Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число называют корнем (решением) уравнения?

1.

Корнем (или решением) уравнения называют такое значение переменной (неизвестного), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Иными словами, это число, которое делает уравнение истинным.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной и выполнить вычисления. Если левая часть уравнения окажется равна правой, то число является корнем.

Рассмотрим на примере уравнения:

$2x - 3 = 7$

Проверим, является ли число $5$ корнем этого уравнения. Для этого подставим $x = 5$ в уравнение:

$2 \cdot 5 - 3 = 7$

$10 - 3 = 7$

$7 = 7$

Мы получили верное числовое равенство, следовательно, число $5$ является корнем (решением) данного уравнения.

Теперь проверим число $4$. Подставим $x = 4$:

$2 \cdot 4 - 3 = 7$

$8 - 3 = 7$

$5 = 7$

Равенство неверное, значит, число $4$ не является корнем этого уравнения.

Ответ: Корнем (решением) уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все значения переменной (или переменных), при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

Этот процесс включает в себя несколько ключевых понятий:

• Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину (переменную), обозначенную буквой (например, $x$, $y$, $z$). Цель состоит в том, чтобы найти значение этой неизвестной. Пример уравнения: $5x - 8 = 12$.
• Корень уравнения (или его решение) — это число, которое при подстановке на место переменной обращает уравнение в верное числовое равенство. В примере $5x - 8 = 12$ корнем является число $x = 4$, так как при подстановке получается: $5 \cdot 4 - 8 = 20 - 8 = 12$, что приводит к верному равенству $12 = 12$.
• Процесс решения — это выполнение тождественных преобразований над уравнением с целью найти все его корни.

Итогом решения уравнения является множество всех его корней. Важно найти именно все корни, а не только один из них. В зависимости от уравнения, у него может быть:

• Один или несколько корней. Например, уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
• Ни одного корня. Например, уравнение $x + 5 = x + 1$ не имеет корней, так как ни при каком значении $x$ равенство $5 = 1$ не будет верным. В таком случае говорят, что множество решений пусто.
• Бесконечно много корней. Например, в уравнении $2(x+1) = 2x+2$ левая и правая части тождественно равны. Это означает, что любое число является его корнем.

Таким образом, полный ответ на вопрос "решить уравнение" должен содержать либо все его корни, либо доказательство того, что их не существует.

Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

3. Как найти неизвестное слагаемое?

Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. Разберем это правило на примере и с помощью формулы.

В математической операции сложения есть три основных компонента:

Слагаемое 1 + Слагаемое 2 = Сумма

Если записать это в виде общего алгебраического уравнения, где $a$ и $b$ — это слагаемые, а $c$ — это сумма, то мы получим выражение:

$a + b = c$

Исходя из этого, чтобы найти неизвестное слагаемое (например, $a$), нужно выполнить операцию вычитания:

$a = c - b$

Аналогично для второго слагаемого:

$b = c - a$

Пример:

Рассмотрим уравнение, в котором нужно найти неизвестное слагаемое $x$:

$x + 9 = 25$

• $x$ — это неизвестное слагаемое.
• $9$ — это известное слагаемое.
• $25$ — это сумма.

Чтобы найти $x$, вычтем из суммы (25) известное слагаемое (9):

$x = 25 - 9$

$x = 16$

Проверка:

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденное значение $16$ вместо $x$ в исходное уравнение:

$16 + 9 = 25$

$25 = 25$

Равенство верное, значит, неизвестное слагаемое найдено правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

4. Как найти неизвестное уменьшаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Это фундаментальное правило в арифметике, которое помогает решать уравнения с вычитанием.

Давайте разберем компоненты этого действия:

• Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
• Вычитаемое — это число, которое вычитают.
• Разность — это результат, который получается после вычитания.

В виде формулы это выглядит так. Пусть $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, а $c$ — разность:

$a - b = c$

Исходя из этой формулы, чтобы найти неизвестное уменьшаемое $a$, нужно сложить разность $c$ и вычитаемое $b$:

$a = c + b$

Пример:

Рассмотрим уравнение, в котором нужно найти уменьшаемое:

$x - 12 = 20$

В этом уравнении:

• $x$ — это неизвестное уменьшаемое.
• $12$ — это вычитаемое.
• $20$ — это разность.

Чтобы найти $x$, применяем правило: складываем разность и вычитаемое.

$x = 20 + 12$

$x = 32$

Проверка:

Подставим найденное значение $x=32$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:

$32 - 12 = 20$

$20 = 20$

Равенство верное, значит, неизвестное уменьшаемое найдено правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

5. Как найти неизвестное вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В операции вычитания участвуют три основных компонента:

• Уменьшаемое – это число, из которого вычитают.
• Вычитаемое – это число, которое вычитают.
• Разность – это результат вычитания.

