Страница 82 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 94. Определите вид каждого угла.

Рис. 94

Для решения этой задачи воспользуемся транспортиром для измерения градусной меры каждого угла, а затем определим его вид по величине.

• Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90°$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90°$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90°$, но меньше $180°$.

Угол AMK

С помощью транспортира измеряем угол $AMK$. Для этого совмещаем вершину угла $M$ с центром транспортира, а луч $MK$ — с нулевой отметкой. Луч $MA$ пересекает шкалу транспортира на отметке $30°$. Таким образом, $∠AMK = 30°$. Так как $30° < 90°$, то этот угол является острым.

Ответ: $30°$, острый угол.

Угол CTF

Измеряем угол $CTF$ с помощью транспортира. Совмещаем вершину $T$ с центром транспортира, а луч $TF$ — с нулевой отметкой. Луч $TC$ пересекает шкалу транспортира на отметке $150°$. Таким образом, $∠CTF = 150°$. Так как $90° < 150° < 180°$, то этот угол является тупым.

Ответ: $150°$, тупой угол.

Угол POB

Измеряем угол $POB$ с помощью транспортира. Совмещаем вершину $O$ с центром транспортира, а луч $OB$ — с нулевой отметкой. Луч $OP$ пересекает шкалу транспортира на отметке $110°$. Таким образом, $∠POB = 110°$. Так как $90° < 110° < 180°$, то этот угол является тупым.

Ответ: $110°$, тупой угол.

Угол SNE

Измеряем угол $SNE$ с помощью транспортира. Совмещаем вершину $N$ с центром транспортира, а луч $NE$ — с нулевой отметкой. Луч $NS$ пересекает шкалу транспортира на отметке $140°$. Таким образом, $∠SNE = 140°$. Так как $90° < 140° < 180°$, то этот угол является тупым.

Ответ: $140°$, тупой угол.

300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 95. Определите вид каждого угла.

Рис. 95

Угол PRT:

$\angle PRT$

Угол EMF:

$\angle EMF$

Угол CBQ:

$\angle CBQ$

Угол AKS:

$\angle AKS$

Чтобы найти градусные меры углов, изображенных на рисунке, необходимо воспользоваться транспортиром. После измерения мы определим вид каждого угла, основываясь на следующих правилах:

• Острый угол: градусная мера меньше $90°$.
• Прямой угол: градусная мера равна $90°$.
• Тупой угол: градусная мера больше $90°$, но меньше $180°$.

Проведем измерения для каждого угла.

Угол TRP

Совмещаем центр транспортира с вершиной угла — точкой R. Располагаем транспортир так, чтобы луч RP совпал с нулевой отметкой шкалы. Смотрим, на какую отметку указывает луч RT. Измерение показывает, что градусная мера угла составляет примерно $150°$.

Поскольку $150° > 90°$, данный угол является тупым.

Ответ: $∠TRP = 150°$, тупой угол.

Угол EFM

Совмещаем центр транспортира с вершиной угла — точкой F. Располагаем транспортир так, чтобы луч FE совпал с нулевой отметкой шкалы. Луч FM пересекает шкалу транспортира на отметке примерно $35°$.

Поскольку $35° < 90°$, данный угол является острым.

Ответ: $∠EFM = 35°$, острый угол.

Угол BCQ

Совмещаем центр транспортира с вершиной угла — точкой C. Располагаем транспортир так, чтобы луч CQ совпал с нулевой отметкой шкалы. Луч CB пересекает шкалу транспортира на отметке примерно $120°$.

Поскольку $120° > 90°$, данный угол является тупым.

Ответ: $∠BCQ = 120°$, тупой угол.

Угол AKS

Совмещаем центр транспортира с вершиной угла — точкой K. Располагаем транспортир так, чтобы луч KS совпал с нулевой отметкой шкалы. Луч KA пересекает шкалу транспортира на отметке примерно $70°$.

Поскольку $70° < 90°$, данный угол является острым.

Ответ: $∠AKS = 70°$, острый угол.

301. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $38^\circ$;

2) $124^\circ$;

3) $92^\circ$;

4) $90^\circ$;

5) $87^\circ$;

6) $54^\circ$;

7) $170^\circ$;

8) $65^\circ$. Определите вид каждого угла.

Чтобы начертить угол заданной градусной меры, нужно использовать транспортир. Сначала проводится луч (одна сторона угла), затем от его начальной точки с помощью транспортира откладывается нужная величина угла и проводится второй луч.

