Страница 93 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

340. Начертите:

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник;

3) равнобедренный остроугольный треугольник.

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину.

Порядок построения:

1. Начертите прямой угол. Обозначим его вершину буквой C.
2. На сторонах угла отложите отрезки разной длины, например, $AC = 3$ см и $BC = 4$ см.
3. Соедините точки A и B отрезком.

Получившийся треугольник $ABC$ является разносторонним прямоугольным. Угол $C$ равен $90^\circ$. Длины его сторон-катетов $AC$ и $BC$ различны. Длина третьей стороны (гипотенузы) $AB$ находится по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Так как $3 \neq 4 \neq 5$, все стороны треугольника имеют разную длину.

Ответ:

Представлен чертеж и описание построения разностороннего прямоугольного треугольника.

2) разносторонний тупоугольный треугольник;

Разносторонний тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину.

Порядок построения:

1. Начертите тупой угол, например, $120^\circ$. Обозначим его вершину буквой B.
2. На сторонах угла отложите отрезки разной длины, например, $BA = 3$ см и $BC = 5$ см.
3. Соедините точки A и C отрезком.

Получившийся треугольник $ABC$ является разносторонним тупоугольным. Угол $B$ — тупой. Стороны $BA$ и $BC$ имеют разную длину. Сторона $AC$, лежащая против тупого угла, всегда будет самой длинной в треугольнике, поэтому все три стороны будут различны.

Ответ:

Представлен чертеж и описание построения разностороннего тупоугольного треугольника.

3) равнобедренный остроугольный треугольник.

Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны (называются боковыми сторонами), а все углы острые (меньше $90^\circ$).

Порядок построения:

1. Начертите отрезок $AC$ — основание треугольника, например, длиной 6 см.
2. Найдите его середину, точку M.
3. Из точки M проведите перпендикуляр вверх.
4. На этом перпендикуляре отложите отрезок $MB$ (высоту треугольника). Чтобы треугольник был остроугольным, длина высоты должна быть больше половины длины основания. Основание у нас 6 см, половина — 3 см. Возьмем высоту $MB = 5$ см.
5. Соедините точку B с точками A и C.

Получившийся треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = BC$) и остроугольным, так как высота к основанию (5 см) больше половины основания (3 см), что гарантирует, что все углы будут меньше $90^\circ$.

Ответ:

Представлен чертеж и описание построения равнобедренного остроугольного треугольника.

341. Найдите периметр треугольника со сторонами 16 см, 22 см и 28 см.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. В данном случае у нас треугольник, у которого три стороны.

Обозначим длины сторон треугольника как $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их значения равны:

• $a = 16$ см
• $b = 22$ см
• $c = 28$ см

Периметр ($P$) вычисляется по формуле:

$P = a + b + c$

Подставим известные значения в формулу:

$P = 16 \text{ см} + 22 \text{ см} + 28 \text{ см}$

Выполним сложение:

$16 + 22 = 38$

$38 + 28 = 66$

Следовательно, периметр треугольника составляет 66 см.

Ответ: 66 см.

342. Найдите периметр треугольника со сторонами 14 см, 17 см и 17 см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр данного треугольника, нужно сложить длины его сторон.

Стороны треугольника равны 14 см, 17 см и 17 см.

Обозначим периметр буквой $P$. Вычислим его, сложив длины всех сторон:

$P = 14 \text{ см} + 17 \text{ см} + 17 \text{ см}$

Выполним сложение:

$P = 31 \text{ см} + 17 \text{ см} = 48 \text{ см}$

Таким образом, периметр треугольника равен 48 см.

Ответ: 48 см.

343. Начертите произвольный треугольник, измерьте его стороны и углы, найдите периметр и сумму углов этого треугольника.

Поскольку задание требует начертить произвольный треугольник, мы можем выбрать любые длины сторон, которые удовлетворяют неравенству треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны). Начертим треугольник $ABC$ и измерим его элементы.

Допустим, после измерений с помощью линейки и транспортира мы получили следующие результаты:

• Длины сторон: $a = BC = 5$ см, $b = AC = 6$ см, $c = AB = 7$ см.
• Величины углов: $\angle A \approx 44,4^\circ$, $\angle B \approx 57,1^\circ$, $\angle C \approx 78,5^\circ$.

Теперь, используя эти данные, найдем периметр и сумму углов.

периметр

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра:

$P = a + b + c$

Подставим в формулу измеренные длины сторон нашего треугольника $ABC$:

$P = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} + 7 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника равен $18$ см.