Их взаимосвязь можно представить в виде формулы: $Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность$.

Если вычитаемое неизвестно, мы можем обозначить его переменной, например, $x$. Тогда уравнение примет вид: $a - x = c$.
Где:
$a$ – известное уменьшаемое,
$x$ – неизвестное вычитаемое,
$c$ – известная разность.
Чтобы найти $x$ из этого уравнения, нужно преобразовать его. Мы можем вычесть $c$ из $a$. Таким образом, формула для нахождения неизвестного вычитаемого выглядит так: $x = a - c$.

Пример:

Рассмотрим уравнение: $45 - x = 18$.

Здесь:

• Уменьшаемое = $45$
• Неизвестное вычитаемое = $x$
• Разность = $18$

Применяем правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого ($45$) вычесть разность ($18$).

$x = 45 - 18$

$x = 27$

Проверка: подставим найденное значение $x=27$ в исходное уравнение:

$45 - 27 = 18$

$18 = 18$

Равенство верное, следовательно, вычитаемое найдено правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

1. Найдите значение выражения $53 + x$, если:

1) $x = 29$;

2) $x = 61$.

Чтобы найти значение выражения $53 + x$ для заданных значений $x$, необходимо подставить эти значения в выражение и выполнить сложение.

1) Подставим значение $x = 29$ в выражение:

$53 + x = 53 + 29 = 82$

Ответ: 82

2) Подставим значение $x = 61$ в выражение:

$53 + x = 53 + 61 = 114$

Ответ: 114

2. Найдите значение выражения $12y$, если:

1) $y=7;$

2) $y=20.$

1) Чтобы найти значение выражения $12y$, если $y = 7$, необходимо подставить значение $y$ в выражение и выполнить вычисление.
$12y = 12 \cdot 7$
$12 \cdot 7 = 84$
Таким образом, при $y=7$ значение выражения равно 84.
Ответ: 84

2) Чтобы найти значение выражения $12y$, если $y = 20$, необходимо подставить значение $y$ в выражение и выполнить вычисление.
$12y = 12 \cdot 20$
$12 \cdot 20 = 240$
Таким образом, при $y=20$ значение выражения равно 240.
Ответ: 240

3. Найдите по формуле пути $s = 50t$ расстояние (в метрах), которое проходит Петя:

1) за 4 мин;

2) за 10 мин.

Что означает числовой множитель в этой формуле?

1) за 4 мин
Чтобы найти расстояние, которое Петя проходит за 4 минуты, необходимо подставить значение времени $t = 4$ в формулу пути $s = 50t$.
Выполним вычисление:
$s = 50 \cdot 4 = 200$ (метров).
Ответ: 200 метров.

2) за 10 мин
Чтобы найти расстояние, которое Петя проходит за 10 минут, необходимо подставить значение времени $t = 10$ в формулу пути $s = 50t$.
Выполним вычисление:
$s = 50 \cdot 10 = 500$ (метров).
Ответ: 500 метров.

Что означает числовой множитель в этой формуле?
Формула пути при равномерном движении имеет общий вид $s = v \cdot t$, где $s$ – это расстояние, $v$ – это скорость, а $t$ – это время.
Сравнивая общую формулу с данной в условии $s = 50t$, можно заключить, что числовой множитель 50 соответствует скорости движения $v$. Поскольку расстояние $s$ измеряется в метрах, а время $t$ – в минутах, то скорость Пети составляет 50 метров в минуту (м/мин).
Ответ: Числовой множитель 50 означает скорость движения Пети, равную 50 м/мин.

4. Число $a$ на 10 больше, чем число $b$. В виде каких из следующих равенств это можно записать:

1) $a + b = 10$;

2) $a - b = 10$;

3) $b - a = 10$;

4) $a - 10 = b$;

5) $b + 10 = a$?

Условие "число a на 10 больше, чем число b" означает, что разница между a и b равна 10, причем a является большим числом. Основное равенство, которое можно составить из этого условия, — это $a - b = 10$ или, что эквивалентно, $a = b + 10$.

Проверим каждое из предложенных равенств:

1) a + b = 10

Это равенство неверно. Оно утверждает, что сумма чисел равна 10. Например, если $b = 5$, то по условию $a = 5 + 10 = 15$. В этом случае $a + b = 15 + 5 = 20$, а не 10.

Ответ: неверно.

