Страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

188. 1) На сколько сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$?

2) Какая из сумм $1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ и $2 + 4 + 6 + \dots + 2000$ больше и на сколько?

1)

Чтобы определить, на сколько сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$, найдем разность этих двух сумм. Обозначим первую сумму как $S_1$, а вторую как $S_2$.

$S_2 - S_1 = (2 + 4 + 6 + \dots + 100) - (1 + 3 + 5 + \dots + 99)$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_2 - S_1 = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + \dots + (100 - 99)$

Как видно, разность в каждой паре равна 1.

$S_2 - S_1 = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$

Теперь необходимо посчитать количество таких пар. Количество слагаемых в первой сумме (нечётные числа от 1 до 99) и во второй сумме (чётные числа от 2 до 100) одинаково. Всего в диапазоне от 1 до 100 содержится 50 нечётных и 50 чётных чисел. Следовательно, у нас 50 пар.

Таким образом, разность равна сумме 50 единиц:

$S_2 - S_1 = 50 \times 1 = 50$

Ответ: Сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$ на 50.

2)

Сравним две суммы: $S_A = 1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ и $S_B = 2 + 4 + 6 + \dots + 2000$. Для этого найдем их разность $S_A - S_B$.

$S_A - S_B = (1 + 3 + 5 + \dots + 2001) - (2 + 4 + 6 + \dots + 2000)$

Выделим первое слагаемое в первой сумме (1) и сгруппируем остальные слагаемые попарно:

$S_A - S_B = 1 + (3 - 2) + (5 - 4) + (7 - 6) + \dots + (2001 - 2000)$

Разность в каждой паре равна 1.

$S_A - S_B = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots + 1$

Чтобы найти количество пар, нужно посчитать количество слагаемых в сумме $S_B$. Она состоит из чётных чисел от 2 до 2000. Их количество равно $2000 / 2 = 1000$. Значит, у нас есть 1000 пар, каждая из которых дает в разности 1.

Таким образом, разность равна единице (от первого слагаемого) плюс сумма тысячи единиц (от пар):

$S_A - S_B = 1 + 1000 \times 1 = 1001$

Поскольку разность $S_A - S_B = 1001$ положительна, то сумма $S_A$ больше, чем сумма $S_B$.

Ответ: Сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ больше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 2000$ на 1001.

189. В записи 4 4 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» между некоторыми из восьми цифр 4 так, чтобы итоговое выражение имело значение 500. Если между двумя цифрами знак «+» не ставится, они образуют многозначное число (например, 44 или 444).

Сначала проанализируем, какими должны быть слагаемые. Все возможные числа, которые мы можем получить (4, 44, 444 и т.д.), оканчиваются на цифру 4. Сумма этих чисел должна быть равна 500, то есть оканчиваться на 0.

Пусть в итоговой сумме будет $k$ слагаемых. Каждое из них оканчивается на 4. Чтобы найти последнюю цифру суммы, нужно сложить последние цифры всех слагаемых, что равносильно нахождению последней цифры произведения $4 \times k$. Нам необходимо, чтобы это произведение оканчивалось на 0. Это возможно, только если $k$ является числом, кратным 5.

У нас есть всего 8 цифр. Максимальное количество слагаемых, которое мы можем получить, — 8 (если разделить все четверки: $4+4+4+4+4+4+4+4$). Это означает, что количество слагаемых $k$ не может быть 10 или больше. Следовательно, единственно возможный вариант — это $k=5$. Таким образом, искомое выражение должно состоять ровно из пяти слагаемых.

Теперь задача сводится к тому, чтобы разбить восемь четверок на 5 чисел, сумма которых равна 500. Для этого попробуем подобрать слагаемые, начав с самого большого из возможных. Самое большое число из четверок, которое меньше 500, — это 444.

1. Возьмем 444 как первое слагаемое. Это число состоит из трех четверок. Остаток суммы, который нам нужно набрать, составляет: $500 - 444 = 56$. У нас осталось $8 - 3 = 5$ четверок, из которых нужно составить оставшиеся $5 - 1 = 4$ слагаемых.

