Страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

285. Какие из лучей, изображённых на рисунке 77, пересекают сторону угла $BOC$?

Рис. 77

O

C

T

S

K

M

B

A

N

Рис. 78

D

P

R

C

A

E

F

B

O

Чтобы определить, какие из лучей пересекают сторону угла $BOC$, необходимо рассмотреть каждый луч на рисунке 77 и проверить, имеет ли он общую точку с лучами $OB$ или $OC$, которые являются сторонами данного угла.

1. Луч AK: Начало луча находится в точке A. Если мы мысленно продолжим луч AK за точку K, он пересечет сторону $OB$ угла $BOC$.

2. Луч MN: Начало луча находится в точке M. Луч направлен от вершины угла O. При его продолжении за точку N он не пересечет ни сторону $OB$, ни сторону $OC$.

3. Луч ST: Начало луча находится в точке S. Если мы мысленно продолжим луч ST за точку T, он пересечет сторону $OC$ угла $BOC$.

Следовательно, стороны угла $BOC$ пересекают лучи AK и ST.

Ответ: лучи AK и ST.

Рис. 77

Рис. 78

286. Какие из лучей, изображённых на рисунке 78, пересекают сторону угла $BOC$?

Для того чтобы определить, какие из лучей на рисунке 78 пересекают сторону угла $\angle BOC$, необходимо проанализировать расположение и направление каждого из лучей (AD, RP, FE) относительно сторон угла, которыми являются лучи OB и OC.

Луч AD

Начальная точка A этого луча находится внутри угла $\angle BOC$. Любой луч, который начинается во внутренней области угла и не проходит через его вершину, обязательно пересечет одну из сторон этого угла. Визуально, если продолжить луч AD, он пересечет сторону OC.

Луч RP

Начальная точка R этого луча находится вне угла $\angle BOC$. Луч направлен в сторону внутренней области угла. При его продолжении он пересечет сторону OB.

Луч FE

Начальная точка F этого луча находится вне угла $\angle BOC$. Луч направлен в сторону от угла и его внутренней области, поэтому он не пересекает ни одну из его сторон (ни луч OB, ни луч OC).

Следовательно, стороны угла $\angle BOC$ пересекают лучи AD и RP.

Ответ: лучи AD и RP.

287. Начертите $\angle MNE$ и проведите лучи $NA$ и $NC$ между его сторонами.
Запишите все образовавшиеся углы.

1. Начертим угол $\angle MNE$. Это угол с вершиной в точке N и сторонами, являющимися лучами NM и NE.

2. Проведем из вершины N лучи NA и NC так, чтобы они располагались между сторонами угла $\angle MNE$. Теперь у нас есть четыре луча, исходящих из одной точки N: NM, NA, NC, NE.

3. Угол образуется парой лучей, выходящих из одной вершины. Чтобы найти все образовавшиеся углы, необходимо перечислить все возможные пары из четырех имеющихся лучей.

Систематически перечислим все углы:

• Углы, одной из сторон которых является луч NM: $\angle MNA$, $\angle MNC$, $\angle MNE$.
• Углы, одной из сторон которых является луч NA (исключая уже названный угол $\angle MNA$): $\angle ANC$, $\angle ANE$.
• Угол, образованный оставшейся парой лучей NC и NE (исключая уже названные углы): $\angle CNE$.

Всего получилось 6 различных углов.

Ответ: $\angle MNA$, $\angle MNC$, $\angle MNE$, $\angle ANC$, $\angle ANE$, $\angle CNE$.

288. На рисунке 79 $\angle ABE = \angle CBF$. Есть ли ещё на этом рисунке равные углы?

Рис. 79

Да, на данном рисунке есть ещё одна пара равных углов. Это углы $ \angle ABF $ и $ \angle CBE $.

Чтобы доказать их равенство, рассмотрим, из каких углов они состоят.

Угол $ \angle ABF $ является суммой двух смежных углов: $ \angle ABE $ и $ \angle EBF $.
$ \angle ABF = \angle ABE + \angle EBF $

Угол $ \angle CBE $ также является суммой двух смежных углов: $ \angle CBF $ и $ \angle EBF $.
$ \angle CBE = \angle CBF + \angle EBF $

По условию задачи известно, что $ \angle ABE = \angle CBF $. Угол $ \angle EBF $ является общим для выражений, описывающих углы $ \angle ABF $ и $ \angle CBE $.

Поскольку эти два угла ($ \angle ABF $ и $ \angle CBE $) состоят из суммы равных по условию углов и одного общего угла, то они равны между собой.

Ответ: да, есть. Это углы $ \angle ABF $ и $ \angle CBE $, так как $ \angle ABF = \angle CBE $.

