Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

361. Вычислите периметр:

1) прямоугольника, соседние стороны которого равны 42 см и 23 см;

2) квадрата со стороной 8 дм.

1) Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его соседних сторон.
Согласно условию, стороны прямоугольника равны 42 см и 23 см.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \cdot (42 + 23) = 2 \cdot 65 = 130$ см.
Ответ: 130 см.

2) Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a$, где $a$ – длина его стороны.
Согласно условию, сторона квадрата равна 8 дм.
Подставим это значение в формулу:
$P = 4 \cdot 8 = 32$ дм.
Ответ: 32 дм.

362. Найдите периметр прямоугольника, соседние стороны которого равны $13 \text{ мм}$ и $17 \text{ мм}$.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны. Если соседние стороны равны $a$ и $b$, то две другие стороны также будут равны $a$ и $b$.

Формула для вычисления периметра прямоугольника ($P$) выглядит так:
$P = 2 \times (a + b)$

По условию задачи, длины соседних сторон равны:
$a = 13$ мм
$b = 17$ мм

Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \times (13 + 17)$

Выполним вычисления:
1. Сначала найдем сумму сторон в скобках: $13 + 17 = 30$ мм.
2. Затем умножим полученную сумму на 2: $2 \times 30 = 60$ мм.

Таким образом, периметр прямоугольника равен 60 мм.

Ответ: 60 мм.

363. Какие из букв, изображённых на рисунке 135, имеют ось симметрии?

Рис. 135

А Б В Г Д И Е Т

Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Если мысленно сложить фигуру по этой прямой, то обе её половины совпадут. Проанализируем каждую букву, изображённую на рисунке:

А — имеет вертикальную ось симметрии. Эта ось проходит через вершину буквы и середину её основания, деля её на две одинаковые левую и правую части.

Б — не имеет оси симметрии. Невозможно провести прямую, которая разделила бы эту букву на две зеркальные половины.

В — имеет горизонтальную ось симметрии. Эта ось проходит посередине буквы слева направо, деля её на одинаковые верхнюю и нижнюю части.

Г — не имеет оси симметрии.

Д — имеет вертикальную ось симметрии. Эта ось проходит через середину верхней перекладины и середину основания, деля букву на симметричные левую и правую части.

И — не имеет оси симметрии. Эта буква имеет центр симметрии (при повороте на 180° вокруг центра она совпадает сама с собой), но не имеет оси симметрии.

Е — имеет горизонтальную ось симметрии. Эта ось совпадает со средней горизонтальной линией буквы.

Т — имеет вертикальную ось симметрии. Эта ось совпадает с вертикальной линией буквы, деля горизонтальную перекладину пополам.

Таким образом, оси симметрии имеют буквы А, В, Д, Е и Т.

Ответ: А, В, Д, Е, Т.

364. Сколько осей симметрии имеет многоугольник, изображённый на рисунке 136?

Рис. 136

а

б

в

а

Изображенная фигура является ромбом. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две равные части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. У ромба есть две оси симметрии, которые совпадают с его диагоналями.

Ответ: 2.

б

Изображенная фигура является правильным пятиугольником. Количество осей симметрии правильного $n$-угольника равно его количеству сторон, то есть $n$. Для пятиугольника $n = 5$. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны.

Ответ: 5.

в

Изображенная фигура является правильным шестиугольником. Количество осей симметрии правильного $n$-угольника равно $n$. Для шестиугольника $n = 6$. Три оси симметрии проходят через пары противоположных вершин, а остальные три — через середины противоположных сторон.

Ответ: 6.

365. 1) Длина одной из сторон прямоугольника равна 14 см, что на 5 см больше длины соседней стороны. Найдите периметр прямоугольника.

2) Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.

1)

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $a$, а длина соседней стороны равна $b$.
Из условия задачи мы знаем, что $a = 14$ см. Также дано, что эта сторона на 5 см больше соседней, то есть $a = b + 5$.
Найдем длину второй стороны $b$:
$b = a - 5$
$b = 14 - 5 = 9$ см.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
Подставим найденные значения длин сторон в формулу:
$P = 2(14 + 9) = 2 \cdot 23 = 46$ см.
Ответ: 46 см.

