Номер 375, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

375. Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными $a$. Его площадь составляет $S = \frac{1}{2}a^2$. Квадрат, который необходимо сложить из его частей, должен иметь такую же площадь. Если сторона искомого квадрата равна $s$, то $s^2 = \frac{1}{2}a^2$. Отсюда находим длину стороны квадрата: $s = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы разрезать треугольник на четыре равные части для последующей сборки квадрата, нужно выполнить следующие действия. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Сначала найдем середины двух катетов ($AC$ и $BC$) и середину гипотенузы $AB$. Назовем эти точки $E$, $D$ и $M$ соответственно. Затем сделаем три разреза: от середины гипотенузы $M$ к середине катета $AC$ (отрезок $ME$), от середины гипотенузы $M$ к середине катета $BC$ (отрезок $MD$), и от вершины прямого угла $C$ к середине гипотенузы $M$ (отрезок $CM$).

В результате этих разрезов мы получим четыре треугольника: $\triangle AEM$, $\triangle BDM$, $\triangle CEM$ и $\triangle CDM$. Все эти треугольники равны между собой. Они являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с катетами длиной $\frac{a}{2}$. Это следует из того, что отрезки $MD$ и $ME$ являются средними линиями исходного треугольника, а отрезок $CM$ — медианой, проведенной к гипотенузе, и равен ее половине.

Для сборки квадрата необходимо взять эти четыре полученных треугольника и расположить их так, чтобы их прямые углы сошлись в одной точке в центре. Гипотенузы этих маленьких треугольников образуют стороны итогового квадрата. Длина гипотенузы каждого такого треугольника составляет $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, мы получим квадрат со стороной $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, что и требовалось.

Ответ: Нужно найти середины двух катетов и середину гипотенузы. Разрезать треугольник от середины гипотенузы к серединам каждого из катетов, а также от вершины прямого угла к середине гипотенузы.