Номер 190, страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

190. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была равна 20: 7, *, *, *, *, *, *, 9.

Обозначим искомые числа в последовательности переменными: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$. Из условия задачи нам дано:

• Первое число: $a_1 = 7$.
• Восьмое число: $a_8 = 9$.
• Сумма любых трёх соседних чисел равна 20.

Запишем условие о сумме в виде системы уравнений:

1. $a_1 + a_2 + a_3 = 20$
2. $a_2 + a_3 + a_4 = 20$
3. $a_3 + a_4 + a_5 = 20$
4. $a_4 + a_5 + a_6 = 20$
5. $a_5 + a_6 + a_7 = 20$
6. $a_6 + a_7 + a_8 = 20$

Сравнивая левые части уравнений, можно заметить закономерность. Из уравнений (1) и (2) следует: $a_1 + a_2 + a_3 = a_2 + a_3 + a_4$, что после упрощения дает $a_1 = a_4$.

Аналогично, сравнивая другие пары соседних уравнений:

• Из (2) и (3): $a_2 + a_3 + a_4 = a_3 + a_4 + a_5 \implies a_2 = a_5$.
• Из (3) и (4): $a_3 + a_4 + a_5 = a_4 + a_5 + a_6 \implies a_3 = a_6$.
• Из (4) и (5): $a_4 + a_5 + a_6 = a_5 + a_6 + a_7 \implies a_4 = a_7$.
• Из (5) и (6): $a_5 + a_6 + a_7 = a_6 + a_7 + a_8 \implies a_5 = a_8$.

Таким образом, мы получили следующие равенства:

• $a_1 = a_4 = a_7$
• $a_2 = a_5 = a_8$
• $a_3 = a_6$

Это означает, что последовательность чисел периодическая, и каждые три числа повторяются.

Теперь используем известные значения $a_1 = 7$ и $a_8 = 9$.

• Так как $a_2 = a_5 = a_8$, и $a_8 = 9$, то $a_2 = 9$ и $a_5 = 9$.
• Так как $a_1 = a_4 = a_7$, и $a_1 = 7$, то $a_4 = 7$ и $a_7 = 7$.

Нам осталось найти значения $a_3$ и $a_6$. Мы знаем, что $a_3 = a_6$. Воспользуемся самым первым уравнением: $a_1 + a_2 + a_3 = 20$. Подставим уже известные нам значения $a_1=7$ и $a_2=9$:
$7 + 9 + a_3 = 20$
$16 + a_3 = 20$
$a_3 = 20 - 16$
$a_3 = 4$

Поскольку $a_3 = a_6$, то $a_6 = 4$.

Теперь мы можем восстановить всю последовательность. Вместо звёздочек (*, *, *, *, *, *) нужно подставить найденные значения $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.
Исходная последовательность: 7, *, *, *, *, *, *, 9
Полученная последовательность: 7, 9, 4, 7, 9, 4, 7, 9

Ответ: 7, 9, 4, 7, 9, 4, 7, 9.