Страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

354. Запишите все углы, изображённые на рисунке 124, и укажите вид каждого угла.

Рис. 124

$ \angle ABM $

$ \angle MBK $

$ \angle KBC $

$ \angle ABK $

$ \angle MBC $

$ \angle ABC $

Угол ABM ($\angle ABM$)
Этот угол является тупым, поскольку его градусная мера визуально больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
Ответ: тупой.

Угол MBK ($\angle MBK$)
Этот угол является острым, поскольку его градусная мера визуально меньше $90^\circ$.
Ответ: острый.

Угол KBC ($\angle KBC$)
Этот угол является острым, поскольку его градусная мера визуально меньше $90^\circ$.
Ответ: острый.

Угол ABC ($\angle ABC$)
Стороны этого угла, лучи BA и BC, лежат на одной прямой. Такой угол называется развёрнутым, и его градусная мера равна $180^\circ$.
Ответ: развёрнутый.

Угол ABK ($\angle ABK$)
Этот угол является составным и равен сумме углов $\angle ABM$ и $\angle MBK$. Так как угол $\angle ABM$ тупой, то и их сумма, угол $\angle ABK$, также будет тупым.
Ответ: тупой.

Угол MBC ($\angle MBC$)
Этот угол является составным и равен сумме углов $\angle MBK$ и $\angle KBC$. Также углы $\angle ABM$ и $\angle MBC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Поскольку $\angle ABM$ — тупой (т.е. $\angle ABM > 90^\circ$), то $\angle MBC = 180^\circ - \angle ABM$ будет острым (т.е. $\angle MBC < 90^\circ$).
Ответ: острый.

355. Миша делал домашнее задание по математике с 16 ч 48 мин до 17 ч 16 мин, а Дима — с 17 ч 53 мин до 18 ч 20 мин. Кто из мальчиков дольше делал задание и на сколько минут?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассчитать, сколько времени каждый мальчик потратил на выполнение домашнего задания, а затем сравнить полученные результаты.

1. Рассчитаем время, которое потратил Миша.
Миша начал делать задание в 16 ч 48 мин, а закончил в 17 ч 16 мин. Чтобы найти продолжительность, вычтем из времени окончания время начала.
$17 \text{ ч } 16 \text{ мин} - 16 \text{ ч } 48 \text{ мин}$
Так как из 16 минут нельзя вычесть 48 минут, мы представим 17 ч 16 мин в другом виде. Заберем 1 час (60 минут) от часов и добавим к минутам:
$17 \text{ ч } 16 \text{ мин} = 16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 16 \text{ мин} = 16 \text{ ч } + 60 \text{ мин} + 16 \text{ мин} = 16 \text{ ч } 76 \text{ мин}$
Теперь выполним вычитание:
$16 \text{ ч } 76 \text{ мин} - 16 \text{ ч } 48 \text{ мин} = (16-16) \text{ ч } (76-48) \text{ мин} = 28 \text{ мин}$
Таким образом, Миша делал домашнее задание 28 минут.

2. Рассчитаем время, которое потратил Дима.
Дима начал делать задание в 17 ч 53 мин, а закончил в 18 ч 20 мин. Найдем продолжительность, вычтя из времени окончания время начала.
$18 \text{ ч } 20 \text{ мин} - 17 \text{ ч } 53 \text{ мин}$
Аналогично предыдущему пункту, преобразуем время окончания:
$18 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 17 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 20 \text{ мин} = 17 \text{ ч } + 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 17 \text{ ч } 80 \text{ мин}$
Теперь выполним вычитание:
$17 \text{ ч } 80 \text{ мин} - 17 \text{ ч } 53 \text{ мин} = (17-17) \text{ ч } (80-53) \text{ мин} = 27 \text{ мин}$
Таким образом, Дима делал домашнее задание 27 минут.

3. Сравним время выполнения задания.
Миша потратил 28 минут, а Дима — 27 минут.
$28 \text{ мин} > 27 \text{ мин}$
Это значит, что Миша делал задание дольше. Чтобы узнать на сколько, найдем разницу:
$28 \text{ мин} - 27 \text{ мин} = 1 \text{ мин}$

Ответ: Миша делал задание дольше на 1 минуту.

