Страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

371. Прямоугольник $ABCD$ разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Рис. 139

Для решения задачи введем обозначения для сторон квадратов, из которых состоит прямоугольник.

1. Определим размеры всех квадратов.

Пусть $x$ — длина стороны самого маленького квадрата. По условию, $x = 4$ см. На рисунке видно, что три таких квадрата расположены друг над другом в правом краю прямоугольника.

Пусть $y$ — длина стороны квадрата, который находится левее стопки из трех маленьких квадратов. Высота этого квадрата равна суммарной высоте трех маленьких квадратов. Следовательно:

$y = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Пусть $z$ — длина стороны каждого из трех одинаковых квадратов в верхнем ряду.

Пусть $w$ — длина стороны каждого из двух одинаковых квадратов в левом нижнем углу.

Теперь рассмотрим высоту прямоугольника $ABCD$, то есть длину стороны $AB$.

Слева высота прямоугольника складывается из стороны верхнего квадрата ($z$) и стороны нижнего квадрата ($w$):

$AB = z + w$

Высоту также можно определить по средней части. Правее двух нижних квадратов (со стороной $w$) расположен квадрат со стороной $y$. Над ним находится один из верхних квадратов (со стороной $z$). Их суммарная высота также равна высоте прямоугольника:

$AB = z + y$

Приравнивая два выражения для высоты $AB$, получаем:

$z + w = z + y$

$w = y$

Поскольку мы уже нашли, что $y = 12$ см, то и $w = 12$ см.

2. Найдем длины сторон прямоугольника ABCD.

Рассмотрим ширину прямоугольника $ABCD$, то есть длину стороны $AD$.

Сверху ширина прямоугольника складывается из сторон трех верхних квадратов:

$AD = z + z + z = 3z$

Снизу ширина прямоугольника складывается из сторон двух нижних левых квадратов ($w$) и стороны одного самого маленького квадрата ($x$):

$AD = w + w + x = 2w + x$

Приравнивая два выражения для ширины $AD$, получаем:

$3z = 2w + x$

Подставим известные значения $w = 12$ см и $x = 4$ см в это уравнение:

$3z = 2 \cdot 12 + 4$

$3z = 24 + 4$

$3z = 28$

$z = \frac{28}{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Ширина $AD$:

$AD = 3z = 3 \cdot \frac{28}{3} = 28$ см.

Высота $AB$:

$AB = z + w = \frac{28}{3} + 12 = \frac{28}{3} + \frac{36}{3} = \frac{64}{3}$ см.

Длину стороны $AB$ можно также записать в виде смешанной дроби: $21\frac{1}{3}$ см.

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 28 см и $\frac{64}{3}$ см (или $21\frac{1}{3}$ см).

372. Начертите прямоугольник, соседние стороны которого равны 3 см и 6 см. Разделите его на три равных прямоугольника. Вычислите периметр каждого из полученных прямоугольников. Сколько решений имеет задача?

Исходный прямоугольник имеет стороны $a = 3$ см и $b = 6$ см. Чтобы разделить его на три равных прямоугольника, существует два способа. Каждый способ представляет собой отдельное решение задачи.

Решение 1

Разделим сторону длиной 6 см на три равные части. Для этого проведем два отрезка, параллельных стороне длиной 3 см. Длина каждой новой части будет равна $6 \div 3 = 2$ см.

В результате мы получим три одинаковых прямоугольника со сторонами 3 см и 2 см.

Периметр $P$ каждого из этих прямоугольников вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.

$P_1 = 2 \cdot (3 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Ответ: периметр каждого из полученных прямоугольников равен 10 см.

Решение 2

Разделим сторону длиной 3 см на три равные части. Для этого проведем два отрезка, параллельных стороне длиной 6 см. Длина каждой новой части будет равна $3 \div 3 = 1$ см.

В результате мы получим три одинаковых прямоугольника со сторонами 6 см и 1 см.

Вычислим периметр каждого из этих прямоугольников по той же формуле:

$P_2 = 2 \cdot (6 \text{ см} + 1 \text{ см}) = 2 \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: периметр каждого из полученных прямоугольников равен 14 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существует два способа разделения исходного прямоугольника, которые приводят к разным размерам полученных прямоугольников и, соответственно, к разным периметрам, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

373. Существует ли среди прямоугольников с периметром 12 см такой, который можно разделить на два равных квадрата? В случае положительного ответа выполните рисунок и вычислите периметр каждого из полученных квадратов.

Да, такой прямоугольник существует.

