Номер 374, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

374. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?

Для того чтобы разрезать квадрат на четыре равные части, из которых можно сложить два новых квадрата, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала проанализируем задачу, а затем опишем процесс разрезания и сборки.

1. Анализ задачи

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь составляет $S = a^2$. Мы должны разрезать его на четыре равные (то есть конгруэнтные) части. Затем из этих четырех частей нужно сложить два квадрата. Поскольку части равны, логично предположить, что и два новых квадрата будут равными между собой. В этом случае площадь каждого нового квадрата будет равна половине площади исходного квадрата: $S_{нов} = S/2 = a^2/2$.

Сторона каждого из двух новых квадратов будет равна $b = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти способ разрезать исходный квадрат на четыре одинаковые части, из которых можно собрать два квадрата со стороной $a/\sqrt{2}$.

2. Процесс разрезания

Нужные разрезы очень просты: необходимо соединить вершины исходного квадрата с его центром.

1. Найдите центр квадрата (точка пересечения диагоналей).
2. Проведите из каждой вершины квадрата отрезок к этому центру.

В результате этих разрезов квадрат разделится на четыре одинаковых треугольника.

Давайте докажем, что эти четыре треугольника — именно то, что нам нужно.

• Каждый треугольник является равнобедренным. Его основание — это сторона исходного квадрата (длина $a$), а боковые стороны — это отрезки, соединяющие вершины с центром (их длина равна половине диагонали квадрата).
• Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Значит, длина боковой стороны каждого треугольника равна $(a\sqrt{2})/2 = a/\sqrt{2}$.
• Проверим по теореме Пифагора, является ли угол при центре квадрата прямым. Сумма квадратов боковых сторон: $(a/\sqrt{2})^2 + (a/\sqrt{2})^2 = a^2/2 + a^2/2 = a^2$. Это равно квадрату основания треугольника. Следовательно, каждый из четырех треугольников является прямоугольным равнобедренным треугольником.
• Итак, мы разрезали квадрат на четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых катеты равны $a/\sqrt{2}$, а гипотенуза равна $a$.

3. Процесс сборки

Теперь из этих четырех треугольников нужно собрать два квадрата. Как мы выяснили ранее, сторона каждого нового квадрата должна быть $b = a/\sqrt{2}$.

Вспомним, что любой квадрат можно составить из двух одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольников, соединив их по гипотенузе. При этом катеты этих треугольников становятся сторонами квадрата.

Наши четыре части — это как раз такие треугольники! Катеты каждого из них равны $a/\sqrt{2}$, что в точности совпадает с требуемой длиной стороны новых квадратов.

Процесс сборки следующий:
1. Возьмите два из четырех полученных треугольников (например, вырезанных из противоположных сторон исходного квадрата, как части 1 и 3 на рисунке).
2. Совместите их по гипотенузам (самым длинным сторонам, которые были сторонами исходного квадрата). В результате получится квадрат со стороной $a/\sqrt{2}$.
3. Повторите то же самое с оставшимися двумя треугольниками (части 2 и 4), чтобы получить второй такой же квадрат.

Таким образом, мы разрезали один квадрат на четыре равные части и сложили из них два новых равных квадрата.

Ответ: Квадрат нужно разрезать от каждой вершины к его центру. Получатся четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника. Из двух таких треугольников, соединив их по гипотенузам, можно сложить один квадрат. Из оставшихся двух треугольников аналогично складывается второй квадрат.