Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

305. Какой из углов, изображённых на рисунке 98, наибольший? Наименьший?

Рис. 98

Для того чтобы определить, какой из углов на рисунке 98 является наибольшим, а какой наименьшим, необходимо сравнить их градусные меры. Это можно сделать, классифицируя каждый угол по его виду и сравнивая их визуально.

На рисунке представлены следующие углы:

• Угол A — тупой угол, так как он больше прямого угла ($90^\circ$).
• Угол B — острый угол, так как он меньше прямого угла.
• Угол C — прямой угол, его величина равна $90^\circ$.
• Угол D — острый угол, он также меньше прямого угла.

Какой из углов наибольший?

Сравнивая типы углов, мы знаем, что любой тупой угол всегда больше прямого и острого углов. На рисунке только один тупой угол — это угол A. Следовательно, он и является наибольшим среди всех представленных.

Можно записать соотношение: $ \angle A > \angle C > \angle B $ и $ \angle A > \angle C > \angle D $.

Ответ: наибольший угол — A.

Какой из углов наименьший?

Наименьший угол должен быть одним из острых углов, то есть либо B, либо D. Сравним их визуально. Угол D выглядит значительно "уже", чем угол B, то есть расстояние между его сторонами меньше. Это означает, что градусная мера угла D меньше, чем у угла B.

Таким образом, угол D является наименьшим из всех четырёх углов.

Ответ: наименьший угол — D.

306. Начертите угол $ \angle CDE $, равный $ 152^\circ $. Лучом $ DA $ разделите этот угол на два угла так, чтобы $ \angle CDA = 98^\circ $. Вычислите величину угла $ \angle ADE $.

По условию задачи нам дан угол $ \angle CDE $, величина которого составляет $152^\circ$. Этот угол разделен лучом $DA$ на два угла: $ \angle CDA $ и $ \angle ADE $.

Когда луч проходит между сторонами угла, он делит его на два меньших угла. Сумма величин этих двух меньших углов равна величине исходного, большего угла. Это можно записать в виде формулы:

$ \angle CDE = \angle CDA + \angle ADE $

Нам известны значения $ \angle CDE $ и $ \angle CDA $:
$ \angle CDE = 152^\circ $
$ \angle CDA = 98^\circ $

Чтобы найти величину угла $ \angle ADE $, подставим известные значения в формулу и решим уравнение:

$ 152^\circ = 98^\circ + \angle ADE $

Выразим $ \angle ADE $:

$ \angle ADE = 152^\circ - 98^\circ $

$ \angle ADE = 54^\circ $

Таким образом, величина угла $ADE$ составляет $54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.

307. Начертите угол $\angle ABC$, равный $106^\circ$. Лучом $BD$ разделите этот угол на два угла так, чтобы $\angle ABD = 34^\circ$. Вычислите величину угла $\angle DBC$.

Согласно условию задачи, луч $BD$ делит угол $ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Это означает, что величина угла $ABC$ является суммой величин углов $ABD$ и $DBC$.

Математически это можно записать следующим образом:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

Нам даны следующие значения:

$\angle ABC = 106^\circ$

$\angle ABD = 34^\circ$

Для того чтобы найти величину угла $DBC$, необходимо из величины угла $ABC$ вычесть величину известного угла $ABD$.

$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD$

Подставим числовые значения в формулу:

$\angle DBC = 106^\circ - 34^\circ = 72^\circ$

Таким образом, величина угла $DBC$ составляет $72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.

308. Из вершины прямого угла $BOM$ (рис. 99) проведены два луча $OA$ и $OC$ так, что $\angle BOC = 74^\circ$, $\angle AOM = 62^\circ$. Вычислите величину угла $AOC$.

Рис. 99

По условию задачи угол $BOM$ является прямым, а это значит, что его величина равна $90^\circ$.

$\angle{BOM} = 90^\circ$

Из рисунка и условия задачи видно, что лучи $OA$ и $OC$ проходят внутри угла $BOM$. Весь угол $BOM$ можно представить как сумму углов, на которые он разделен лучами. Существует несколько способов решения задачи.

Способ 1:

Угол $BOM$ состоит из двух углов: $\angle{BOA}$ и $\angle{AOM}$.

$\angle{BOM} = \angle{BOA} + \angle{AOM}$

Мы знаем величины углов $BOM$ и $AOM$. Подставим их в формулу и найдем величину угла $BOA$.

$90^\circ = \angle{BOA} + 62^\circ$

$\angle{BOA} = 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ$

Теперь рассмотрим угол $BOC$. Он состоит из суммы углов $\angle{BOA}$ и $\angle{AOC}$.

$\angle{BOC} = \angle{BOA} + \angle{AOC}$

Мы знаем величину угла $BOC$ и только что нашли величину угла $BOA$. Подставим их в формулу, чтобы найти искомый угол $AOC$.

$74^\circ = 28^\circ + \angle{AOC}$

$\angle{AOC} = 74^\circ - 28^\circ = 46^\circ$

Способ 2:

Угол $BOM$ также можно представить как сумму углов $\angle{BOC}$ и $\angle{COM}$.

$\angle{BOM} = \angle{BOC} + \angle{COM}$

Подставим известные значения, чтобы найти угол $COM$.

$90^\circ = 74^\circ + \angle{COM}$

$\angle{COM} = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ$

Теперь рассмотрим угол $AOM$. Он состоит из суммы углов $\angle{AOC}$ и $\angle{COM}$.

$\angle{AOM} = \angle{AOC} + \angle{COM}$

Подставим известные значения, чтобы найти искомый угол $AOC$.