Для определения вида (типа) угла необходимо сравнить его градусную меру ($\alpha$) с $90^\circ$ и $180^\circ$:

• Острый угол — угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$ ($\alpha = 90^\circ$).
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

1) Угол с градусной мерой $38^\circ$. Так как $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$, то этот угол является острым. Ответ: острый угол.

2) Угол с градусной мерой $124^\circ$. Так как $90^\circ < 124^\circ < 180^\circ$, то этот угол является тупым. Ответ: тупой угол.

3) Угол с градусной мерой $92^\circ$. Так как $90^\circ < 92^\circ < 180^\circ$, то этот угол является тупым. Ответ: тупой угол.

4) Угол с градусной мерой $90^\circ$. Так как градусная мера угла в точности равна $90^\circ$, то этот угол является прямым. Ответ: прямой угол.

5) Угол с градусной мерой $87^\circ$. Так как $0^\circ < 87^\circ < 90^\circ$, то этот угол является острым. Ответ: острый угол.

6) Угол с градусной мерой $54^\circ$. Так как $0^\circ < 54^\circ < 90^\circ$, то этот угол является острым. Ответ: острый угол.

7) Угол с градусной мерой $170^\circ$. Так как $90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$, то этот угол является тупым. Ответ: тупой угол.

8) Угол с градусной мерой $65^\circ$. Так как $0^\circ < 65^\circ < 90^\circ$, то этот угол является острым. Ответ: острый угол.

302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна:

1) $40^{\circ}$;

2) $130^{\circ}$;

3) $68^{\circ}$;

4) $164^{\circ}$.

Определите вид каждого из построенных углов.

Для решения задачи необходимо определить вид каждого угла. Вид угла определяется его градусной мерой.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90° ($ \alpha < 90^\circ $).
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90° ($ \alpha = 90^\circ $).
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180° ($ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $).
• Развернутый угол — это угол, градусная мера которого равна 180° ($ \alpha = 180^\circ $).

Построение углов выполняется с помощью луча и транспортира. От начальной точки луча откладывается угол нужной величины.

1) 40°

Сравниваем градусную меру данного угла с 90°.
Так как $40^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.
Ответ: острый угол.

2) 130°

Сравниваем градусную меру данного угла с 90° и 180°.
Так как $90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$, этот угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

3) 68°

Сравниваем градусную меру данного угла с 90°.
Так как $68^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.
Ответ: острый угол.

4) 164°

Сравниваем градусную меру данного угла с 90° и 180°.
Так как $90^\circ < 164^\circ < 180^\circ$, этот угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

303. На рисунке 96 $\angle CMK = 132^\circ$, а угол AMK — развёрнутый. Вычислите величину угла AMC.

Рис. 96

По условию задачи угол $ \angle AMK $ — развёрнутый. Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$.

Углы $ \angle AMC $ и $ \angle CMK $ являются смежными, поскольку у них общая вершина M и общая сторона MC, а стороны MA и MK образуют прямую линию.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно, можно записать равенство:

$ \angle AMC + \angle CMK = 180^\circ $

Нам известно, что $ \angle CMK = 132^\circ $. Подставим это значение в формулу:

$ \angle AMC + 132^\circ = 180^\circ $

Чтобы найти величину угла $ \angle AMC $, вычтем $132^\circ$ из $180^\circ$:

$ \angle AMC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ $

Ответ: $48^\circ$

304. На рисунке 97 угол AOK — прямой, $ \angle POC = 54^\circ $, а угол COK — развёрнутый. Вычислите величину угла AOP.

Рис. 97

Согласно условию, угол $COK$ — развёрнутый. Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$.
Из рисунка видно, что развёрнутый угол $COK$ состоит из трёх смежных углов: $ \angle POC $, $ \angle AOP $ и $ \angle AOK $.
Следовательно, их сумма равна величине угла $COK$:
$ \angle COK = \angle POC + \angle AOP + \angle AOK $
Нам даны величины двух из этих углов:
1. Угол $AOK$ — прямой, значит, его величина равна $90^\circ$. $ \angle AOK = 90^\circ $.
2. Величина угла $POC$ дана в условии: $ \angle POC = 54^\circ $.
Подставим известные значения в формулу суммы углов:
$ 180^\circ = 54^\circ + \angle AOP + 90^\circ $
Сложим известные углы:
$ 54^\circ + 90^\circ = 144^\circ $
Теперь уравнение выглядит так:
$ 180^\circ = 144^\circ + \angle AOP $
Чтобы найти величину искомого угла $AOP$, вычтем сумму известных углов из $180^\circ$:
$ \angle AOP = 180^\circ - 144^\circ $
$ \angle AOP = 36^\circ $

Ответ: $36^\circ$