Страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна разность $738 621 - 239 507$?

А) $499 114$

Б) $498 104$

В) $489 014$

Г) $488 124$

1. Чтобы найти разность чисел 738 621 и 239 507, выполним вычитание столбиком. Запишем числа одно под другим, выровняв их по разрядам, и начнем вычитание справа налево, с разряда единиц.

1. Разряд единиц: Из 1 вычесть 7 нельзя. Занимаем 1 десяток из разряда десятков (у цифры 2). Получаем $10 + 1 = 11$. Теперь вычитаем: $11 - 7 = 4$. В разряде десятков остается $2 - 1 = 1$.

2. Разряд десятков: Вычитаем из оставшейся 1 ноль: $1 - 0 = 1$.

3. Разряд сотен: $6 - 5 = 1$.

4. Разряд тысяч: Из 8 вычесть 9 нельзя. Занимаем 1 десяток тысяч из разряда десятков тысяч (у цифры 3). Получаем $10 + 8 = 18$. Теперь вычитаем: $18 - 9 = 9$. В разряде десятков тысяч остается $3 - 1 = 2$.

5. Разряд десятков тысяч: Из оставшихся 2 вычесть 3 нельзя. Занимаем 1 сотню тысяч из разряда сотен тысяч (у цифры 7). Получаем $10 + 2 = 12$. Теперь вычитаем: $12 - 3 = 9$. В разряде сотен тысяч остается $7 - 1 = 6$.

6. Разряд сотен тысяч: Вычитаем из оставшихся 6 цифру 2: $6 - 2 = 4$.

Собрав все полученные цифры вместе, получаем результат: 499 114.
Полное вычисление: $738621 - 239507 = 499114$.
Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту А.
Ответ: А) 499 114

2. Чему равна сумма $2 \text{ ч } 36 \text{ мин} + 6 \text{ ч } 48 \text{ мин}$?

А) 9 ч 34 мин

В) 9 ч 24 мин

Б) 8 ч 14 мин

Г) 8 ч 24 мин

Чтобы найти сумму двух отрезков времени, нужно сложить часы с часами и минуты с минутами, а затем, если необходимо, преобразовать результат.

1. Сложение минут:

Сначала сложим количество минут:

$36 \text{ мин} + 48 \text{ мин} = 84 \text{ мин}$

2. Сложение часов:

Теперь сложим количество часов:

$2 \text{ ч} + 6 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

3. Преобразование результата:

В результате сложения мы получили 8 часов 84 минуты. Поскольку 1 час равен 60 минутам, мы можем выразить 84 минуты в часах и минутах:

$84 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 24 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 24 \text{ мин}$

4. Окончательный результат:

Теперь добавим полученный 1 час к сумме часов:

$8 \text{ ч} + 1 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 24 \text{ мин}$

Таким образом, итоговая сумма равна 9 ч 24 мин.

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) 9 ч 24 мин

3. В виде какого равенства можно записать то, что число $m$ на 18 меньше числа $n$?

А) $m - n = 19$

Б) $n - m = 18$

В) $m + n = 18$

Г) $m = n + 18$

Условие задачи "число $m$ на 18 меньше числа $n$" означает, что разность между большим числом ($n$) и меньшим числом ($m$) равна 18.

Это можно записать в виде уравнения. Есть два основных способа это сделать:

1. Выразить разность: поскольку $n$ больше $m$ на 18, то если вычесть $m$ из $n$, получится 18. $n - m = 18$

2. Уравнять числа: чтобы меньшее число $m$ стало равным большему числу $n$, к нему нужно прибавить 18. $m + 18 = n$

Также можно из большего числа $n$ вычесть 18, чтобы оно стало равным меньшему числу $m$. $n - 18 = m$

Все три полученных равенства ($n - m = 18$, $m + 18 = n$, $n - 18 = m$) эквивалентны и правильно описывают условие. Теперь сравним их с предложенными вариантами.

А) $m - n = 19$. Это равенство означает, что $m$ больше $n$ на 19. Неверно.

