Номер 189, страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

189. В записи 4 4 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.

Для решения этой задачи нужно расставить знаки «+» между некоторыми из восьми цифр 4 так, чтобы итоговое выражение имело значение 500. Если между двумя цифрами знак «+» не ставится, они образуют многозначное число (например, 44 или 444).

Сначала проанализируем, какими должны быть слагаемые. Все возможные числа, которые мы можем получить (4, 44, 444 и т.д.), оканчиваются на цифру 4. Сумма этих чисел должна быть равна 500, то есть оканчиваться на 0.

Пусть в итоговой сумме будет $k$ слагаемых. Каждое из них оканчивается на 4. Чтобы найти последнюю цифру суммы, нужно сложить последние цифры всех слагаемых, что равносильно нахождению последней цифры произведения $4 \times k$. Нам необходимо, чтобы это произведение оканчивалось на 0. Это возможно, только если $k$ является числом, кратным 5.

У нас есть всего 8 цифр. Максимальное количество слагаемых, которое мы можем получить, — 8 (если разделить все четверки: $4+4+4+4+4+4+4+4$). Это означает, что количество слагаемых $k$ не может быть 10 или больше. Следовательно, единственно возможный вариант — это $k=5$. Таким образом, искомое выражение должно состоять ровно из пяти слагаемых.

Теперь задача сводится к тому, чтобы разбить восемь четверок на 5 чисел, сумма которых равна 500. Для этого попробуем подобрать слагаемые, начав с самого большого из возможных. Самое большое число из четверок, которое меньше 500, — это 444.

1. Возьмем 444 как первое слагаемое. Это число состоит из трех четверок. Остаток суммы, который нам нужно набрать, составляет: $500 - 444 = 56$. У нас осталось $8 - 3 = 5$ четверок, из которых нужно составить оставшиеся $5 - 1 = 4$ слагаемых.

2. Теперь нам нужно из пяти четверок получить сумму 56, разбив их на четыре слагаемых. Возьмем в качестве второго слагаемого число 44. Оно состоит из двух четверок. Остаток суммы теперь равен: $56 - 44 = 12$. У нас осталось $5 - 2 = 3$ четверки, из которых нужно составить оставшиеся $4 - 1 = 3$ слагаемых.

3. Из трех оставшихся четверок можно составить только три слагаемых, каждое из которых равно 4. Их сумма: $4 + 4 + 4 = 12$. Это в точности тот остаток, который нам и был нужен.

Таким образом, мы нашли пять слагаемых: 444, 44, 4, 4, 4. Проверим, соответствует ли это решение условиям задачи:

• Сумма: $444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 488 + 12 = 500$. Верно.
• Количество цифр: число 444 использует три четверки, 44 — две четверки, и еще три четверки используются по одной. Всего: $3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 8$ четверок. Верно.

Все условия выполнены, и мы нашли искомое выражение.

Ответ: $444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 500$