Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие бывают виды треугольников в зависимости от вида их углов?

В зависимости от вида углов, которые он содержит, треугольник может быть одного из трех видов: остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. Эта классификация основана на сравнении величины каждого из трех внутренних углов треугольника с $90^\circ$.

Остроугольный треугольник

Треугольник называется остроугольным, если все три его внутренних угла являются острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Таким образом, если углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то для остроугольного треугольника выполняются неравенства:
$\alpha < 90^\circ$
$\beta < 90^\circ$
$\gamma < 90^\circ$
При этом их сумма, как и в любом треугольнике, составляет $180^\circ$.

Ответ: Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$).

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, то есть равен $90^\circ$. В треугольнике не может быть более одного прямого угла, так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Два других угла в прямоугольном треугольнике всегда острые, и их сумма равна $90^\circ$. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен $90^\circ$).

Тупоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Как и в случае с прямым углом, в треугольнике может быть только один тупой угол. Два других угла в тупоугольном треугольнике всегда являются острыми. Если $\alpha$ — тупой угол, то $\alpha > 90^\circ$.

Ответ: Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).

2. Какой треугольник называют остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным?

Остроугольным

Треугольник называется остроугольным, если все три его внутренних угла являются острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
Таким образом, если углы треугольника обозначить как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то для остроугольного треугольника должны выполняться следующие условия:
$\alpha < 90^\circ$
$\beta < 90^\circ$
$\gamma < 90^\circ$
При этом, как и для любого треугольника, сумма его углов равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Ответ: Треугольник, у которого все углы острые (меньше $90^\circ$).

Прямоугольным

Треугольник называется прямоугольным, если один из его внутренних углов является прямым. Прямой угол — это угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$.
В любом треугольнике может быть только один прямой угол, так как сумма всех углов равна $180^\circ$. Два других угла в прямоугольном треугольнике всегда острые, и их сумма равна $90^\circ$.
Если один из углов, например $\gamma$, прямой, то $\gamma = 90^\circ$.

Ответ: Треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$).

Тупоугольным

Треугольник называется тупоугольным, если один из его внутренних углов является тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
Как и в случае с прямоугольным треугольником, тупоугольный треугольник может иметь только один тупой угол. Два других угла всегда будут острыми.
Если один из углов, например $\gamma$, тупой, то должно выполняться условие: $90^\circ < \gamma < 180^\circ$.

Ответ: Треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).

3. Какие бывают виды треугольников в зависимости от количества равных сторон?

В зависимости от количества равных сторон треугольники классифицируются на три основных вида:

• Равносторонний (или правильный) треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Если обозначить длины сторон как $a$, $b$ и $c$, то для равностороннего треугольника будет выполняться условие $a = b = c$. Также у такого треугольника все углы равны и составляют $60^\circ$.
  Ответ:

• Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника также равны. Для его сторон $a$, $b$ и $c$ выполняется, например, условие $a = b \neq c$. Стоит отметить, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.
  Ответ:

• Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Для его сторон $a$, $b$ и $c$ справедливо, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$. Соответственно, все углы такого треугольника также имеют разную величину.
  Ответ:

4. Какой треугольник называют равнобедренным? Равносторонним? Разносторонним?

равнобедренным? Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника. Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что углы при его основании равны. Если стороны треугольника обозначить как $a, b, c$, то для равнобедренного треугольника будет выполняться условие, например, $a = b$.
Ответ: треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонним? Равносторонним (или правильным) называют треугольник, у которого все три стороны равны. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. В равностороннем треугольнике все углы также равны, и каждый из них составляет $60^\circ$. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ условие равносторонности записывается как $a = b = c$.
Ответ: треугольник, у которого все стороны равны.

Разносторонним? Разносторонним называют треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Следствием этого является то, что все три угла разностороннего треугольника также имеют разную величину. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, то для разностороннего треугольника справедливо $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.
Ответ: треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

5. Как называют стороны равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны по длине. У сторон такого треугольника есть специальные названия.

Две равные стороны называются боковыми сторонами.

Третья сторона называется основанием.

Например, в треугольнике $ABC$ со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$, если $AB = BC$, то стороны $AB$ и $BC$ являются боковыми, а сторона $AC$ — основанием. Углы при основании такого треугольника ($\angle BAC$ и $\angle BCA$) равны.

Ответ: две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

6. По какой формуле вычисляют периметр равностороннего треугольника?

Периметр любой геометрической фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину.

Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна $a$. Поскольку у треугольника три стороны и все они равны $a$, его периметр ($P$) можно вычислить, сложив длины всех сторон:

$P = a + a + a$

Данное сложение трех одинаковых слагаемых можно заменить умножением на 3. Таким образом, мы получаем итоговую формулу:

$P = 3 \cdot a$

Это означает, что периметр равностороннего треугольника равен утроенной длине его стороны.

