 слив. После ужина мама положила в тарелку ещё 5 слив, и в ней стало 20 слив. Сколько слив было в тарелке сначала?

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать в обратном порядке, начиная с конечного количества слив и выполняя обратные математические действия.

1. В самом конце в тарелке стало 20 слив. Это случилось после того, как мама положила туда 5 слив. Чтобы узнать, сколько слив было до этого, нужно вычесть 5 из 20.
$20 - 5 = 15$ (слив) — было в тарелке перед тем, как мама добавила сливы после ужина.

2. Эти 15 слив остались после того, как Женя съел 9 слив. Чтобы узнать, сколько слив было до того, как Женя их съел, нужно прибавить 9 к 15.
$15 + 9 = 24$ (сливы) — было в тарелке между обедом и ужином, до того, как Женя поел.

3. 24 сливы в тарелке стало после того, как мама добавила 14 слив после обеда. Чтобы узнать, сколько было до этого, нужно вычесть 14 из 24.
$24 - 14 = 10$ (слив) — было в тарелке после завтрака, до того, как мама добавила сливы.

4. Эти 10 слив остались после того, как Женя съел 7 слив между завтраком и обедом. Чтобы найти первоначальное количество, нужно прибавить 7 к 10.
$10 + 7 = 17$ (слив) — было в тарелке сначала.

Проверим решение.
Сначала было 17 слив.
Женя съел 7: $17 - 7 = 10$.
Мама положила 14: $10 + 14 = 24$.
Женя съел 9: $24 - 9 = 15$.
Мама положила 5: $15 + 5 = 20$.
Все сходится.

Ответ: 17 слив.

228. В первый день Василий собрал в своём саду 26 ящиков яблок, а во второй — 14 таких же ящиков яблок. Сколько килограммов яблок собрал Василий в первый день и сколько — во второй, если во второй день он собрал на 192 кг меньше, чем в первый?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем, на сколько ящиков яблок больше было собрано в первый день, чем во второй. Это и будет та разница, которая по весу составляет 192 кг.

$26 - 14 = 12$ (ящиков)

2. Теперь мы знаем, что 12 ящиков яблок весят 192 кг. Можем найти, сколько килограммов яблок в одном ящике.

$192 \div 12 = 16$ (кг)

3. Зная массу одного ящика, вычислим, сколько килограммов яблок собрал Василий в первый день, когда он собрал 26 ящиков.

$26 \times 16 = 416$ (кг)

4. Аналогично вычислим массу яблок, собранных во второй день, когда было собрано 14 ящиков.

$14 \times 16 = 224$ (кг)

5. Проверим полученные результаты: разница между массой яблок, собранных в первый и второй день, должна составлять 192 кг.

$416 - 224 = 192$ (кг). Результаты верны.

Ответ: в первый день Василий собрал 416 кг яблок, а во второй — 224 кг.

229. Один поезд находился в пути 7 ч, а второй — 13 ч. Второй поезд проехал на 360 км больше, чем первый. Сколько километров проехал каждый поезд, если они двигались с одинаковой скоростью?

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть $v$ — одинаковая скорость двух поездов, $t_1$ — время в пути первого поезда, $t_2$ — время в пути второго поезда. Тогда $S_1 = v \cdot t_1$ и $S_2 = v \cdot t_2$ — расстояния, которые проехал каждый поезд.

Из условия задачи нам известно:

• Время первого поезда: $t_1 = 7$ ч
• Время второго поезда: $t_2 = 13$ ч
• Разница в расстоянии: $S_2 - S_1 = 360$ км

Сначала найдем, на сколько часов дольше второй поезд был в пути, чем первый. Эта разница во времени и привела к разнице в пройденном расстоянии, так как скорости были одинаковы.

1. Находим разницу во времени:

$ \Delta t = t_2 - t_1 = 13 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 6 \text{ ч} $

2. За эти 6 часов второй поезд проехал дополнительные 360 км. Теперь мы можем найти скорость поездов, разделив разницу в расстоянии на разницу во времени:

$ v = \frac{S_2 - S_1}{t_2 - t_1} = \frac{360 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч} $

Скорость каждого поезда составляет 60 км/ч.

3. Зная скорость, вычислим расстояние, которое проехал каждый поезд.

Расстояние, пройденное первым поездом:

$ S_1 = v \cdot t_1 = 60 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 420 \text{ км} $

Расстояние, пройденное вторым поездом:

$ S_2 = v \cdot t_2 = 60 \text{ км/ч} \times 13 \text{ ч} = 780 \text{ км} $

Для проверки можно найти разницу между полученными расстояниями: $780 \text{ км} - 420 \text{ км} = 360 \text{ км}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый поезд проехал 420 км, а второй поезд — 780 км.

230. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(412 + 116) - 112;$

2) $(593 + 675) - 275;$

3) $(792 + 301) - 201;$

4) $(987 + 614) - 187;$

5) $844 - (244 + 318);$

6) $729 - (396 + 229);$

7) $393 - (193 + 155);$

8) $672 - (202 + 172).$

1) $(412 + 116) - 112$

Для упрощения вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения. Удобнее сгруппировать числа так, чтобы сначала выполнить вычитание.

$(412 + 116) - 112 = 412 + (116 - 112)$

Сначала найдем разность в скобках: $116 - 112 = 4$.

Затем выполним сложение: $412 + 4 = 416$.

Ответ: $416$

2) $(593 + 675) - 275$

Применим сочетательное свойство сложения. Удобнее сначала вычесть $275$ из $675$.

$(593 + 675) - 275 = 593 + (675 - 275)$

Выполним вычитание в скобках: $675 - 275 = 400$.

Теперь выполним сложение: $593 + 400 = 993$.

Ответ: $993$

3) $(792 + 301) - 201$

Используем сочетательное свойство, чтобы изменить порядок действий и упростить расчеты.

$(792 + 301) - 201 = 792 + (301 - 201)$

Вычисляем разность: $301 - 201 = 100$.

Вычисляем сумму: $792 + 100 = 892$.

Ответ: $892$

4) $(987 + 614) - 187$

Здесь удобно перегруппировать слагаемые, чтобы сначала выполнить вычитание чисел, заканчивающихся на одинаковые цифры.

$(987 + 614) - 187 = (987 - 187) + 614$

Выполняем вычитание в скобках: $987 - 187 = 800$.

Затем выполняем сложение: $800 + 614 = 1414$.

Ответ: $1414$

5) $844 - (244 + 318)$

Воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму, можно последовательно вычесть каждое слагаемое. $a - (b + c) = a - b - c$.

$844 - (244 + 318) = (844 - 244) - 318$

Сначала вычитаем первое число: $844 - 244 = 600$.

Из результата вычитаем второе число: $600 - 318 = 282$.

Ответ: $282$

6) $729 - (396 + 229)$

Применим правило вычитания суммы из числа и изменим порядок вычитания для удобства.

$729 - (396 + 229) = 729 - 396 - 229 = (729 - 229) - 396$

Сначала находим разность: $729 - 229 = 500$.

Затем вычитаем оставшееся число: $500 - 396 = 104$.

Ответ: $104$

7) $393 - (193 + 155)$

Используем правило вычитания суммы из числа, что позволяет вычитать слагаемые по одному в удобном порядке.

$393 - (193 + 155) = (393 - 193) - 155$

Выполняем первое вычитание: $393 - 193 = 200$.

Выполняем второе вычитание: $200 - 155 = 45$.

Ответ: $45$

8) $672 - (202 + 172)$

Раскроем скобки по правилу вычитания суммы из числа и перегруппируем числа для более простого вычисления.

$672 - (202 + 172) = 672 - 202 - 172 = (672 - 172) - 202$

Сначала вычисляем: $672 - 172 = 500$.

Теперь вычитаем второе число: $500 - 202 = 298$.

Ответ: $298$

231. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) В выражении $(176 + 343) - 243$ удобно изменить порядок действий. Используя сочетательное свойство, можно сначала выполнить вычитание, а потом сложение. Сначала вычтем 243 из 343, так как это упрощает вычисление.
$(176 + 343) - 243 = 176 + (343 - 243)$
1. $343 - 243 = 100$
2. $176 + 100 = 276$
Ответ: 276

2) В выражении $(684 + 915) - 484$ удобно сгруппировать числа так, чтобы сначала вычесть 484 из 684.
$(684 + 915) - 484 = (684 - 484) + 915$
1. $684 - 484 = 200$
2. $200 + 915 = 1115$
Ответ: 1115

3) В выражении $(259 + 101) - 59$ изменим порядок действий для удобства вычислений. Сначала вычтем 59 из 259.
$(259 + 101) - 59 = (259 - 59) + 101$
1. $259 - 59 = 200$
2. $200 + 101 = 301$
Ответ: 301

4) Для вычисления выражения $1287 - (487 + 164)$ воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.
$1287 - (487 + 164) = 1287 - 487 - 164$
Удобнее сначала вычесть 487 из 1287, так как у них одинаковые последние две цифры.
1. $1287 - 487 = 800$
2. $800 - 164 = 636$
Ответ: 636

5) В выражении $971 - (235 + 371)$ применим правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.
$971 - (235 + 371) = 971 - 235 - 371$
Для удобства вычислений поменяем вычитаемые местами: $971 - 371 - 235$.
1. $971 - 371 = 600$
2. $600 - 235 = 365$
Ответ: 365