2. Теперь нам нужно из пяти четверок получить сумму 56, разбив их на четыре слагаемых. Возьмем в качестве второго слагаемого число 44. Оно состоит из двух четверок. Остаток суммы теперь равен: $56 - 44 = 12$. У нас осталось $5 - 2 = 3$ четверки, из которых нужно составить оставшиеся $4 - 1 = 3$ слагаемых.

3. Из трех оставшихся четверок можно составить только три слагаемых, каждое из которых равно 4. Их сумма: $4 + 4 + 4 = 12$. Это в точности тот остаток, который нам и был нужен.

Таким образом, мы нашли пять слагаемых: 444, 44, 4, 4, 4. Проверим, соответствует ли это решение условиям задачи:

• Сумма: $444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 488 + 12 = 500$. Верно.
• Количество цифр: число 444 использует три четверки, 44 — две четверки, и еще три четверки используются по одной. Всего: $3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8$ четверок. Верно.

Все условия выполнены, и мы нашли искомое выражение.

Ответ: $444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 500$

190. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была равна 20: 7, *, *, *, *, *, *, 9.

Обозначим искомые числа в последовательности переменными: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$. Из условия задачи нам дано:

• Первое число: $a_1 = 7$.
• Восьмое число: $a_8 = 9$.
• Сумма любых трёх соседних чисел равна 20.

Запишем условие о сумме в виде системы уравнений:

1. $a_1 + a_2 + a_3 = 20$
2. $a_2 + a_3 + a_4 = 20$
3. $a_3 + a_4 + a_5 = 20$
4. $a_4 + a_5 + a_6 = 20$
5. $a_5 + a_6 + a_7 = 20$
6. $a_6 + a_7 + a_8 = 20$

Сравнивая левые части уравнений, можно заметить закономерность. Из уравнений (1) и (2) следует: $a_1 + a_2 + a_3 = a_2 + a_3 + a_4$, что после упрощения дает $a_1 = a_4$.

Аналогично, сравнивая другие пары соседних уравнений:

• Из (2) и (3): $a_2 + a_3 + a_4 = a_3 + a_4 + a_5 \implies a_2 = a_5$.
• Из (3) и (4): $a_3 + a_4 + a_5 = a_4 + a_5 + a_6 \implies a_3 = a_6$.
• Из (4) и (5): $a_4 + a_5 + a_6 = a_5 + a_6 + a_7 \implies a_4 = a_7$.
• Из (5) и (6): $a_5 + a_6 + a_7 = a_6 + a_7 + a_8 \implies a_5 = a_8$.

Таким образом, мы получили следующие равенства:

• $a_1 = a_4 = a_7$
• $a_2 = a_5 = a_8$
• $a_3 = a_6$

Это означает, что последовательность чисел периодическая, и каждые три числа повторяются.

Теперь используем известные значения $a_1 = 7$ и $a_8 = 9$.

• Так как $a_2 = a_5 = a_8$, и $a_8 = 9$, то $a_2 = 9$ и $a_5 = 9$.
• Так как $a_1 = a_4 = a_7$, и $a_1 = 7$, то $a_4 = 7$ и $a_7 = 7$.

Нам осталось найти значения $a_3$ и $a_6$. Мы знаем, что $a_3 = a_6$. Воспользуемся самым первым уравнением: $a_1 + a_2 + a_3 = 20$. Подставим уже известные нам значения $a_1=7$ и $a_2=9$:
$7 + 9 + a_3 = 20$
$16 + a_3 = 20$
$a_3 = 20 - 16$
$a_3 = 4$

Поскольку $a_3 = a_6$, то $a_6 = 4$.

Теперь мы можем восстановить всю последовательность. Вместо звёздочек (*, *, *, *, *, *) нужно подставить найденные значения $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.
Исходная последовательность: 7, *, *, *, *, *, *, 9
Полученная последовательность: 7, 9, 4, 7, 9, 4, 7, 9

Ответ: 7, 9, 4, 7, 9, 4, 7, 9.