Ответ: $P = 3 \cdot a$, где $P$ — периметр, а $a$ — длина стороны равностороннего треугольника.

1. Чему равен периметр восьмиугольника, каждая сторона которого равна 4 см?

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Восьмиугольник имеет 8 сторон. По условию задачи, длина каждой стороны равна 4 см.

Чтобы найти периметр ($P$), нужно умножить количество сторон ($n$) на длину одной стороны ($a$).

Формула для вычисления периметра правильного многоугольника:

$P = n \times a$

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$P = 8 \times 4 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Ответ: 32 см.

2. Вычислите сумму $27 + 16 + 33 + 24$.

Чтобы вычислить сумму $27 + 16 + 33 + 24$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать слагаемые для упрощения вычислений. Сгруппируем числа, которые в сумме дают круглые числа.

1. Сгруппируем $27$ и $33$, так как их сумма заканчивается на ноль ($7+3=10$):
$27 + 33 = 60$

2. Сгруппируем оставшиеся числа $16$ и $24$, их сумма также заканчивается на ноль ($6+4=10$):
$16 + 24 = 40$

3. Теперь сложим полученные результаты:
$60 + 40 = 100$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$27 + 16 + 33 + 24 = (27 + 33) + (16 + 24) = 60 + 40 = 100$

Ответ: 100

3. Каких чисел не хватает в цепочке вычислений?

$23 \xrightarrow{+ \text{?}} 41 \xrightarrow{+49} \text{?} \xrightarrow{+ \text{?}} \text{?} \xrightarrow{-22} 75$

Для того чтобы найти недостающие числа в цепочке вычислений, необходимо выполнить действия по порядку. Для нахождения некоторых чисел потребуется выполнить вычисления в обратном порядке, двигаясь от конца цепочки.

1. Первое действие в цепочке: из числа 23 нужно получить 41. Так как результат больше исходного числа ($41 > 23$), необходимо выполнить сложение. Найдём неизвестное слагаемое, вычтя из результата исходное число: $41 - 23 = 18$. Таким образом, первое действие — это $23 + 18 = 41$. Первое недостающее число — 18.

2. Второе действие: к полученному числу 41 нужно прибавить 49. Результат этого действия будет числом в первом пустом кружке. Выполним сложение: $41 + 49 = 90$. Число в первом кружке — 90.

3. Для нахождения числа во втором кружке, рассмотрим конец цепочки. Из этого неизвестного числа вычитают 22 и получают 75. Чтобы найти это число, нужно выполнить обратное действие — сложение: $75 + 22 = 97$. Число во втором кружке — 97.

4. Третье действие: из числа в первом кружке (90) нужно получить число во втором кружке (97). Так как $97 > 90$, это также операция сложения. Найдём неизвестное слагаемое: $97 - 90 = 7$. Таким образом, третье действие — это $90 + 7 = 97$. Второе недостающее число для операции — 7.

Теперь мы можем записать всю цепочку целиком: $23 \xrightarrow{+18} 41 \xrightarrow{+49} 90 \xrightarrow{+7} 97 \xrightarrow{-22} 75$.

Ответ: В цепочке вычислений не хватает чисел 18, 90, 7, 97.

4. На трёх кустах расцвело 15 роз. Когда на одном из этих кустов распустились ещё 3 розы, то на всех кустах роз стало поровну. Сколько роз было на каждом кусте вначале?

Для решения этой задачи нужно рассуждать в обратном порядке, начиная с конечного состояния.

1. Сначала найдем общее количество роз на всех трех кустах после того, как распустились еще 3. К первоначальному количеству прибавим 3:
$15 + 3 = 18$ (роз) — стало всего на трех кустах.

2. В условии сказано, что после этого на всех кустах роз стало поровну. Чтобы найти, сколько роз стало на каждом кусте, разделим общее количество на число кустов:
$18 \div 3 = 6$ (роз) — стало на каждом кусте.

3. Теперь найдем, сколько роз было на каждом кусте изначально. Мы знаем, что 3 розы распустились только на одном из кустов. Это означает, что на двух других кустах количество роз не изменилось, а на одном — стало на 3 больше.
- На двух кустах, где ничего не менялось, так и было по 6 роз.
- На том кусте, где распустились новые розы, их было на 3 меньше, чем стало. Вычтем 3 из 6:
$6 - 3 = 3$ (розы) — было на одном из кустов.

Таким образом, изначально на двух кустах было по 6 роз, а на одном кусте — 3 розы.
Проверим: $6 + 6 + 3 = 15$ роз. Условие выполняется.