Если прямоугольник можно разделить на два равных квадрата, это означает, что он состоит из двух квадратов, соединенных по одной из сторон. Пусть сторона каждого такого квадрата равна $a$.

Тогда стороны получившегося прямоугольника будут равны $a$ и $a+a=2a$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(\text{длина} + \text{ширина})$. Подставим наши значения и известное из условия значение периметра (12 см), чтобы составить уравнение:

$12 = 2(a + 2a)$

$12 = 2(3a)$

$12 = 6a$

$a = \frac{12}{6} = 2$ см.

Поскольку мы нашли действительное положительное значение для стороны квадрата, такой прямоугольник существует. Его стороны равны 2 см и $2 \times 2 = 4$ см.

Рисунок этого прямоугольника, разделенного на два квадрата:

Теперь вычислим периметр каждого из полученных квадратов. Сторона каждого квадрата, как мы нашли, равна $a = 2$ см. Периметр квадрата $P_{\text{кв}}$ вычисляется по формуле $P_{\text{кв}} = 4a$.

$P_{\text{кв}} = 4 \times 2 = 8$ см.

Ответ: Да, такой прямоугольник существует. Периметр каждого из полученных квадратов равен 8 см.

374. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?

Для того чтобы разрезать квадрат на четыре равные части, из которых можно сложить два новых квадрата, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала проанализируем задачу, а затем опишем процесс разрезания и сборки.

1. Анализ задачи

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь составляет $S = a^2$. Мы должны разрезать его на четыре равные (то есть конгруэнтные) части. Затем из этих четырех частей нужно сложить два квадрата. Поскольку части равны, логично предположить, что и два новых квадрата будут равными между собой. В этом случае площадь каждого нового квадрата будет равна половине площади исходного квадрата: $S_{нов} = S/2 = a^2/2$.

Сторона каждого из двух новых квадратов будет равна $b = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти способ разрезать исходный квадрат на четыре одинаковые части, из которых можно собрать два квадрата со стороной $a/\sqrt{2}$.

2. Процесс разрезания

Нужные разрезы очень просты: необходимо соединить вершины исходного квадрата с его центром.

1. Найдите центр квадрата (точка пересечения диагоналей).
2. Проведите из каждой вершины квадрата отрезок к этому центру.

В результате этих разрезов квадрат разделится на четыре одинаковых треугольника.

Давайте докажем, что эти четыре треугольника — именно то, что нам нужно.

• Каждый треугольник является равнобедренным. Его основание — это сторона исходного квадрата (длина $a$), а боковые стороны — это отрезки, соединяющие вершины с центром (их длина равна половине диагонали квадрата).
• Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Значит, длина боковой стороны каждого треугольника равна $(a\sqrt{2})/2 = a/\sqrt{2}$.
• Проверим по теореме Пифагора, является ли угол при центре квадрата прямым. Сумма квадратов боковых сторон: $(a/\sqrt{2})^2 + (a/\sqrt{2})^2 = a^2/2 + a^2/2 = a^2$. Это равно квадрату основания треугольника. Следовательно, каждый из четырех треугольников является прямоугольным равнобедренным треугольником.
• Итак, мы разрезали квадрат на четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у которых катеты равны $a/\sqrt{2}$, а гипотенуза равна $a$.

3. Процесс сборки

Теперь из этих четырех треугольников нужно собрать два квадрата. Как мы выяснили ранее, сторона каждого нового квадрата должна быть $b = a/\sqrt{2}$.

Вспомним, что любой квадрат можно составить из двух одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольников, соединив их по гипотенузе. При этом катеты этих треугольников становятся сторонами квадрата.

Наши четыре части — это как раз такие треугольники! Катеты каждого из них равны $a/\sqrt{2}$, что в точности совпадает с требуемой длиной стороны новых квадратов.

Процесс сборки следующий:
1. Возьмите два из четырех полученных треугольников (например, вырезанных из противоположных сторон исходного квадрата, как части 1 и 3 на рисунке).
2. Совместите их по гипотенузам (самым длинным сторонам, которые были сторонами исходного квадрата). В результате получится квадрат со стороной $a/\sqrt{2}$.
3. Повторите то же самое с оставшимися двумя треугольниками (части 2 и 4), чтобы получить второй такой же квадрат.

Таким образом, мы разрезали один квадрат на четыре равные части и сложили из них два новых равных квадрата.

Ответ: Квадрат нужно разрезать от каждой вершины к его центру. Получатся четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника. Из двух таких треугольников, соединив их по гипотенузам, можно сложить один квадрат. Из оставшихся двух треугольников аналогично складывается второй квадрат.

375. Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$. Его площадь составляет $S = \frac{1}{2}a^2$. Квадрат, который необходимо сложить из его частей, должен иметь такую же площадь. Если сторона искомого квадрата равна $s$, то $s^2 = \frac{1}{2}a^2$. Отсюда находим длину стороны квадрата: $s = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы разрезать треугольник на четыре равные части для последующей сборки квадрата, нужно выполнить следующие действия. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Сначала найдем середины двух катетов ($AC$ и $BC$) и середину гипотенузы $AB$. Назовем эти точки $E$, $D$ и $M$ соответственно. Затем сделаем три разреза: от середины гипотенузы $M$ к середине катета $AC$ (отрезок $ME$), от середины гипотенузы $M$ к середине катета $BC$ (отрезок $MD$), и от вершины прямого угла $C$ к середине гипотенузы $M$ (отрезок $CM$).

В результате этих разрезов мы получим четыре треугольника: $\triangle AEM$, $\triangle BDM$, $\triangle CEM$ и $\triangle CDM$. Все эти треугольники равны между собой. Они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с катетами длиной $\frac{a}{2}$. Это следует из того, что отрезки $MD$ и $ME$ являются средними линиями исходного треугольника, а отрезок $CM$ — медианой, проведенной к гипотенузе, и равен ее половине.

Для сборки квадрата необходимо взять эти четыре полученных треугольника и расположить их так, чтобы их прямые углы сошлись в одной точке в центре. Гипотенузы этих маленьких треугольников образуют стороны итогового квадрата. Длина гипотенузы каждого такого треугольника составляет $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, мы получим квадрат со стороной $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, что и требовалось.

Ответ: Нужно найти середины двух катетов и середину гипотенузы. Разрезать треугольник от середины гипотенузы к серединам каждого из катетов, а также от вершины прямого угла к середине гипотенузы.

376. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Для того чтобы из прямоугольника со сторонами 8 см и 4 см сложить квадрат, необходимо сначала определить параметры этого квадрата. Площадь исходного прямоугольника равна $8 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$. Следовательно, квадрат, сложенный из его частей, должен иметь такую же площадь. Сторона $s$ такого квадрата будет равна $s = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Процесс разрезания и сборки можно описать в три шага:

Шаг 1: Разметка прямоугольника

Положите прямоугольник длинной стороной (8 см) горизонтально. Обозначим его вершины A, B, C, D, начиная с левой верхней и двигаясь по часовой стрелке. Таким образом, AB и CD — это длинные стороны (8 см), а AD и BC — короткие (4 см). Найдите середины длинных сторон AB и CD и отметьте их как точки E и F соответственно. Линия EF разделит прямоугольник на два равных квадрата со стороной 4 см: левый квадрат AEFD и правый квадрат EBCF.

Шаг 2: Разрезание на четыре части

Чтобы получить четыре части, необходимо сделать три прямых разреза:

1. Первый разрез — по линии EF, соединяющей середины длинных сторон. Этот разрез делит прямоугольник на два квадрата 4x4 см.

2. Второй разрез — в левом квадрате (AEFD). Разрежьте его по диагонали от вершины A к вершине F.

3. Третий разрез — в правом квадрате (EBCF). Разрежьте его по диагонали от вершины E к вершине C.

В результате этих действий у вас получится четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника. Катеты каждого треугольника будут равны 4 см, а гипотенуза — $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ см.

Шаг 3: Сборка квадрата

Возьмите четыре полученных треугольника и сложите их вместе. Для этого совместите их прямые углы в одной точке, которая станет центром нового квадрата. Катеты треугольников должны примыкать друг к другу, а гипотенузы образуют внешний периметр фигуры. В результате получится квадрат, сторона которого равна длине гипотенузы, то есть $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: Прямоугольник 8х4 см нужно разрезать на четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами по 4 см. Для этого прямоугольник делится пополам по короткой оси симметрии на два квадрата 4х4 см, после чего каждый квадрат разрезается по одной из диагоналей (например, по диагоналям, которые были бы параллельны в исходном прямоугольнике). Из полученных четырех частей можно сложить квадрат со стороной $4\sqrt{2}$ см, совмещая их прямые углы в центре.

377. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?

Для того чтобы из полученных треугольника и четырехугольника можно было сложить треугольник, необходимо разрезать квадрат по прямой линии, соединяющей одну из его вершин с серединой одной из двух сторон, не содержащих эту вершину.