2)

Пусть периметр прямоугольника равен $P$, а длины его соседних сторон равны $a$ и $b$.
По условию, $P = 34$ см, и длина одной из сторон, например $a$, равна 12 см.
Формула для нахождения периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
Подставим известные значения в эту формулу:
$34 = 2(12 + b)$
Сначала найдем полупериметр (сумму длин двух соседних сторон), разделив периметр на 2:
$12 + b = \frac{34}{2}$
$12 + b = 17$
Теперь найдем длину неизвестной стороны $b$:
$b = 17 - 12 = 5$ см.
Ответ: 5 см.

366. Одна сторона прямоугольника равна 8 см, а соседняя — в 4 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.

Для нахождения периметра прямоугольника необходимо знать длины двух его соседних сторон.

1. Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $a$. По условию, $a = 8$ см.

2. Длина соседней стороны, обозначим ее $b$, в 4 раза больше. Чтобы найти ее, умножим длину первой стороны на 4:
$b = 8 \text{ см} \cdot 4 = 32 \text{ см}$.

3. Периметр прямоугольника ($P$) равен удвоенной сумме длин его соседних сторон. Формула для вычисления периметра: $P = 2 \cdot (a + b)$.

4. Подставим значения длин сторон $a$ и $b$ в формулу и вычислим периметр:
$P = 2 \cdot (8 \text{ см} + 32 \text{ см}) = 2 \cdot 40 \text{ см} = 80 \text{ см}$.

Ответ: 80 см.

367. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, имеют равные периметры. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем периметр квадрата, а затем, используя это значение, вычислим неизвестную сторону прямоугольника.

1. Вычисление периметра квадрата.
Сторона квадрата ($a_{кв}$) равна 12 см. Периметр квадрата ($P_{кв}$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон, которая вычисляется по формуле: $P_{кв} = 4 \cdot a_{кв}$
Подставив значение стороны, получаем: $P_{кв} = 4 \cdot 12 = 48$ см.

2. Нахождение неизвестной стороны прямоугольника.
По условию, периметр прямоугольника ($P_{пр}$) равен периметру квадрата: $P_{пр} = P_{кв} = 48$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P_{пр} = 2 \cdot (a_{пр} + b_{пр})$
где $a_{пр}$ и $b_{пр}$ — его смежные стороны. Одна из сторон прямоугольника известна и равна 8 см. Пусть $a_{пр} = 8$ см. Найдем вторую сторону $b_{пр}$. Подставим известные значения в формулу периметра прямоугольника: $48 = 2 \cdot (8 + b_{пр})$
Чтобы найти $b_{пр}$, решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{48}{2} = 8 + b_{пр}$
$24 = 8 + b_{пр}$
Теперь вычтем 8 из обеих частей уравнения: $b_{пр} = 24 - 8$
$b_{пр} = 16$ см.

Таким образом, неизвестная сторона прямоугольника составляет 16 см.

Ответ: 16 см.

368. Прямоугольник, соседние стороны которого равны 42 см и 14 см, и квадрат имеют равные периметры. Найдите длину стороны квадрата.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти периметр прямоугольника.
2. Приравнять периметр квадрата к периметру прямоугольника, согласно условию.
3. Найти сторону квадрата, зная его периметр.

Шаг 1: Нахождение периметра прямоугольника
Периметр прямоугольника ($P_{прямоуг.}$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его соседних сторон.
По условию, стороны прямоугольника равны 42 см и 14 см.
Подставим эти значения в формулу:
$P_{прямоуг.} = 2 \cdot (42 + 14)$
$P_{прямоуг.} = 2 \cdot 56$
$P_{прямоуг.} = 112$ см.

Шаг 2: Определение периметра квадрата
В условии сказано, что периметры прямоугольника и квадрата равны.
Следовательно, периметр квадрата ($P_{квадр.}$) также равен 112 см.
$P_{квадр.} = 112$ см.

Шаг 3: Нахождение длины стороны квадрата
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \cdot s$, где $s$ — длина его стороны.
Чтобы найти сторону квадрата, нужно его периметр разделить на 4:
$s = P_{квадр.} / 4$
Подставим значение периметра:
$s = 112 / 4$
$s = 28$ см.

Ответ: 28 см.

369. Сколько квадратов изображено на рисунке 137?