$62^\circ = \angle{AOC} + 16^\circ$

$\angle{AOC} = 62^\circ - 16^\circ = 46^\circ$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $46^\circ$

309. Из вершины развёрнутого угла $ACP$ (рис. 100) проведены два луча $CT$ и $CF$ так, что $\angle ACF = 158^\circ$, $\angle TCP = 134^\circ$. Вычислите величину угла $TCF$.

Рис. 100

По условию, угол $ACP$ — развёрнутый, а это значит, что его величина составляет $180^{\circ}$.

$\angle ACP = 180^{\circ}$

Из рисунка видно, что лучи $CT$ и $CF$ делят развёрнутый угол $ACP$ на три угла: $\angle ACT$, $\angle TCF$ и $\angle FCP$. Таким образом, можно записать равенство:

$\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP = \angle ACP = 180^{\circ}$

В условии задачи даны величины углов $\angle ACF$ и $\angle TCP$. Каждый из этих углов состоит из двух смежных углов:

1. $\angle ACF = \angle ACT + \angle TCF = 158^{\circ}$

2. $\angle TCP = \angle TCF + \angle FCP = 134^{\circ}$

Сложим величины этих двух углов:

$\angle ACF + \angle TCP = 158^{\circ} + 134^{\circ} = 292^{\circ}$

Теперь подставим в левую часть суммы составляющих их углов:

$(\angle ACT + \angle TCF) + (\angle TCF + \angle FCP) = 292^{\circ}$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы выделить развёрнутый угол $ACP$:

$(\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP) + \angle TCF = 292^{\circ}$

Выражение в скобках, как мы установили ранее, является развёрнутым углом $ACP$ и равно $180^{\circ}$. Подставим это значение в уравнение:

$180^{\circ} + \angle TCF = 292^{\circ}$

Отсюда найдём искомую величину угла $\angle TCF$:

$\angle TCF = 292^{\circ} - 180^{\circ}$

$\angle TCF = 112^{\circ}$

Ответ: $112^{\circ}$

310. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, — острый;

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой;

3) половина тупого угла — острый угол;

4) сумма градусных мер двух острых углов больше $90^\circ$;

5) угол, который больше прямого, — тупой?

1) угол, который меньше тупого, — острый

Это утверждение неверно. Тупым называется угол $\alpha$, градусная мера которого находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол, который меньше тупого, не обязательно является острым. Например, возьмем тупой угол $150^\circ$. Угол $100^\circ$ меньше, чем $150^\circ$, но он также является тупым. Прямой угол $90^\circ$ также меньше $150^\circ$, но он не является острым.

Ответ: неверно.

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой

Это утверждение неверно. Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Угол, который меньше развёрнутого, может быть не только тупым, но и прямым ($90^\circ$) или острым (например, $30^\circ$). Поскольку существуют углы меньше $180^\circ$, которые не являются тупыми, утверждение ложно.

Ответ: неверно.

3) половина тупого угла — острый угол

Это утверждение верно. Тупой угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Если мы разделим все части этого неравенства на 2, то получим диапазон для половины тупого угла: $ \frac{90^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{180^\circ}{2} $ $ 45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ $ Любой угол в этом диапазоне (от $45^\circ$ до $90^\circ$, не включая границы) по определению является острым, так как острый угол — это угол меньше $90^\circ$.

Ответ: верно.

4) сумма градусных мер двух острых углов больше 90°

Это утверждение неверно. Острый угол $\alpha$ — это угол, для которого выполняется условие $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Если взять два небольших острых угла, например $10^\circ$ и $20^\circ$, их сумма будет равна $10^\circ + 20^\circ = 30^\circ$, что меньше $90^\circ$. Следовательно, утверждение не всегда истинно.

Ответ: неверно.

5) угол, который больше прямого, — тупой?

Это утверждение неверно. Прямой угол равен $90^\circ$. Угол, который больше прямого, может быть тупым (например, $110^\circ$), но он также может быть развёрнутым ($180^\circ$) или даже больше развёрнутого (например, $200^\circ$). Так как тупой угол строго меньше $180^\circ$, то, например, развёрнутый угол ($180^\circ$) больше прямого, но не является тупым.

Ответ: неверно.

311. Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают:

1) 3 ч;

2) 6 ч;

3) 4 ч;

4) 11 ч;

5) 7 ч.

Для решения этой задачи нужно понимать, как устроен циферблат аналоговых часов. Полный круг циферблата составляет $360^{\circ}$. На циферблате расположены 12 часовых делений. Таким образом, угол между двумя соседними часовыми делениями равен:

$360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$

Когда часы показывают ровное количество часов (например, 3:00), минутная стрелка всегда указывает на 12, а часовая — на число, соответствующее часу. Чтобы найти угол между стрелками, нужно умножить количество часовых делений между ними на $30^{\circ}$.

1) 3 ч

В 3 часа минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Между ними 3 часовых деления.

Угол между стрелками равен: $3 \times 30^{\circ} = 90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.

2) 6 ч

В 6 часов минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 6. Между ними 6 часовых делений.

Угол между стрелками равен: $6 \times 30^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $180^{\circ}$.

3) 4 ч

В 4 часа минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 4. Между ними 4 часовых деления.

Угол между стрелками равен: $4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.

4) 11 ч

В 11 часов минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 11. Кратчайшее расстояние между ними составляет 1 часовое деление.

Угол между стрелками равен: $1 \times 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.

5) 7 ч

В 7 часов минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 7. Чтобы найти меньший угол, посчитаем количество делений от 7 до 12. Их 5 (7-8, 8-9, 9-10, 10-11, 11-12).

Угол между стрелками равен: $5 \times 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

Ответ: $150^{\circ}$.