Рассмотрим процесс на примере квадрата $ABCD$ со стороной $a$.

1. Разрез
Выберем вершину $A$ и сторону $BC$, которая не содержит вершину $A$. Найдём середину стороны $BC$ и назовём её точкой $E$. Проведём разрез по отрезку $AE$. В результате этого разреза квадрат будет разделен на две фигуры:

• Прямоугольный треугольник $ABE$.
• Прямоугольная трапеция $AECD$ (стороны $AD$ и $EC$ параллельны).

2. Сборка нового треугольника
Возьмём треугольник $ABE$ и совершим его поворот на $180^\circ$ вокруг точки $E$. При таком преобразовании:

• Точка $E$ останется на своём месте.
• Точка $B$ перейдёт в точку $C$, так как $E$ является серединой отрезка $BC$.
• Вершина $A$ перейдёт в некоторую новую точку $A'$.

Таким образом, треугольник $ABE$ перейдёт в равный ему треугольник $A'CE$.

Теперь приложим полученный треугольник $A'CE$ к трапеции $AECD$ так, чтобы их общая сторона $CE$ совпала. В результате мы получим новую, большую фигуру.

3. Проверка результата
Докажем, что полученная фигура является треугольником. Вершины этой фигуры — $A$, $D$, $C$ и $A'$. Чтобы фигура была треугольником, три из этих вершин должны лежать на одной прямой. Проверим, лежат ли точки $D$, $C$ и $A'$ на одной прямой. Для этого найдём величину угла $\angle DCA'$.

Этот угол состоит из двух углов: $\angle DCE$ и $\angle ECA'$.

• Угол $\angle DCE$ является углом исходного квадрата при вершине $C$ (также известный как $\angle DCB$), поэтому $\angle DCE = 90^\circ$.
• Угол $\angle ECA'$ равен углу $\angle EBA$ в исходном треугольнике $ABE$, так как является результатом поворота. Угол $\angle EBA$ (также известный как $\angle ABC$) — это угол квадрата, поэтому $\angle EBA = 90^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle DCA'$ равна сумме этих двух углов: $$ \angle DCA' = \angle DCE + \angle ECA' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $$ Поскольку угол $\angle DCA'$ является развёрнутым, точки $D$, $C$ и $A'$ действительно лежат на одной прямой.

Таким образом, итоговая фигура — это треугольник с вершинами $A$, $D$ и $A'$. Площадь этого треугольника равна сумме площадей исходных частей, то есть площади квадрата $a^2$.

Ответ: Квадрат необходимо разрезать по прямой линии от одной из его вершин к середине одной из сторон, не содержащих эту вершину. Затем полученный малый треугольник следует повернуть на $180^\circ$ вокруг его вершины, лежащей на середине стороны квадрата, и приставить к четырехугольнику по общей стороне.

378. Как надо разрезать квадрат со стороной 6 см на две части по ломаной, состоящей из трёх звеньев, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник?

Для того чтобы разрезать квадрат со стороной 6 см на две части, из которых можно сложить прямоугольник, необходимо выполнить разрез по определенной ломаной линии, состоящей из трех звеньев. Вот пошаговое описание этого разреза:

1. Возьмем две противоположные стороны квадрата, например, левую и правую.
2. На левой стороне квадрата отметим точку, находящуюся на расстоянии 2 см от верхнего угла (и, соответственно, 4 см от нижнего).
3. На правой стороне квадрата отметим точку, находящуюся на расстоянии 2 см от нижнего угла (и, соответственно, 4 см от верхнего).
4. Теперь выполним сам разрез, который будет состоять из трех отрезков:
   • Первый отрезок: Начинаем разрез от отмеченной точки на левой стороне и ведем его горизонтально (параллельно верхней стороне квадрата) до середины квадрата, то есть на длину 3 см.
   • Второй отрезок: Из конца первого отрезка ведем разрез вертикально вниз на расстояние 2 см.
   • Третий отрезок: Из конца второго отрезка ведем разрез горизонтально вправо до отмеченной точки на правой стороне квадрата. Длина этого отрезка также будет 3 см.

В результате квадрат будет разделен на две одинаковые по площади, но не конгруэнтные фигуры. Если взять нижнюю из полученных частей, повернуть ее на 180 градусов и приставить к верхней части, то получится прямоугольник.

Другой способ сборки, более наглядный, — это сдвинуть одну из частей относительно другой. Например, если сдвинуть нижнюю часть на 3 см влево и на 2 см вверх, она идеально состыкуется с верхней частью, образуя прямоугольник.