6) В выражении $5393 - (1393 + 158)$ также используем правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.
$5393 - (1393 + 158) = 5393 - 1393 - 158$
Сначала выполним вычитание чисел с одинаковыми последними тремя цифрами.
1. $5393 - 1393 = 4000$
2. $4000 - 158 = 3842$
Ответ: 3842

232. Упростите выражение:

1) $(35 + x) - 15;$

2) $(432 + b) - 265;$

3) $(a + 636) - 129;$

4) $96 - (m + 48);$

5) $516 - (216 + x);$

6) $444 - (y + 58).$

1) Чтобы упростить выражение $(35 + x) - 15$, мы можем воспользоваться сочетательным свойством сложения и вычитания. Раскроем скобки, так как перед ними нет знака минус, и перегруппируем слагаемые: $35 + x - 15 = (35 - 15) + x$. Выполнив вычитание, получим $20 + x$.
Ответ: $20 + x$

2) Для упрощения выражения $(432 + b) - 265$ уберем скобки и сгруппируем числовые значения: $432 + b - 265 = (432 - 265) + b$. Выполним вычитание: $432 - 265 = 167$. Таким образом, выражение равно $167 + b$.
Ответ: $167 + b$

3) Чтобы упростить выражение $(a + 636) - 129$, раскроем скобки и перегруппируем члены выражения: $a + 636 - 129 = a + (636 - 129)$. Вычислим разность чисел: $636 - 129 = 507$. В результате получаем $a + 507$.
Ответ: $a + 507$

4) В выражении $96 - (m + 48)$ нужно вычесть сумму из числа. Для этого необходимо раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого внутри на противоположный: $96 - m - 48$. Теперь сгруппируем числа: $(96 - 48) - m$. Вычислим разность: $96 - 48 = 48$. Упрощенное выражение: $48 - m$.
Ответ: $48 - m$

5) Для упрощения выражения $516 - (216 + x)$ раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: $516 - 216 - x$. Сгруппируем числа и выполним вычитание: $(516 - 216) - x = 300 - x$.
Ответ: $300 - x$

6) Чтобы упростить выражение $444 - (y + 58)$, раскроем скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные: $444 - y - 58$. Перегруппируем члены для удобства вычисления: $(444 - 58) - y$. Вычислим разность чисел: $444 - 58 = 386$. Таким образом, итоговое выражение равно $386 - y$.
Ответ: $386 - y$

233. Упростите выражение:

1) $(a + 546) - 328;$

2) $(c + 961) - 592;$

3) $(151 + b) - 109;$

4) $272 - (125 + y);$

5) $925 - (p + 735);$

6) $707 - (n + 534).$

1) $(a + 546) - 328$

Чтобы упростить это выражение, мы можем раскрыть скобки. Поскольку перед скобками нет знака минус, мы можем просто их убрать. Затем мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы выполнить вычитание чисел.

$(a + 546) - 328 = a + (546 - 328)$

Теперь вычислим разность чисел:

$546 - 328 = 218$

Таким образом, выражение упрощается до $a + 218$.

Ответ: $a + 218$

2) $(c + 961) - 592$

Аналогично первому примеру, раскрываем скобки и выполняем действие с числами.

$(c + 961) - 592 = c + (961 - 592)$

Вычислим разность:

$961 - 592 = 369$

Упрощенное выражение равно $c + 369$.

Ответ: $c + 369$

3) $(151 + b) - 109$

Снова убираем скобки. Порядок слагаемых не имеет значения, поэтому мы можем вычесть числа друг из друга.

$(151 + b) - 109 = 151 + b - 109 = b + (151 - 109)$

Вычисляем разность чисел:

$151 - 109 = 42$

В результате получаем $b + 42$.

Ответ: $b + 42$

4) $272 - (125 + y)$

В этом случае перед скобками стоит знак минус. При раскрытии скобок знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный.

$272 - (125 + y) = 272 - 125 - y$

Теперь выполним вычитание чисел:

$272 - 125 = 147$

Таким образом, итоговое выражение: $147 - y$.

Ответ: $147 - y$

5) $925 - (p + 735)$

Как и в предыдущем задании, раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них, так как перед скобкой стоит минус.

$925 - (p + 735) = 925 - p - 735$

Перегруппируем и выполним вычитание чисел:

$925 - 735 - p = 190 - p$

Упрощенное выражение: $190 - p$.

Ответ: $190 - p$

6) $707 - (n + 534)$

Раскрываем скобки с учетом знака минус перед ними.

$707 - (n + 534) = 707 - n - 534$

Выполняем вычитание чисел:

$707 - 534 = 173$

В результате получаем выражение $173 - n$.

Ответ: $173 - n$