2) a - b = 10

Это равенство напрямую следует из условия. Оно показывает, что разность между большим числом a и меньшим числом b равна 10. Это верное утверждение.

Ответ: верно.

3) b - a = 10

Это равенство неверно. Оно означает, что b больше a на 10, что противоречит условию. Так как $a > b$, разность $b - a$ должна быть отрицательной: $b - a = -10$.

Ответ: неверно.

4) a - 10 = b

Это равенство является преобразованием основного равенства $a - b = 10$. Если мы перенесем b в правую часть, а 10 в левую, мы получим $a - 10 = b$. Это верное утверждение.

Ответ: верно.

5) b + 10 = a

Это равенство также является преобразованием основного равенства $a - b = 10$. Если перенести b в правую часть, мы получим $a = b + 10$, что то же самое, что и $b + 10 = a$. Это верное утверждение.

Ответ: верно.

5. Найдите все натуральные значения $a$, при которых выражение $20 : a$ принимает натуральные значения.

Для того чтобы выражение $20 : a$ принимало натуральные значения, необходимо, чтобы делитель $a$ был натуральным числом и чтобы деление 20 на $a$ происходило без остатка. Иными словами, $a$ должно быть натуральным делителем числа 20.

Найдём все натуральные делители числа 20. Для этого перечислим все натуральные числа, на которые 20 делится нацело:

$20 : 1 = 20$

$20 : 2 = 10$

$20 : 3$ (деление с остатком)

$20 : 4 = 5$

$20 : 5 = 4$

$20 : 6$ (деление с остатком)

$20 : 7$ (деление с остатком)

$20 : 8$ (деление с остатком)

$20 : 9$ (деление с остатком)

$20 : 10 = 2$

$20 : 20 = 1$

Таким образом, натуральными делителями числа 20 являются числа: 1, 2, 4, 5, 10, 20. При делении на эти числа выражение $20 : a$ принимает натуральные значения (20, 10, 5, 4, 2, 1 соответственно).

Ответ: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

6. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?

Для решения этой задачи составим систему уравнений.Пусть $x$ — количество гирь по 2 кг, а $y$ — количество гирь по 3 кг.

Из условия мы знаем, что всего гирь было 10. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 10$

Также мы знаем, что весы находятся в равновесии. Это означает, что общая масса гирь на левой чаше равна общей массе гирь на правой. Это дает нам второе уравнение:
$2 \cdot x = 3 \cdot y$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 10 \\ 2x = 3y \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 10 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2 \cdot (10 - y) = 3y$

Теперь решим полученное уравнение:
$20 - 2y = 3y$
$20 = 3y + 2y$
$20 = 5y$
$y = \frac{20}{5}$
$y = 4$

Мы нашли, что количество гирь по 3 кг равно 4. Теперь найдем количество гирь по 2 кг, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x = 10 - y$
$x = 10 - 4$
$x = 6$

Таким образом, было 6 гирь по 2 кг.

Выполним проверку:
Общее количество гирь: $6 + 4 = 10$.
Масса на первой чаше: $6 \text{ гирь} \times 2 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$.
Масса на второй чаше: $4 \text{ гири} \times 3 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$.
Массы на обеих чашах весов равны ($12 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$), значит, решение верное.

Ответ: Поставили 6 гирь по 2 кг и 4 гири по 3 кг.

267. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) $x + 16 = 28$;

2) $4x - 5 = 7?$

1) $x + 16 = 28$

Чтобы определить, какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения, подставим каждое из них в уравнение вместо переменной $x$ и проверим, получится ли верное равенство.

Проверка для числа 3:
$3 + 16 = 19$
$19 \neq 28$. Равенство неверное, значит 3 не является корнем уравнения.

Проверка для числа 12:
$12 + 16 = 28$
$28 = 28$. Равенство верное, значит 12 является корнем уравнения.

Проверка для числа 14:
$14 + 16 = 30$
$30 \neq 28$. Равенство неверное, значит 14 не является корнем уравнения.

Ответ: 12

2) $4x - 5 = 7$

Аналогично проверим каждое из чисел для второго уравнения.

Проверка для числа 3:
$4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$
$7 = 7$. Равенство верное, значит 3 является корнем уравнения.

Проверка для числа 12:
$4 \cdot 12 - 5 = 48 - 5 = 43$
$43 \neq 7$. Равенство неверное, значит 12 не является корнем уравнения.

Проверка для числа 14:
$4 \cdot 14 - 5 = 56 - 5 = 51$
$51 \neq 7$. Равенство неверное, значит 14 не является корнем уравнения.

Ответ: 3