Площадь исходного квадрата равна $6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$. Полученные две части можно сложить в прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см. Его площадь также будет равна $4 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: Квадрат нужно разрезать по ломаной из трех звеньев, соединяющей точку на левой стороне (на 2 см ниже верхнего угла) с точкой на правой стороне (на 2 см выше нижнего угла). Ломаная состоит из горизонтального отрезка длиной 3 см, идущего от левой стороны к центру, затем вертикального отрезка длиной 2 см, идущего вниз, и затем еще одного горизонтального отрезка длиной 3 см, идущего от центра к правой стороне. Из полученных двух частей можно сложить прямоугольник со сторонами $4 \text{ см}$ и $9 \text{ см}$.

379. Проведите прямую $MK$, луч $PS$ и отрезок $AB$ так, чтобы луч $PS$ пересекал отрезок $AB$ и прямую $MK$, а прямая $MK$ не пересекала отрезок $AB$.

Для решения этой задачи нужно выполнить последовательное построение геометрических фигур, учитывая все заданные условия. Условия задачи следующие:

• Луч PS пересекает отрезок AB.
• Луч PS пересекает прямую MK.
• Прямая MK не пересекает отрезок AB.

Выполним построение по шагам:

1. Сначала выполним условие, что прямая МК не пересекает отрезок АВ. Для этого начертим на плоскости прямую и обозначим её МК. Затем начертим отрезок АВ таким образом, чтобы он целиком лежал по одну сторону от прямой МК и не имел с ней общих точек. Например, можно провести горизонтальную прямую МК, а отрезок АВ расположить полностью над ней.
2. Теперь нужно провести луч PS так, чтобы он пересекал и отрезок АВ, и прямую МК. Это означает, что луч должен пройти через оба этих объекта. Рассмотрим один из возможных вариантов расположения начальной точки луча — точки P.
3. Расположим точку P так, чтобы отрезок АВ находился между точкой P и прямой МК. То есть, если прямая МК находится внизу, а отрезок АВ — посередине, то точка P будет находиться вверху.
4. Проведём из точки P луч в направлении прямой МК. Так как на его пути лежит отрезок АВ, луч сначала пересечёт отрезок АВ. Продолжаясь в том же направлении, он затем пересечёт и прямую МК. Обозначим любую точку на луче за точкой пересечения с прямой МК как S.

Таким образом, мы получим чертёж, который удовлетворяет всем условиям задачи: луч PS пересекает и отрезок АВ, и прямую МК, в то время как прямая МК не пересекает отрезок АВ.

Другим возможным решением было бы расположить точку P под прямой МК. Тогда луч PS, направленный вверх, сначала пересёк бы прямую МК, а затем — отрезок АВ.

Ответ: На плоскости проведена прямая МК. Выше неё расположен отрезок АВ. Начало луча, точка P, находится выше отрезка АВ. Луч PS направлен вниз, последовательно пересекая отрезок АВ и прямую МК.

380. В магазине имеются лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида имеется в магазине?

Для решения этой задачи найдем, какая масса фруктов осталась бы после продажи, а затем вычислим исходную массу для каждого вида.

1. Определим общую массу проданных фруктов. Для этого сложим массу проданных лимонов, апельсинов и мандаринов:

$55 + 36 + 34 = 125$ кг

2. Найдем общую массу фруктов, которая осталась бы в магазине. Для этого вычтем из общей начальной массы массу проданных фруктов:

$740 - 125 = 615$ кг

3. В условии сказано, что оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Поскольку у нас три вида фруктов, разделим оставшуюся общую массу на 3, чтобы найти массу каждого вида:

$615 / 3 = 205$ кг

Таким образом, после продажи осталось бы по 205 кг каждого вида фруктов.

4. Теперь вычислим первоначальную массу для каждого вида фруктов, прибавив к оставшейся массе (205 кг) ту массу, которая была продана.

Лимоны

К оставшейся массе прибавляем массу проданных лимонов:

$205 + 55 = 260$ кг

Апельсины

К оставшейся массе прибавляем массу проданных апельсинов:

$205 + 36 = 241$ кг

Мандарины

К оставшейся массе прибавляем массу проданных мандаринов:

$205 + 34 = 239$ кг

Проверка: $260 + 241 + 239 = 740$ кг. Общая масса совпадает с условием.

Ответ: в магазине имеется 260 кг лимонов, 241 кг апельсинов и 239 кг мандаринов.