сумма углов

Сумма углов треугольника находится путем сложения величин трех его внутренних углов.

Сумма углов = $\angle A + \angle B + \angle C$

Подставим измеренные значения углов:

$44,4^\circ + 57,1^\circ + 78,5^\circ = 180^\circ$

Полученный результат соответствует фундаментальной теореме геометрии, которая гласит, что сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Небольшие погрешности при реальных измерениях транспортиром могут дать результат, незначительно отличающийся от $180^\circ$, но теоретически эта сумма всегда точна.

Ответ: сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

344. Одна сторона треугольника равна 24 см, вторая сторона — на 18 см больше первой, а третья сторона — в 2 раза меньше второй. Найдите периметр треугольника.

Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо сначала вычислить длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. Найдём длину второй стороны

По условию, первая сторона равна 24 см, а вторая сторона на 18 см больше первой. Следовательно, для нахождения длины второй стороны нужно к длине первой прибавить 18 см:

$24 \text{ см} + 18 \text{ см} = 42 \text{ см}$

Ответ: длина второй стороны равна 42 см.

2. Найдём длину третьей стороны

Третья сторона в 2 раза меньше второй. Мы уже знаем, что вторая сторона равна 42 см. Чтобы найти длину третьей стороны, разделим длину второй стороны на 2:

$42 \text{ см} \div 2 = 21 \text{ см}$

Ответ: длина третьей стороны равна 21 см.

3. Найдём периметр треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Сложим длины первой, второй и третьей сторон:

$P = 24 \text{ см} + 42 \text{ см} + 21 \text{ см} = 87 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника равен 87 см.

345. Одна сторона треугольника равна 12 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 8 см меньше второй. Найдите периметр треугольника.

Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо сначала вычислить длины второй и третьей сторон, а затем сложить длины всех трех сторон.

1. Найдём длину второй стороны

По условию, первая сторона равна 12 см, а вторая сторона в 3 раза больше первой. Чтобы найти длину второй стороны, нужно длину первой стороны умножить на 3:

$12 \text{ см} \cdot 3 = 36 \text{ см}$

Таким образом, длина второй стороны составляет 36 см.

2. Найдём длину третьей стороны

Известно, что третья сторона на 8 см меньше второй. Мы вычислили, что вторая сторона равна 36 см. Чтобы найти длину третьей стороны, вычтем 8 см из длины второй стороны:

$36 \text{ см} - 8 \text{ см} = 28 \text{ см}$

Следовательно, длина третьей стороны равна 28 см.

3. Найдём периметр треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Сложим длины найденных сторон:

$P = 12 \text{ см} + 36 \text{ см} + 28 \text{ см} = 76 \text{ см}$

Периметр треугольника равен 76 см.

Ответ: 76 см.

346. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона — 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание — 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.

1)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть боковая сторона равна $a$, а основание — $c$. Тогда формула периметра $P$ будет: $P = a + a + c = 2a + c$.

По условию задачи, основание $c = 13$ см, а боковая сторона $a = 8$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения периметра:

$P = 2 \cdot 8 \text{ см} + 13 \text{ см} = 16 \text{ см} + 13 \text{ см} = 29 \text{ см}$.

Ответ: 29 см.

2)

Периметр равнобедренного треугольника вычисляется по той же формуле: $P = 2a + c$, где $P$ — периметр, $a$ — боковая сторона, $c$ — основание.

По условию, периметр $P = 39$ см, а основание $c = 15$ см. Нам нужно найти длину боковой стороны $a$.

Подставим известные значения в формулу:

$39 = 2a + 15$

Чтобы найти сумму длин двух боковых сторон, вычтем из периметра длину основания:

$2a = 39 - 15$

$2a = 24$

Теперь найдем длину одной боковой стороны, разделив полученное значение на 2:

$a = \frac{24}{2} = 12$ см.

Так как треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны 12 см.

Ответ: 12 см.

347. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите основание треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника — это сумма длин всех его сторон. У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны. Пусть длина боковой стороны равна $a$, а длина основания — $b$. Тогда формула для вычисления периметра $P$ выглядит следующим образом:
$P = a + a + b = 2a + b$

По условию задачи нам даны следующие значения:
Периметр $P = 28$ см.
Боковая сторона $a = 10$ см.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину основания $b$:
$28 = 2 \cdot 10 + b$
$28 = 20 + b$

Теперь, чтобы найти $b$, вычтем из периметра сумму длин двух боковых сторон:
$b = 28 - 20$
$b = 8$ см

Ответ: 8 см.