191. Слава разрезал проволоку на кусочки и составил фигуру, изображённую на рисунке 65. Мог ли Слава разрезать эту же проволоку так, чтобы составить фигуру, изображённую на рисунке 66?

Рис. 65

Верхние размеры: $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$

Левые размеры: $2 \text{ см}$, $2 \text{ см}$

Рис. 66

Верхние размеры: $3 \text{ см}$, $3 \text{ см}$

Левые размеры: $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$, $1 \text{ см}$

Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти общую длину проволоки, которая потребовалась для создания каждой фигуры. Если длины окажутся одинаковыми, то Слава мог составить вторую фигуру из той же проволоки. Если длины будут разными, то не мог.

Рис. 65

Вычислим общую длину всех отрезков проволоки на рисунке 65.

1. Горизонтальные отрезки:Фигура состоит из 3 горизонтальных отрезков. Длина каждого из них равна сумме длин пяти маленьких отрезков по 1 см:$1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$.Общая длина горизонтальных отрезков: $3 \times 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

2. Вертикальные отрезки:Фигура состоит из 6 вертикальных отрезков. Длина каждого из них равна сумме длин двух отрезков по 2 см:$2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.Общая длина вертикальных отрезков: $6 \times 4 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

3. Общая длина:Сложим длины всех отрезков:$15 \text{ см} + 24 \text{ см} = 39 \text{ см}$.

Рис. 66

Вычислим общую длину всех отрезков проволоки на рисунке 66.

1. Горизонтальные отрезки:Фигура состоит из 3 горизонтальных отрезков. Длина каждого из них равна сумме длин трех отрезков по 3 см:$3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.Общая длина горизонтальных отрезков: $3 \times 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$.

2. Вертикальные отрезки:Фигура состоит из 4 вертикальных отрезков. Длина каждого из них равна сумме длин четырех отрезков по 1 см:$1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} + 1 \text{ см} = 4 \text{ см}$.Общая длина вертикальных отрезков: $4 \times 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

3. Общая длина:Сложим длины всех отрезков:$27 \text{ см} + 16 \text{ см} = 43 \text{ см}$.

Вывод

Сравним общую длину проволоки для обеих фигур: для первой фигуры потребовалось 39 см, а для второй — 43 см.$39 \text{ см} \neq 43 \text{ см}$.Так как общая длина проволоки, необходимая для создания фигур, различна, Слава не мог разрезать ту же самую проволоку, чтобы составить вторую фигуру.

Ответ: нет, не мог.

192. Отметьте на координатном луче натуральные числа, которые больше $6$, но меньше $12$.

Условие задачи заключается в поиске всех натуральных чисел, которые больше 6 и одновременно меньше 12.

Пусть искомое натуральное число — это $n$. Тогда, согласно условию, должно выполняться двойное неравенство: $6 < n < 12$.

Натуральными числами называют числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся в интервале между 6 и 12, не включая сами числа 6 и 12. Перечислим эти числа: 7, 8, 9, 10, 11.

Теперь необходимо отметить эти числа на координатном луче. Координатный луч — это прямая, имеющая начало (в точке 0) и направление. На луче нанесены деления, соответствующие целым числам.

На изображении ниже показан координатный луч, на котором красными точками отмечены найденные нами числа.

Ответ: На координатном луче отмечены числа 7, 8, 9, 10, 11.

193. Запишите все шестизначные числа, которые больше 999 888 и оканчиваются цифрой 5.

Согласно условию, необходимо найти все шестизначные числа, которые удовлетворяют двум требованиям: 1. Число должно быть больше 999 888. 2. Число должно оканчиваться на цифру 5.

Самое большое шестизначное число — это 999 999. Следовательно, мы ищем числа в интервале от 999 889 до 999 999 включительно.

Первое целое число, которое больше 999 888 и оканчивается на 5, — это 999 895.

