Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

312. Луч BK является биссектрисой угла CBD, $\angle ABK = 146^{\circ}$ (рис. 101, а).

Вычислите градусную меру угла CBD.

Поскольку точки A, B, C лежат на одной прямой, угол $∠ABC$ является развернутым, и его величина составляет $180°$. Углы $∠ABK$ и $∠CBK$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180°$.

Зная, что $∠ABK = 146°$, мы можем найти градусную меру угла $∠CBK$:

$∠CBK = 180° - ∠ABK = 180° - 146° = 34°$.

Согласно условию, луч ВК является биссектрисой угла $∠CBD$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$∠CBK = ∠KBD = 34°$.

Угол $∠CBD$ состоит из двух углов $∠CBK$ и $∠KBD$. Чтобы найти его величину, нужно сложить градусные меры этих углов, либо умножить величину одного из них на два:

$∠CBD = 2 \cdot ∠CBK = 2 \cdot 34° = 68°$.

Ответ: $68°$.

313. Луч OA является биссектрисой угла COM, $ \angle COM = 54^\circ $ (рис. 101, б).

Вычислите градусную меру угла $ BOA $.

Рис. 101

а

б

По условию задачи, луч OA является биссектрисой угла COM. Биссектриса угла — это луч, который делит угол на два равных по величине угла. Следовательно, $\angle COA = \angle AOM$.

Чтобы найти величину угла COA, разделим величину угла COM на 2:

$\angle COA = \frac{1}{2} \cdot \angle COM = \frac{1}{2} \cdot 54^\circ = 27^\circ$.

Из рисунка 101, б видно, что точки B, O, C лежат на одной прямой, следовательно, угол BOC является развернутым, и его величина равна $180^\circ$.

Углы BOA и COA являются смежными, так как у них общая сторона OA, а стороны OB и OC являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BOA + \angle COA = 180^\circ$.

Чтобы найти градусную меру угла BOA, вычтем из $180^\circ$ градусную меру угла COA:

$\angle BOA = 180^\circ - \angle COA = 180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$.

Ответ: $153^\circ$.

314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развёрнутые углы, образовавшиеся при этом.

Для решения задачи необходимо сначала провести три прямые, которые пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку пересечения буквой $O$.

Обозначим сами прямые, например, как $a$, $b$ и $c$. Для того чтобы можно было называть углы, отметим на каждой прямой по две точки, по одной с каждой стороны от точки пересечения $O$.
На прямой $a$ выберем точки $A$ и $B$ так, чтобы точка $O$ лежала между ними.
На прямой $b$ выберем точки $C$ и $D$ так, чтобы точка $O$ лежала между ними.
На прямой $c$ выберем точки $E$ и $F$ так, чтобы точка $O$ лежала между ними.

Таким образом, мы имеем три прямые $AB$, $CD$ и $EF$, которые пересекаются в точке $O$.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой (являются противоположными лучами), а его градусная мера составляет $180^\circ$. Вершиной всех развёрнутых углов в нашей задаче будет точка пересечения $O$.

Каждая из трёх прямых, проходящих через точку $O$, образует один развёрнутый угол. Найдём и запишем их все:
1. Прямая $AB$ состоит из двух противоположных лучей $OA$ и $OB$. Они образуют развёрнутый угол $\angle AOB$.
2. Прямая $CD$ состоит из двух противоположных лучей $OC$ и $OD$. Они образуют развёрнутый угол $\angle COD$.
3. Прямая $EF$ состоит из двух противоположных лучей $OE$ и $OF$. Они образуют развёрнутый угол $\angle EOF$.

Следовательно, при пересечении трёх прямых в одной точке образуется ровно три развёрнутых угла.

Ответ: $\angle AOB$, $\angle COD$, $\angle EOF$.

315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше $31^\circ$?

Шесть прямых, пересекающихся в одной точке, образуют $6 \times 2 = 12$ лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи делят полный угол вокруг точки на 12 меньших углов. Сумма всех этих углов составляет $360^\circ$.

Чтобы ответить на вопрос, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть все 12 образовавшихся углов имеют градусную меру не меньше $31^\circ$. Математически это можно записать так: $\alpha_i \ge 31^\circ$ для всех углов $\alpha_i$ (где $i$ от 1 до 12).

В таком случае найдем минимально возможную сумму всех 12 углов. Если каждый из 12 углов не меньше $31^\circ$, то их общая сумма будет не меньше, чем произведение количества углов на минимальную градусную меру:

Сумма углов $\ge 12 \times 31^\circ = 372^\circ$.

Однако мы знаем, что сумма всех углов вокруг одной точки всегда в точности равна $360^\circ$. Наше предположение привело к противоречию, поскольку $372^\circ > 360^\circ$.

Следовательно, исходное предположение о том, что все углы не меньше $31^\circ$, является ложным. Это означает, что среди 12 углов обязательно должен быть хотя бы один угол, градусная мера которого меньше $31^\circ$.

Ответ: Да, верно.

316. Заполните цепочку вычислений:

1) 4 см $ \cdot 300 $ $ - 12 \text{ дм} $ $ : 9 $ $ + 3 \text{ м} $;

2) 8 мин $ \cdot 15 $ $ + 2 \text{ ч} $ $ : 6 $ $ - 54 \text{ с} $.