Ответ: Изначально на двух кустах было по 6 роз, а на третьем — 3 розы.

338. Определите вид треугольника, изображённого на рисунке 121, в зависимости от вида его углов и количества равных сторон.

Рис. 121

a) Тупоугольный разносторонний

б) Прямоугольный разносторонний

в) Остроугольный равнобедренный

г) Тупоугольный равнобедренный

д) Прямоугольный разносторонний

е) Остроугольный равносторонний

а) В треугольнике ABC все углы визуально острые (меньше $90°$), поэтому он является остроугольным. Так как на сторонах нет отметок о равенстве и визуально они имеют разную длину, треугольник является разносторонним.

Ответ: остроугольный разносторонний.

б) В треугольнике MNK угол K обозначен квадратом, что означает, что он прямой ($∠K = 90°$). Следовательно, треугольник является прямоугольным. На сторонах нет отметок о равенстве, и они имеют разную длину, поэтому треугольник разносторонний.

Ответ: прямоугольный разносторонний.

в) В треугольнике PEF все углы визуально острые, поэтому он остроугольный. Стороны PE и EF отмечены одинаковыми штрихами, что указывает на их равенство ($PE = EF$). Треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным.

Ответ: остроугольный равнобедренный.

г) В треугольнике QRS угол R визуально больше $90°$, то есть он тупой. Следовательно, треугольник является тупоугольным. Стороны QR и RS отмечены одинаковыми штрихами, значит, они равны ($QR = RS$). Таким образом, треугольник равнобедренный.

Ответ: тупоугольный равнобедренный.

д) В треугольнике ORT угол R визуально тупой, поэтому треугольник тупоугольный. На сторонах нет отметок о равенстве, и визуально они имеют разную длину. Следовательно, треугольник является разносторонним.

Ответ: тупоугольный разносторонний.

е) В треугольнике DBA угол B обозначен как прямой ($∠B = 90°$), поэтому треугольник прямоугольный. Стороны DB и BA отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство ($DB = BA$). Следовательно, треугольник является равнобедренным.

Ответ: прямоугольный равнобедренный.

339. Начертите:

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

1) разносторонний остроугольный треугольник

Разносторонний остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину, и все три угла являются острыми (то есть, каждый угол меньше $90^\circ$).

Чтобы начертить такой треугольник, нужно выбрать длины трех сторон $a, b, c$ так, чтобы они были различны, удовлетворяли неравенству треугольника (сумма двух любых сторон больше третьей) и условию остроугольности (квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон).

Например, возьмем стороны длиной 5 см, 6 см и 7 см. Они различны. Неравенство треугольника выполняется: $5+6 > 7$. Условие остроугольности для наибольшей стороны 7 см также выполняется: $7^2 < 5^2 + 6^2$, так как $49 < 25+36$, то есть $49 < 61$.

Построение:

1. Начертите отрезок, равный одной из сторон (например, 7 см).
2. Из его концов с помощью циркуля проведите дуги окружностей с радиусами, равными двум другим сторонам (5 см и 6 см).
3. Точку пересечения дуг соедините с концами отрезка.

Ответ: Начерчен треугольник, у которого все стороны имеют разную длину (например, 5, 6, 7 см) и все углы острые.

2) равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$), а две стороны, образующие этот угол (катеты), равны. Углы при основании (гипотенузе) в таком треугольнике всегда равны $45^\circ$.

Построение:

1. Начертите прямой угол с вершиной в точке $C$. Это можно сделать с помощью угольника или транспортира.
2. На лучах, образующих этот угол, отложите от вершины $C$ два равных отрезка, например, $CA$ и $CB$ длиной 4 см каждый.
3. Соедините точки $A$ и $B$ отрезком.

Получившийся треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AC=BC$) и прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$).

Ответ: Начерчен треугольник $ABC$, у которого $\angle C = 90^\circ$ и катеты $AC=BC$.

3) равнобедренный тупоугольный треугольник

Равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а угол между этими равными сторонами (угол при вершине) является тупым (больше $90^\circ$). Два других угла (углы при основании) равны между собой и являются острыми.

Построение:

1. С помощью транспортира начертите тупой угол с вершиной в точке $B$, например, $\angle B = 130^\circ$.
2. На лучах, образующих этот угол, отложите от вершины $B$ два равных отрезка, например, $BA$ и $BC$ длиной 5 см каждый.
3. Соедините точки $A$ и $C$ отрезком.

Получившийся треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($BA=BC$) и тупоугольным ($\angle B = 130^\circ > 90^\circ$).

Ответ: Начерчен треугольник $ABC$, у которого $BA=BC$ и угол $\angle B$ тупой.