Страница 86 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая фигура ограничивает многоугольник?

1. Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Эта линия является границей многоугольника. Ломаная линия состоит из отрезков, которые называются сторонами многоугольника. Эти отрезки последовательно соединены друг с другом в точках, которые называются вершинами многоугольника. Поскольку ломаная является замкнутой, это означает, что начало первого отрезка совпадает с концом последнего, образуя замкнутый контур. Именно этот замкнутый контур (замкнутая ломаная) и ограничивает многоугольник.

Ответ: Многоугольник ограничивает замкнутая ломаная линия.

2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться?

Да, звенья ломаной, которая ограничивает многоугольник, могут пересекаться. Такие многоугольники называются самопересекающимися или звездчатыми.

В геометрии различают два основных вида многоугольников в зависимости от их границы:

Простые многоугольники. Это фигуры, граница которых является замкнутой ломаной без самопересечений. Звенья (стороны) такой ломаной могут пересекаться только в вершинах, причем в каждой вершине сходится ровно два звена. К этому типу относятся все выпуклые и большинство невыпуклых многоугольников, изучаемых в школьном курсе. Для таких фигур ответ был бы «нет».

Самопересекающиеся многоугольники. В более общем определении граница многоугольника может пересекать сама себя. Классическим примером является пентаграмма (пятиконечная звезда). Ее граница — это единая замкнутая ломаная линия, состоящая из пяти звеньев, однако ее несмежные стороны пересекаются между собой не в вершинах, а во внутренних точках. Такая фигура также является многоугольником.

Таким образом, если не ограничиваться только простыми многоугольниками, то звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, могут пересекаться.

Ответ: Да, могут. Это характерно для самопересекающихся (звездчатых) многоугольников.

3. Какие элементы многоугольника вы знаете?

Вершины — это точки, в которых соединяются стороны многоугольника. Каждая вершина является общей точкой для двух смежных сторон. Например, у треугольника 3 вершины, у квадрата — 4. Вершины обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C, ...).
Ответ: Точки, где сходятся стороны многоугольника.

Стороны — это отрезки, которые соединяют соседние вершины и образуют замкнутую ломаную линию, ограничивающую многоугольник. Длины сторон используются для вычисления периметра. Например, у пятиугольника 5 сторон.
Ответ: Отрезки, образующие границу многоугольника.

Углы — это углы, образованные двумя смежными сторонами в каждой из его вершин. Различают внутренние углы (расположенные внутри многоугольника) и внешние углы (смежные с внутренними). Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество сторон.
Ответ: Углы, образованные смежными сторонами в вершинах.

Диагонали — это отрезки, соединяющие две несоседние (не смежные) вершины. У треугольника диагоналей нет. У четырехугольника их две. Количество диагоналей $d$ в n-угольнике можно найти по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.
Ответ: Отрезки, соединяющие несоседние вершины.

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. Периметр является числовой характеристикой и измеряется в единицах длины (например, в сантиметрах, метрах). Если стороны многоугольника равны $a_1, a_2, \ldots, a_n$, то его периметр $P = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$.
Ответ: Сумма длин всех сторон.

Площадь — это величина, которая показывает размер части плоскости, ограниченной сторонами многоугольника. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, в $см^2$, $м^2$).
Ответ: Размер части плоскости, ограниченной многоугольником.

4. Как называют и обозначают многоугольник?

Как называют многоугольник

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Название многоугольника определяется количеством его углов (что равно количеству его сторон и вершин).

Общий принцип таков: к числительному, обозначающему количество углов, добавляется слово «-угольник». Наиболее распространённые многоугольники имеют собственные названия:

• 3 угла — треугольник
• 4 угла — четырёхугольник (частные случаи: квадрат, ромб, прямоугольник)
• 5 углов — пятиугольник
• 6 углов — шестиугольник
• 8 углов — восьмиугольник

Для многоугольника с произвольным числом углов $n$ (где $n \ge 3$) используется общее название $n$-угольник (например, 12-угольник).