Каждое следующее такое число будет на 10 больше предыдущего. Будем находить их, пока они остаются шестизначными.

Искомые числа:
999 895
999 905
999 915
999 925
999 935
999 945
999 955
999 965
999 975
999 985
999 995

Следующее число в этой последовательности, $999~995 + 10 = 1~000~005$, уже является семизначным, поэтому оно не удовлетворяет условию.

Ответ: 999 895, 999 905, 999 915, 999 925, 999 935, 999 945, 999 955, 999 965, 999 975, 999 985, 999 995.

194. Скороход прошёл $24 \text{ км}$ за $4 \text{ ч}$. На обратном пути он увеличил скорость на $2 \text{ км/ч}$. Сколько времени он потратил на обратный путь?

Для того чтобы узнать, сколько времени скороход потратил на обратный путь, нужно выполнить несколько действий.

1. Вычислить первоначальную скорость скорохода.

Скорость ($v$) — это отношение расстояния ($S$) ко времени ($t$). По условию, скороход прошел $S = 24$ км за $t_1 = 4$ ч. Его первоначальная скорость ($v_1$) равна:

$v_1 = S / t_1 = 24 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 6 \text{ км/ч}$

2. Определить скорость на обратном пути.

На обратном пути скороход увеличил скорость на 2 км/ч. Его новая скорость ($v_2$) будет:

$v_2 = v_1 + 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

3. Найти время, затраченное на обратный путь.

Расстояние на обратном пути осталось таким же ($S = 24$ км). Чтобы найти время ($t_2$), нужно разделить расстояние на новую скорость ($v_2$):

$t_2 = S / v_2 = 24 \text{ км} / 8 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: на обратный путь он потратил 3 часа.

195. Вася старше своей сестры Светы на 5 лет. На сколько лет он будет старше Светы через 7 лет?

Разница в возрасте между двумя людьми является постоянной величиной и не меняется с течением времени. Если сегодня Вася старше Светы на 5 лет, то он будет старше её на 5 лет и через год, и через 7 лет, и в любой другой момент времени.

Чтобы убедиться в этом, можно рассмотреть задачу с использованием переменных. Пусть $В$ — это текущий возраст Васи, а $С$ — текущий возраст Светы. По условию, Вася старше Светы на 5 лет, что можно записать в виде уравнения:

$В = С + 5$

Или разница их возрастов равна 5:

$В - С = 5$

Через 7 лет возраст Васи станет $В + 7$, а возраст Светы — $С + 7$.

Найдем разницу в их возрасте через 7 лет, вычтя возраст Светы из возраста Васи:

$(В + 7) - (С + 7) = В + 7 - С - 7 = В - С$

Как мы уже установили, $В - С = 5$. Следовательно, через 7 лет разница в их возрасте останется такой же.

Ответ: на 5 лет.

196. Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30, а сумма чисел каждого столбца — 20?

Для того чтобы определить, возможно ли заполнить такую таблицу, вычислим общую сумму всех чисел в ней двумя разными способами: по строкам и по столбцам.

1. Расчет суммы по строкам.
Согласно условию, в таблице 5 строк, и сумма чисел в каждой строке равна 30. Чтобы найти общую сумму всех чисел в таблице (обозначим ее как $S$), нужно умножить количество строк на сумму чисел в одной строке:
$S_{\text{по строкам}} = 5 \times 30 = 150$

2. Расчет суммы по столбцам.
Также по условию, в таблице 6 столбцов, и сумма чисел в каждом столбце равна 20. Общая сумма всех чисел в таблице также может быть найдена путем умножения количества столбцов на сумму чисел в одном столбце:
$S_{\text{по столбцам}} = 6 \times 20 = 120$

Сумма всех чисел в таблице — это фиксированная величина, и она не должна зависеть от способа подсчета. Однако, мы получили два разных результата: 150 и 120.
$150 \neq 120$
Возникшее противоречие показывает, что невозможно составить таблицу, которая бы удовлетворяла заданным условиям.

Ответ: Нельзя.