Б) $n - m = 18$. Это равенство полностью совпадает с одним из полученных нами. Оно означает, что $n$ больше $m$ на 18, что эквивалентно тому, что $m$ меньше $n$ на 18. Верно.

В) $m + n = 18$. Это равенство описывает сумму чисел, а не их разность. Неверно.

Г) $m = n + 18$. Это равенство означает, что $m$ больше $n$ на 18. Неверно.

Следовательно, правильное равенство представлено в варианте Б.

Ответ: Б

4. Чему равен корень уравнения $(x - 63) + 105 = 175?$

А) 133

Б) 7

В) 343

Г) 217

Для решения данного уравнения необходимо найти значение переменной $x$.

Исходное уравнение:

$(x - 63) + 105 = 175$

В этом уравнении выражение в скобках $(x - 63)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы $175$ вычесть известное слагаемое $105$.

$x - 63 = 175 - 105$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$x - 63 = 70$

Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $70$ прибавить вычитаемое $63$.

$x = 70 + 63$

Выполним сложение:

$x = 133$

Для проверки подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$(133 - 63) + 105 = 70 + 105 = 175$

$175 = 175$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно. Этот ответ соответствует варианту А).

Ответ: 133

5. Укажите верное утверждение.

А) угол, который больше острого угла, — тупой

Б) угол, который меньше тупого угла, — прямой

В) острый угол меньше тупого угла

Г) угол, который больше прямого угла, — развёрнутый

Для того чтобы определить, какое из утверждений верное, необходимо проанализировать каждое из них, основываясь на определениях различных видов углов.

Основные определения:

• Острый угол: угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, равный $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
• Развёрнутый угол: угол, равный $180^\circ$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение:

А) угол, который больше острого угла, — тупой

Это утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Пусть острый угол равен $40^\circ$. Угол $70^\circ$ больше, чем $40^\circ$, но при этом он тоже острый. Прямой угол, равный $90^\circ$, также больше острого угла в $40^\circ$. Следовательно, угол, который больше острого, не обязательно является тупым. Ответ: неверно.

Б) угол, который меньше тупого угла, — прямой

Это утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Пусть тупой угол равен $150^\circ$. Угол $60^\circ$ (острый) меньше, чем $150^\circ$, но он не является прямым. Угол $110^\circ$ (тупой) также меньше $150^\circ$. Следовательно, угол, который меньше тупого, не обязательно является прямым. Ответ: неверно.

В) острый угол меньше тупого угла

Это утверждение верно. По определению, любой острый угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Любой тупой угол $\beta$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Из этих двух неравенств следует, что для любых острого и тупого углов выполняется соотношение $\alpha < 90^\circ < \beta$, что означает, что $\alpha < \beta$. Таким образом, любой острый угол всегда меньше любого тупого угла. Ответ: верно.

Г) угол, который больше прямого угла, — развёрнутый

Это утверждение неверно. Прямой угол равен $90^\circ$, а развёрнутый — $180^\circ$. Угол, который больше прямого, — это любой угол с градусной мерой больше $90^\circ$. Например, тупой угол в $120^\circ$ больше прямого, но не является развёрнутым. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: неверно.

6. Из вершины развёрнутого угла $MKP$, изображённого на рисунке, проведены лучи $KA$ и $KB$ так, что $\angle MKB = 115^\circ$, $\angle AKP = 94^\circ$. Вычислите градусную меру угла $\angle AKB$.

А) $21^\circ$

Б) $27^\circ$

В) $29^\circ$

Г) $32^\circ$

По условию, угол $ \angle MKP $ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла составляет $ 180^\circ $.

$ \angle MKP = 180^\circ $

Для нахождения искомого угла $ \angle AKB $ можно использовать несколько подходов.

Способ 1:

Развёрнутый угол $ \angle MKP $ состоит из смежных углов $ \angle MKA $ и $ \angle AKP $. Отсюда мы можем найти градусную меру угла $ \angle MKA $:

$ \angle MKA = \angle MKP - \angle AKP = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ $

Теперь рассмотрим угол $ \angle MKB $. Он состоит из двух углов: $ \angle MKA $, который мы только что нашли, и искомого угла $ \angle AKB $.

