Номер 188, страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

188. 1) На сколько сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$?

2) Какая из сумм $1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ и $2 + 4 + 6 + \dots + 2000$ больше и на сколько?

1)

Чтобы определить, на сколько сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$, найдем разность этих двух сумм. Обозначим первую сумму как $S_1$, а вторую как $S_2$.

$S_2 - S_1 = (2 + 4 + 6 + \dots + 100) - (1 + 3 + 5 + \dots + 99)$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_2 - S_1 = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + \dots + (100 - 99)$

Как видно, разность в каждой паре равна 1.

$S_2 - S_1 = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$

Теперь необходимо посчитать количество таких пар. Количество слагаемых в первой сумме (нечётные числа от 1 до 99) и во второй сумме (чётные числа от 2 до 100) одинаково. Всего в диапазоне от 1 до 100 содержится 50 нечётных и 50 чётных чисел. Следовательно, у нас 50 пар.

Таким образом, разность равна сумме 50 единиц:

$S_2 - S_1 = 50 \times 1 = 50$

Ответ: Сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ меньше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 100$ на 50.

2)

Сравним две суммы: $S_A = 1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ и $S_B = 2 + 4 + 6 + \dots + 2000$. Для этого найдем их разность $S_A - S_B$.

$S_A - S_B = (1 + 3 + 5 + \dots + 2001) - (2 + 4 + 6 + \dots + 2000)$

Выделим первое слагаемое в первой сумме (1) и сгруппируем остальные слагаемые попарно:

$S_A - S_B = 1 + (3 - 2) + (5 - 4) + (7 - 6) + \dots + (2001 - 2000)$

Разность в каждой паре равна 1.

$S_A - S_B = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots + 1$

Чтобы найти количество пар, нужно посчитать количество слагаемых в сумме $S_B$. Она состоит из чётных чисел от 2 до 2000. Их количество равно $2000 / 2 = 1000$. Значит, у нас есть 1000 пар, каждая из которых дает в разности 1.

Таким образом, разность равна единице (от первого слагаемого) плюс сумма тысячи единиц (от пар):

$S_A - S_B = 1 + 1000 \times 1 = 1001$

Поскольку разность $S_A - S_B = 1001$ положительна, то сумма $S_A$ больше, чем сумма $S_B$.

Ответ: Сумма $1 + 3 + 5 + \dots + 2001$ больше, чем сумма $2 + 4 + 6 + \dots + 2000$ на 1001.