Рис. 137

а

б

а

На рисунке а изображен большой квадрат, разделенный на 9 одинаковых маленьких квадратов (сетка 3x3). Чтобы найти общее количество квадратов, необходимо посчитать все квадраты разных размеров, которые можно найти на этом рисунке.

• Квадраты размером 1x1: это 9 самых маленьких квадратов, из которых состоит сетка.
• Квадраты размером 2x2: такие квадраты состоят из четырех квадратов 1x1. Их можно найти, перемещая рамку 2x2 по сетке. Всего их 4.
• Квадраты размером 3x3: это самый большой квадрат, который образует всю фигуру. Он всего 1.

Чтобы найти общее количество, сложим число квадратов всех размеров:

$9 + 4 + 1 = 14$

Для сетки размером $n \times n$ общее количество квадратов можно найти по формуле: $1^2 + 2^2 + \dots + n^2$. В нашем случае $n=3$, поэтому результат: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.

Ответ: 14

б

На рисунке б квадраты имеют разные размеры. Посчитаем их последовательно, начиная от самых маленьких.

• Самые маленькие квадраты: в правом верхнем углу фигуры есть 4 одинаковых самых маленьких квадрата.
• Квадраты следующего размера:
  • Один квадрат, который составлен из четырех самых маленьких квадратов.
  • Еще 2 квадрата такого же размера, расположенные слева и снизу от него.
  Итого: $1 + 2 = 3$ квадрата этого размера.
• Квадраты еще большего размера:
  • Один квадрат, который составлен из трех квадратов предыдущего размера.
  • Еще 2 квадрата такого же размера, расположенные слева и снизу от него.
  Итого: $1 + 2 = 3$ квадрата этого размера.
• Самый большой квадрат: это вся фигура целиком. Он 1.

Теперь сложим количество всех найденных квадратов:

$4 + 3 + 3 + 1 = 11$

Ответ: 11

370. Из куска проволоки сделали модель пятиугольника (рис. 138). Какие из моделей перечисленных фигур, длины сторон которых выражаются натуральным числом сантиметров, можно сделать из этого куска проволоки:

1) квадрат;

2) пятиугольник, все стороны которого равны;

3) равносторонний треугольник?

Рис. 138

6 см, 5 см, 3 см, 2 см, 4 см

Для того чтобы определить, какие фигуры можно сделать из данного куска проволоки, сначала нужно найти общую длину этой проволоки. Длина проволоки равна периметру исходного пятиугольника.

Найдем периметр $P$, сложив длины всех его сторон:

$P = 6 + 5 + 3 + 2 + 4 = 20$ см.

Теперь проверим, можно ли из проволоки длиной 20 см сделать каждую из предложенных фигур, при условии, что длина их сторон должна быть натуральным числом.

1) квадрат

Периметр квадрата равен сумме длин его четырех одинаковых сторон. Если сторона квадрата равна $a$, то его периметр $P_{кв} = 4a$.

Приравняем периметр квадрата к длине проволоки:

$4a = 20$

Найдем длину стороны $a$:

$a = 20 : 4 = 5$ см.

Так как 5 — это натуральное число, то квадрат со стороной 5 см сделать можно.

Ответ: можно сделать квадрат.

2) пятиугольник, все стороны которого равны

Периметр такого пятиугольника (правильного пятиугольника) равен сумме длин его пяти одинаковых сторон. Если сторона равна $a$, то его периметр $P_{пят} = 5a$.

Приравняем периметр к длине проволоки:

$5a = 20$

Найдем длину стороны $a$:

$a = 20 : 5 = 4$ см.

Так как 4 — это натуральное число, то такой пятиугольник со стороной 4 см сделать можно.

Ответ: можно сделать пятиугольник, все стороны которого равны.

3) равносторонний треугольник

Периметр равностороннего треугольника равен сумме длин его трех одинаковых сторон. Если сторона равна $a$, то его периметр $P_{тр} = 3a$.

Приравняем периметр к длине проволоки:

$3a = 20$

Найдем длину стороны $a$:

$a = 20 : 3$

Число 20 не делится нацело на 3 ($20/3 = 6 \frac{2}{3}$). Полученное значение длины стороны не является натуральным числом, что противоречит условию задачи.

Ответ: нельзя сделать равносторонний треугольник.