Номер 371, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

371. Прямоугольник $ABCD$ разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Рис. 139

Для решения задачи введем обозначения для сторон квадратов, из которых состоит прямоугольник.

1. Определим размеры всех квадратов.

Пусть $x$ — длина стороны самого маленького квадрата. По условию, $x = 4$ см. На рисунке видно, что три таких квадрата расположены друг над другом в правом краю прямоугольника.

Пусть $y$ — длина стороны квадрата, который находится левее стопки из трех маленьких квадратов. Высота этого квадрата равна суммарной высоте трех маленьких квадратов. Следовательно:

$y = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Пусть $z$ — длина стороны каждого из трех одинаковых квадратов в верхнем ряду.

Пусть $w$ — длина стороны каждого из двух одинаковых квадратов в левом нижнем углу.

Теперь рассмотрим высоту прямоугольника $ABCD$, то есть длину стороны $AB$.

Слева высота прямоугольника складывается из стороны верхнего квадрата ($z$) и стороны нижнего квадрата ($w$):

$AB = z + w$

Высоту также можно определить по средней части. Правее двух нижних квадратов (со стороной $w$) расположен квадрат со стороной $y$. Над ним находится один из верхних квадратов (со стороной $z$). Их суммарная высота также равна высоте прямоугольника:

$AB = z + y$

Приравнивая два выражения для высоты $AB$, получаем:

$z + w = z + y$

$w = y$

Поскольку мы уже нашли, что $y = 12$ см, то и $w = 12$ см.

2. Найдем длины сторон прямоугольника ABCD.

Рассмотрим ширину прямоугольника $ABCD$, то есть длину стороны $AD$.

Сверху ширина прямоугольника складывается из сторон трех верхних квадратов:

$AD = z + z + z = 3z$

Снизу ширина прямоугольника складывается из сторон двух нижних левых квадратов ($w$) и стороны одного самого маленького квадрата ($x$):

$AD = w + w + x = 2w + x$

Приравнивая два выражения для ширины $AD$, получаем:

$3z = 2w + x$

Подставим известные значения $w = 12$ см и $x = 4$ см в это уравнение:

$3z = 2 \cdot 12 + 4$

$3z = 24 + 4$

$3z = 28$

$z = \frac{28}{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить длины сторон прямоугольника $ABCD$.

Ширина $AD$:

$AD = 3z = 3 \cdot \frac{28}{3} = 28$ см.

Высота $AB$:

$AB = z + w = \frac{28}{3} + 12 = \frac{28}{3} + \frac{36}{3} = \frac{64}{3}$ см.

Длину стороны $AB$ можно также записать в виде смешанной дроби: $21\frac{1}{3}$ см.

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 28 см и $\frac{64}{3}$ см (или $21\frac{1}{3}$ см).