Ответ: Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и так далее, или в общем виде — $n$-угольник.

Как обозначают многоугольник

Для обозначения многоугольника последовательно перечисляют все его вершины. Вершины принято обозначать заглавными латинскими буквами (например, $A, B, C, D, \dots$).

При перечислении вершин нужно двигаться по контуру многоугольника, либо по часовой стрелке, либо против неё, начиная с любой вершины. Главное — не пропускать вершины и не нарушать их последовательность.

Например, пятиугольник с вершинами $A, B, C, D, E$ можно обозначить как $ABCDE$. Также верными будут обозначения $BCDEA$ (начали с вершины $B$) или $EDCBA$ (пошли в обратном направлении). Обозначение $ACBED$ будет неверным, так как вершины перечислены не по порядку обхода.

Для треугольника с вершинами $A, B, C$ часто используют специальный символ $\triangle$, и его обозначают как $\triangle ABC$.

Ответ: Многоугольник обозначают, последовательно перечисляя все его вершины заглавными латинскими буквами (например, четырёхугольник $ABCD$).

5. Что называют периметром многоугольника?

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Слово "периметр" происходит от греческих слов "пери" (περί), что означает "вокруг" или "около", и "метрео" (μετρέω) — "измеряю". Таким образом, периметр — это длина замкнутой линии, которая ограничивает плоскую геометрическую фигуру.

Чтобы найти периметр многоугольника, необходимо измерить длину каждой его стороны и сложить полученные значения. Если многоугольник имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, \dots, a_n$, то его периметр $P$ вычисляется по общей формуле: $P = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Например, для некоторых известных многоугольников существуют упрощенные формулы:
- Периметр треугольника со сторонами $a, b, c$ равен $P = a + b + c$.
- Периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2(a + b)$.
- Периметр квадрата со стороной $a$ равен $P = 4a$.
- Периметр правильного n-угольника со стороной $a$ равен $P = n \cdot a$.

Периметр является линейной величиной и измеряется в единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м), километры (км) и т.д.

Ответ: Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

6. Какие многоугольники называют равными?

В геометрии два многоугольника называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это интуитивное определение означает, что равные многоугольники имеют одинаковую форму и одинаковые размеры.

Более формальное определение равенства многоугольников основано на равенстве их соответствующих элементов. Два многоугольника называются равными, если у них:

• Равны соответствующие стороны.
• Равны соответствующие углы (углы между соответствующими сторонами).

Например, чтобы доказать, что два пятиугольника $ABCDE$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$ равны, необходимо установить, что равны все их соответствующие стороны и углы:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $DE = D_1E_1$, $EA = E_1A_1$

и

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$, $\angle D = \angle D_1$, $\angle E = \angle E_1$

Важным следствием из определения является то, что у равных многоугольников равны периметры и площади.

Ответ: Равными называют такие многоугольники, которые можно полностью совместить друг с другом путем наложения. Это означает, что у них равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы.

7. Какие фигуры называют равными?

В геометрии две фигуры называют равными (или конгруэнтными), если одну из них можно совместить с другой путем наложения так, что они полностью совпадут. Это означает, что фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Процесс совмещения может включать в себя перемещение в пространстве без изменения формы и размеров: параллельный перенос, поворот и зеркальное отражение.

Рассмотрим это на примерах для различных геометрических фигур:

• Два отрезка равны, если равны их длины.
• Два угла равны, если равны их градусные (или радианные) меры.
• Два круга равны, если равны их радиусы.
• Два многоугольника (например, треугольника) равны, если у них соответственно равны все стороны и все углы. Для треугольников существуют признаки равенства, которые позволяют сделать вывод об их равенстве, зная равенство лишь некоторых их элементов (например, трех сторон).

Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, это записывается как $F_1 = F_2$. Таким образом, равенство фигур — это фундаментальное понятие, которое позволяет сравнивать их между собой по форме и размеру.

Ответ: Равными называют фигуры, которые можно совместить наложением так, что они полностью совпадут.