$ \angle MKB = \angle MKA + \angle AKB $

Выразим из этого равенства угол $ \angle AKB $:

$ \angle AKB = \angle MKB - \angle MKA $

Подставим известные значения:

$ \angle AKB = 115^\circ - 86^\circ = 29^\circ $

Способ 2:

Сумма углов $ \angle MKB $ и $ \angle AKP $ покрывает весь развёрнутый угол $ \angle MKP $, при этом их общая часть, угол $ \angle AKB $, учитывается дважды. Таким образом, можно составить равенство:

$ \angle MKB + \angle AKP = \angle MKP + \angle AKB $

Подставим известные значения в формулу:

$ 115^\circ + 94^\circ = 180^\circ + \angle AKB $

$ 209^\circ = 180^\circ + \angle AKB $

Отсюда находим $ \angle AKB $:

$ \angle AKB = 209^\circ - 180^\circ = 29^\circ $

Оба способа дают одинаковый результат. Градусная мера угла $ AKB $ равна $ 29^\circ $, что соответствует варианту ответа В).

Ответ: $ 29^\circ $

7. Определите, какой из треугольников является равнобедренным, и укажите его периметр.

Треугольник ABC:

Стороны: AB = $5 \text{ см}$, BC = $8 \text{ см}$, AC = $11 \text{ см}$.

Треугольник DFE:

Стороны: DF = $4 \text{ см}$, FE = $6 \text{ см}$, DE = $6 \text{ см}$.

Треугольник KMN:

Стороны: KM = $5 \text{ см}$, KN = $13 \text{ см}$, MN = $12 \text{ см}$.

А) $24 \text{ см}$

Б) $16 \text{ см}$

В) $30 \text{ см}$

Г) $20 \text{ см}$

Для решения задачи необходимо определить, какой из представленных треугольников является равнобедренным, а затем найти его периметр.

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Проанализируем каждый из треугольников на изображении:

1. Треугольник ABC: Длины его сторон равны $5$ см, $8$ см и $11$ см. Все стороны имеют разную длину, следовательно, этот треугольник не является равнобедренным.

2. Треугольник DFE: Длины его сторон равны $4$ см, $6$ см и $6$ см. Две стороны ($FE$ и $DE$) равны между собой ($6 \text{ см} = 6 \text{ см}$). Следовательно, треугольник DFE является равнобедренным.

3. Треугольник KMN: Длины его сторон равны $5$ см, $12$ см и $13$ см. Все стороны имеют разную длину, следовательно, этот треугольник не является равнобедренным.

Таким образом, единственный равнобедренный треугольник на изображении — это DFE.

Вычисление периметра равнобедренного треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Вычислим периметр треугольника DFE, который мы определили как равнобедренный:

$P_{DFE} = DF + FE + DE$

Подставим известные значения длин сторон:

$P_{DFE} = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Периметр треугольника DFE равен $16$ см, что соответствует варианту ответа Б).

Ответ: Равнобедренным является треугольник DFE, его периметр равен $16$ см.

8. Одна сторона прямоугольника равна 8 см, а соседняя — на 7 см больше. Чему равен периметр прямоугольника?

А) 15 см

Б) 30 см

В) 23 см

Г) 46 см

Для того чтобы найти периметр прямоугольника, необходимо сначала определить длины обеих его смежных сторон, а затем использовать формулу для вычисления периметра.

1. Нахождение длин сторон прямоугольника.
Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$, а соседняя сторона — $b$.
Согласно условию задачи, длина одной стороны составляет 8 см.
$a = 8$ см.
Соседняя сторона на 7 см больше. Чтобы найти ее длину, нужно к длине первой стороны прибавить 7 см:
$b = a + 7 = 8 + 7 = 15$ см.
Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 15 см.

2. Вычисление периметра прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра:
$P = 2 \cdot (a + b)$.
Подставим найденные значения длин сторон в формулу:
$P = 2 \cdot (8 + 15)$.
$P = 2 \cdot 23$.
$P = 46$ см.

Полученный результат 46 см соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) 46 см