Номер 377, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

377. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?

Для того чтобы из полученных треугольника и четырехугольника можно было сложить треугольник, необходимо разрезать квадрат по прямой линии, соединяющей одну из его вершин с серединой одной из двух сторон, не содержащих эту вершину.

Рассмотрим процесс на примере квадрата $ABCD$ со стороной $a$.

1. Разрез
Выберем вершину $A$ и сторону $BC$, которая не содержит вершину $A$. Найдём середину стороны $BC$ и назовём её точкой $E$. Проведём разрез по отрезку $AE$. В результате этого разреза квадрат будет разделен на две фигуры:

• Прямоугольный треугольник $ABE$.
• Прямоугольная трапеция $AECD$ (стороны $AD$ и $EC$ параллельны).

2. Сборка нового треугольника
Возьмём треугольник $ABE$ и совершим его поворот на $180^\circ$ вокруг точки $E$. При таком преобразовании:

• Точка $E$ останется на своём месте.
• Точка $B$ перейдёт в точку $C$, так как $E$ является серединой отрезка $BC$.
• Вершина $A$ перейдёт в некоторую новую точку $A'$.

Таким образом, треугольник $ABE$ перейдёт в равный ему треугольник $A'CE$.

Теперь приложим полученный треугольник $A'CE$ к трапеции $AECD$ так, чтобы их общая сторона $CE$ совпала. В результате мы получим новую, большую фигуру.

3. Проверка результата
Докажем, что полученная фигура является треугольником. Вершины этой фигуры — $A$, $D$, $C$ и $A'$. Чтобы фигура была треугольником, три из этих вершин должны лежать на одной прямой. Проверим, лежат ли точки $D$, $C$ и $A'$ на одной прямой. Для этого найдём величину угла $\angle DCA'$.

Этот угол состоит из двух углов: $\angle DCE$ и $\angle ECA'$.

• Угол $\angle DCE$ является углом исходного квадрата при вершине $C$ (также известный как $\angle DCB$), поэтому $\angle DCE = 90^\circ$.
• Угол $\angle ECA'$ равен углу $\angle EBA$ в исходном треугольнике $ABE$, так как является результатом поворота. Угол $\angle EBA$ (также известный как $\angle ABC$) — это угол квадрата, поэтому $\angle EBA = 90^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle DCA'$ равна сумме этих двух углов: $$ \angle DCA' = \angle DCE + \angle ECA' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $$ Поскольку угол $\angle DCA'$ является развёрнутым, точки $D$, $C$ и $A'$ действительно лежат на одной прямой.

Таким образом, итоговая фигура — это треугольник с вершинами $A$, $D$ и $A'$. Площадь этого треугольника равна сумме площадей исходных частей, то есть площади квадрата $a^2$.

Ответ: Квадрат необходимо разрезать по прямой линии от одной из его вершин к середине одной из сторон, не содержащих эту вершину. Затем полученный малый треугольник следует повернуть на $180^\circ$ вокруг его вершины, лежащей на середине стороны квадрата, и приставить к четырехугольнику по общей стороне.