289. На рисунке 80 $ \angle AOB = \angle DOE $, $ \angle BOC = \angle COD $. Есть ли еще на этом рисунке равные углы?

Рис. 80

Да, на этом рисунке можно найти ещё одну пару равных углов. Проведем доказательство.

По условию задачи нам дано, что:

1. $\angle AOB = \angle DOE$

2. $\angle BOC = \angle COD$

Рассмотрим составной угол $\angle AOC$. Он образован сложением двух углов: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Следовательно, его величину можно выразить как сумму:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

Теперь рассмотрим составной угол $\angle COE$. Он образован сложением двух других углов: $\angle COD$ и $\angle DOE$. Его величина равна:

$\angle COE = \angle COD + \angle DOE$

Мы можем использовать данные из условия задачи для преобразования выражения для $\angle COE$. Заменим $\angle COD$ на равный ему угол $\angle BOC$ и $\angle DOE$ на равный ему угол $\angle AOB$:

$\angle COE = \angle BOC + \angle AOB$

Теперь сравним выражения для углов $\angle AOC$ и $\angle COE$:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

$\angle COE = \angle BOC + \angle AOB$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части:

$\angle AOC = \angle COE$

Таким образом, мы нашли еще одну пару равных углов.

Ответ: да, есть. Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle COE$.

290. На рисунке 81 углы $\angle FOK$ и $\angle MOE$ равны. Какие ещё углы, изображённые на этом рисунке, равны?

Рис. 81

По условию задачи дано, что $ \angle FOK = \angle MOE $.

Рассмотрим эти углы. Каждый из них состоит из двух меньших углов, причём один из этих углов, $ \angle MOK $, является для них общим.

Угол $ \angle FOK $ можно представить как сумму углов $ \angle FOM $ и $ \angle MOK $:
$ \angle FOK = \angle FOM + \angle MOK $

Угол $ \angle MOE $ можно представить как сумму углов $ \angle MOK $ и $ \angle KOE $:
$ \angle MOE = \angle MOK + \angle KOE $

Так как по условию $ \angle FOK = \angle MOE $, мы можем приравнять выражения для этих углов:
$ \angle FOM + \angle MOK = \angle MOK + \angle KOE $

Если из равных величин вычесть одну и ту же величину, то равенство сохранится. Вычтем из обеих частей равенства величину общего угла $ \angle MOK $:
$ (\angle FOM + \angle MOK) - \angle MOK = (\angle MOK + \angle KOE) - \angle MOK $
$ \angle FOM = \angle KOE $

Следовательно, еще одной парой равных углов на рисунке являются углы $ \angle FOM $ и $ \angle KOE $.

Ответ: $ \angle FOM = \angle KOE $.

291. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) произведение суммы чисел 18 и 20 и числа 8; $$(18 + 20) \times 8$$

2) частное от деления разности чисел 128 и 29 на число 11; $$ \frac{128 - 29}{11} $$

3) частное от деления произведения чисел 15 и 6 на их разность. $$ \frac{15 \times 6}{15 - 6} $$

1) произведение суммы чисел 18 и 20 и числа 8
Чтобы составить это числовое выражение, сначала нужно найти сумму чисел 18 и 20, а затем умножить результат на 8. Сумма чисел записывается в скобках, так как это действие выполняется первым.
Числовое выражение: $(18 + 20) \cdot 8$.
Найдем его значение:
1. Находим сумму в скобках: $18 + 20 = 38$.
2. Умножаем результат на 8: $38 \cdot 8 = 304$.
Таким образом, $(18 + 20) \cdot 8 = 304$.
Ответ: 304

2) частное от деления разности чисел 128 и 29 на число 11
Сначала нужно найти разность чисел 128 и 29. Затем полученный результат нужно разделить на 11. Разность чисел записывается в скобках, чтобы показать, что это действие выполняется первым.
Числовое выражение: $(128 - 29) : 11$.
Найдем его значение:
1. Находим разность в скобках: $128 - 29 = 99$.
2. Делим результат на 11: $99 : 11 = 9$.
Таким образом, $(128 - 29) : 11 = 9$.
Ответ: 9

3) частное от деления произведения чисел 15 и 6 на их разность
В этом выражении нужно найти произведение чисел 15 и 6 (делимое) и их разность (делитель). Затем первое значение разделить на второе. Оба действия (произведение и разность) должны быть выполнены до деления, поэтому их следует заключить в скобки.
Числовое выражение: $(15 \cdot 6) : (15 - 6)$.
Найдем его значение:
1. Находим произведение в первых скобках: $15 \cdot 6 = 90$.
2. Находим разность во вторых скобках: $15 - 6 = 9$.
3. Делим первый результат на второй: $90 : 9 = 10$.
Таким образом, $(15 \cdot 6) : (15 - 6) = 10$.
Ответ: 10