Номер 236, страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

236. В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте между некоторыми цифрами знак «+» или знак «-» так, чтобы в результате арифметических действий получилось число 100.

Для решения задачи необходимо расставить знаки «+» или «–» между цифрами в последовательности 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Также разрешается объединять соседние цифры в многозначные числа. Цель — получить в результате арифметических действий число 100.

Эта задача имеет несколько решений. Приведём одно из них с подробным разбором.

Решение

Стратегия может заключаться в том, чтобы сначала составить из нескольких первых цифр число, близкое к 100, а затем скорректировать его до 100 с помощью оставшихся цифр.

Возьмём первые три цифры (1, 2, 3) и образуем из них число 123. Теперь нам нужно с помощью оставшихся цифр (4, 5, 6, 7, 8, 9) и знаков «+» и «–» получить такое число, чтобы в сумме с 123 получилось 100.

Искомое число равно $100 - 123 = -23$.
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы расставить знаки перед цифрами 4, 5, 6, 7, 8, 9 и получить в сумме -23.
То есть, $\pm 4 \pm 5 \pm 6 \pm 7 \pm 8 \pm 9 = -23$.

Пусть $P$ — это сумма всех чисел в наборе {4, 5, 6, 7, 8, 9}, перед которыми будет стоять знак «+», а $N$ — сумма абсолютных значений всех чисел, перед которыми будет стоять знак «–». Тогда мы имеем систему уравнений:
1) $P - N = -23$ (требуемый результат)
2) $P + N = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39$ (сумма всех доступных цифр)

Сложим эти два уравнения:
$(P - N) + (P + N) = -23 + 39$
$2P = 16$
$P = 8$

Это означает, что сумма цифр со знаком «+» должна быть равна 8. В нашем наборе цифр {4, 5, 6, 7, 8, 9} единственная комбинация, дающая в сумме 8, — это сама цифра 8.
Следовательно, перед цифрой 8 должен стоять знак «+», а перед всеми остальными цифрами (4, 5, 6, 7, 9) — знак «–».

Теперь мы можем записать полное выражение, объединив обе части:
$123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9$.

Проверка

Проверим полученное выражение, выполнив все действия последовательно:
$123 - 4 = 119$
$119 - 5 = 114$
$114 - 6 = 108$
$108 - 7 = 101$
$101 + 8 = 109$
$109 - 9 = 100$
Результат вычислений равен 100, что соответствует условию задачи.

Ответ: $123 - 4 - 5 - 6 - 7 + 8 - 9 = 100$.