Страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой угол называют развёрнутым?

Развёрнутым углом называют угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами друг к другу. Это означает, что два луча, образующие угол, выходят из одной точки (вершины) в противоположных направлениях, вместе формируя прямую линию.

Градусная мера развёрнутого угла всегда равна $180^\circ$. Такой угол равен сумме двух прямых углов ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$) и составляет ровно половину полного оборота ($360^\circ$).

Ответ: Развёрнутым называют угол, стороны которого образуют прямую линию, а его величина равна $180^\circ$.

2. В каких единицах измеряют углы?

Углы измеряют в различных единицах, выбор которых зависит от области применения (математика, физика, навигация, геодезия и т.д.). Наиболее распространены градусная и радианная меры.

Градусная мера (градусы, минуты, секунды)

Это самая известная и часто используемая система измерения углов. В этой системе полный круг делится на 360 равных частей, называемых градусами. Градус обозначается символом $^\circ$. Таким образом, развернутый угол равен $180^\circ$, а прямой угол — $90^\circ$.

Для более точных измерений используются дольные единицы градуса — минуты и секунды:

• 1 градус ($1^\circ$) равен 60 минутам ($60'$).
• 1 минута ($1'$) равна 60 секундам ($60''$).

Например, угол может быть записан как $45^\circ 30' 15''$.

Ответ: Углы измеряют в градусах ($^\circ$), минутах ($'$) и секундах ($''$).

Радианная мера (радианы)

Это основная единица измерения углов в высшей математике, физике и многих инженерных дисциплинах. Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол (окружность) содержит $2\pi$ радиан. Обозначается как "рад" или "rad".

Связь между радианной и градусной мерой выражается формулой:

$\pi \text{ рад} = 180^\circ$

Из этого соотношения следуют формулы для перевода:

$1 \text{ рад} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,296^\circ$

$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 0,01745 \text{ рад}$

Ответ: Углы измеряют в радианах (рад).

Град (гон)

Эта единица используется реже, в основном в геодезии и строительстве. В этой системе прямой угол делится на 100 градов (или гонов), а полный круг, соответственно, содержит 400 градов. Обозначается как $^g$ или `grad`.

Соотношение с другими единицами:

$400^g = 360^\circ = 2\pi \text{ рад}$

Ответ: Углы измеряют в градах (гонах).

Обороты (полные углы)

Угол можно измерять количеством полных оборотов. Один оборот — это полный круг. Эта единица удобна при описании вращательного движения, например, в механике (число оборотов в минуту) или в компьютерной графике.

$1 \text{ оборот} = 360^\circ = 2\pi \text{ рад}$

Ответ: Углы измеряют в оборотах.

3. Какова градусная мера развёрнутого угла?

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и выходят из одной точки (вершины) в противоположные стороны. Визуально он выглядит как прямая линия.

Полный оборот или полный угол составляет $360^\circ$. Развёрнутый угол составляет ровно половину полного оборота. Поэтому его градусная мера вычисляется как:

$ \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $

Другой способ понять это — через прямой угол. Прямой угол равен $90^\circ$. Развёрнутый угол состоит из двух смежных прямых углов. Следовательно, его мера равна сумме двух прямых углов:

$ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Таким образом, градусная мера развёрнутого угла всегда равна $180$ градусам.

Ответ: $180^\circ$.

4. Что означает измерить угол?

Измерить угол — это значит найти его величину или градусную меру. Процесс измерения заключается в сравнении данного угла с эталонным углом, принятым за единицу измерения.

В геометрии основной единицей измерения углов является градус. Градус (обозначается символом $^\circ$) определяется как угол, равный $\frac{1}{180}$ части развёрнутого угла. Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и образуют её. Его величина равна $180^\circ$. Полный угол, который описывает полный оборот, равен $360^\circ$.

Таким образом, измерить угол — это узнать, сколько раз единичный угол в $1^\circ$ (а также его доли — минуты и секунды) укладывается внутри измеряемого угла. Например, если говорят, что угол равен $45^\circ$, это означает, что он состоит из 45 углов, каждый из которых равен $1^\circ$.

Для практического измерения углов на плоскости используется инструмент, который называется транспортир. Чтобы измерить угол с его помощью, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, а одну из сторон угла — с нулевой отметкой на его шкале. Другая сторона угла укажет на шкале число, которое и является величиной угла в градусах.

Ответ: Измерить угол — это определить его величину, то есть найти число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения (например, градус) содержится в данном угле.

5. Как называется прибор, который используют для измерения углов?

Прибор, который используют для измерения углов на плоскости, называется транспортир. Это простейший чертёжно-измерительный инструмент, который обычно представляет собой прозрачную пластину в форме полукруга или круга со нанесённой шкалой в градусах. Стандартный школьный транспортир имеет форму полукруга и шкалу от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$.

Для измерения угла с помощью транспортира выполняют следующие действия:

1. Центр транспортира (специальную точку или отверстие) совмещают с вершиной угла.
2. Транспортир поворачивают так, чтобы одна из сторон угла прошла через нулевую отметку шкалы.
3. На шкале находят штрих, через который проходит вторая сторона угла. Числовое значение этого штриха показывает величину угла в градусах.

Стоит отметить, что для более точных и специализированных измерений углов в различных сферах деятельности существуют и другие приборы:

• Гониометр – прибор для высокоточного измерения углов, применяемый в физических лабораториях, оптике, кристаллографии.
• Теодолит – геодезический инструмент для измерения горизонтальных и вертикальных углов при работах на местности (в строительстве, картографии).
• Секстант – навигационный инструмент, используемый в мореплавании для измерения угловой высоты небесных светил над горизонтом с целью определения координат.

Однако в повседневной практике и на уроках геометрии для измерения и построения углов используется именно транспортир.
Ответ: транспортир.