1) Решим первую цепочку вычислений по шагам. Для удобства будем выполнять все действия в сантиметрах (см).
Первый шаг: $4 \text{ см} \cdot 300 = 1200 \text{ см}$.
Второй шаг: $1200 \text{ см} - 12 \text{ дм}$. Переведем дециметры в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$12 \text{ дм} = 12 \cdot 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$.
Теперь выполним вычитание: $1200 \text{ см} - 120 \text{ см} = 1080 \text{ см}$.
Третий шаг: $1080 \text{ см} : 9 = 120 \text{ см}$.
Четвертый шаг: $120 \text{ см} + 3 \text{ м}$. Переведем метры в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
$3 \text{ м} = 3 \cdot 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Теперь выполним сложение: $120 \text{ см} + 300 \text{ см} = 420 \text{ см}$.
Ответ: $420 \text{ см}$.

2) Решим вторую цепочку вычислений по шагам, приводя величины к общим единицам измерения, где это необходимо.
Первый шаг: $8 \text{ мин} \cdot 15 = 120 \text{ мин}$.
Второй шаг: $120 \text{ мин} + 2 \text{ ч}$. Переведем часы в минуты, зная, что $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
$2 \text{ ч} = 2 \cdot 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$.
Теперь выполним сложение: $120 \text{ мин} + 120 \text{ мин} = 240 \text{ мин}$.
Третий шаг: $240 \text{ мин} : 6 = 40 \text{ мин}$.
Четвертый шаг: $40 \text{ мин} - 54 \text{ с}$. Для выполнения этого действия представим $40$ минут как $39$ минут и $60$ секунд.
$40 \text{ мин} = 39 \text{ мин} + 1 \text{ мин} = 39 \text{ мин} + 60 \text{ с}$.
Теперь выполним вычитание: $(39 \text{ мин} + 60 \text{ с}) - 54 \text{ с} = 39 \text{ мин} + (60 - 54) \text{ с} = 39 \text{ мин} \, 6 \text{ с}$.
Ответ: $39 \text{ мин} \, 6 \text{ с}$.

317. Верно ли неравенство $(a + 253) \cdot 7 < (9864 - a) : 4$ при $a = 124?$

Чтобы проверить, верно ли неравенство $(a + 253) \cdot 7 < (9864 - a) : 4$ при $a = 124$, нужно подставить значение $a$ в обе части неравенства и вычислить их значения.

1. Вычислим значение левой части неравенства.

Подставим $a = 124$ в выражение $(a + 253) \cdot 7$:

$(124 + 253) \cdot 7 = 377 \cdot 7 = 2639$.

2. Вычислим значение правой части неравенства.

Подставим $a = 124$ в выражение $(9864 - a) : 4$:

$(9864 - 124) : 4 = 9740 : 4 = 2435$.

3. Сравним полученные результаты.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в исходное неравенство:

$2639 < 2435$.

Это утверждение является ложным, так как $2639$ больше, чем $2435$ ($2639 > 2435$).

Ответ: неравенство неверно.

318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим вместимость стакана как $c$ (в граммах), а вместимость банки как $j$ (в граммах).

Из первого условия задачи известно, что в четыре стакана помещается столько же молока, сколько в одну банку. Математически это можно записать так:

$4 \cdot c = j$

Из второго условия известно, что в один стакан и одну банку вместе помещается 1 кг 200 г молока. Сначала переведем массу в граммы, учитывая, что 1 кг = 1000 г:

$1 \text{ кг } 200 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 1200 \text{ г}$

Таким образом, второе уравнение будет выглядеть так:

$c + j = 1200$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$4c = j$
$c + j = 1200$

Подставим значение $j$ из первого уравнения ($j = 4c$) во второе уравнение:

$c + (4c) = 1200$

Сложим значения с переменной $c$:

$5c = 1200$

Теперь найдем значение $c$, разделив 1200 на 5:

$c = 1200 / 5 = 240$

Следовательно, в один стакан помещается 240 граммов молока.

Ответ: 240 граммов молока помещается в стакан.

319. Длина границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет $15\ 293$ км. Найдите длину границы России с каждым из этих государств, если длина границы с Китаем и Монголией равна $7\ 694$ км, а с Китаем и Казахстаном – $11\ 808$ км.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие длину границы России с каждым из государств:

• $К$ — длина границы с Китаем;
• $М$ — длина границы с Монголией;
• $З$ — длина границы с Казахстаном.

На основе условий задачи составим систему уравнений:

1) $К + М + З = 15293$ (общая длина всех трех границ)

2) $К + М = 7694$ (сумма длин границ с Китаем и Монголией)

3) $К + З = 11808$ (сумма длин границ с Китаем и Казахстаном)

1. Найдём длину границы с Казахстаном

Для этого из общей длины границ (уравнение 1) вычтем сумму длин границ с Китаем и Монголией (уравнение 2).

$З = (К + М + З) - (К + М) = 15293 - 7694 = 7599$ км.

Ответ: Длина границы России с Казахстаном составляет 7599 км.

2. Найдём длину границы с Монголией

Для этого из общей длины границ (уравнение 1) вычтем сумму длин границ с Китаем и Казахстаном (уравнение 3).

$М = (К + М + З) - (К + З) = 15293 - 11808 = 3485$ км.

Ответ: Длина границы России с Монголией составляет 3485 км.

3. Найдём длину границы с Китаем

Теперь, зная длину границы с Монголией, мы можем найти длину границы с Китаем из уравнения 2.

$К + М = 7694$

$К = 7694 - М = 7694 - 3485 = 4209$ км.

Ответ: Длина границы России с Китаем составляет 4209 км.

Проверка:

Сложим полученные длины всех трех границ, чтобы убедиться, что их сумма равна общей длине, указанной в условии:

$К + М + З = 4209 + 3485 + 7599 = 15293$ км.

Сумма верна, следовательно, задача решена правильно.