356. Решите уравнение:

1) $429 + m = 2106;$

2) $348 - k = 154;$

3) $(m + 326) - 569 = 674;$

4) $5084 - (k - 299) = 568.$

1)
$429 + m = 2106$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $m$, нужно из суммы $2106$ вычесть известное слагаемое $429$.
$m = 2106 - 429$
$m = 1677$
Ответ: $1677$

2)
$348 - k = 154$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $k$, нужно из уменьшаемого $348$ вычесть разность $154$.
$k = 348 - 154$
$k = 194$
Ответ: $194$

3)
$(m + 326) - 569 = 674$
Сначала найдем неизвестное уменьшаемое $(m + 326)$, сложив разность $674$ и вычитаемое $569$.
$m + 326 = 674 + 569$
$m + 326 = 1243$
Теперь найдем неизвестное слагаемое $m$, вычтя из суммы $1243$ известное слагаемое $326$.
$m = 1243 - 326$
$m = 917$
Ответ: $917$

4)
$5084 - (k - 299) = 568$
Сначала найдем неизвестное вычитаемое $(k - 299)$, вычтя из уменьшаемого $5084$ разность $568$.
$k - 299 = 5084 - 568$
$k - 299 = 4516$
Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $k$, сложив разность $4516$ и вычитаемое $299$.
$k = 4516 + 299$
$k = 4815$
Ответ: $4815$

357. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы действие было выполнено правильно:

1) $\begin{array}{ccccccc} & & * & 4 & 7 & * & 8 \\+ & 2 & * & * & * & 3 & * \\\cline{2-7} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}$

2) $\begin{array}{cccccc}1 & * & * & * & * & 0 \\- & 4 & 5 & 6 & 7 & * \\\cline{1-6} & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\end{array}$

Перед нами пример на сложение в столбик, где некоторые цифры заменены звездочками. Обозначим неизвестные цифры буквами, чтобы было удобнее рассуждать. Пусть пример выглядит так: $A47B8 + 2CD3E = 100000$. Решать будем последовательно, справа налево, анализируя каждый разряд.

1. Разряд единиц: Сумма $8 + E$ должна оканчиваться на $0$. Поскольку $E$ — это однозначная цифра, то $8 + E = 10$. Отсюда находим, что $E = 2$. При этом в разряд десятков переносится $1$.

2. Разряд десятков: Сумма цифр в этом разряде с учетом переноса из предыдущего разряда ($1$) также должна оканчиваться на $0$. Получаем уравнение: $B + 3 + 1 = 10$, то есть $B + 4 = 10$. Отсюда $B = 6$. В разряд сотен снова переносится $1$.

3. Разряд сотен: Аналогично, $7 + D + 1 = 10$, то есть $8 + D = 10$. Отсюда $D = 2$. В разряд тысяч переносится $1$.

4. Разряд тысяч: Складываем $4 + C$ и перенесенную $1$: $4 + C + 1 = 10$, то есть $5 + C = 10$. Отсюда $C = 5$. В разряд десятков тысяч переносится $1$.

5. Разряд десятков тысяч: Сумма $A + 2$ и перенесенной $1$ должна быть равна $10$, чтобы в результате получилось $100000$. Получаем $A + 2 + 1 = 10$, то есть $A + 3 = 10$. Отсюда $A = 7$.

Восстановленный пример выглядит следующим образом: $74768 + 25232 = 100000$.

Ответ: $74768 + 25232 = 100000$.

В этом примере необходимо восстановить цифры в действии вычитания. Обозначим неизвестные цифры буквами: $1ABCD0 - 4567E = 55555$. Эту задачу проще решить, если преобразовать вычитание в сложение: $55555 + 4567E = 1ABCD0$. Теперь будем находить неизвестные цифры, выполняя сложение в столбик.

1. Разряд единиц: Сумма $5 + E$ должна оканчиваться на $0$. Это возможно, если $5 + E = 10$. Отсюда находим, что $E = 5$. В разряд десятков переносится $1$.

2. Разряд десятков: Складываем $5 + 7$ и $1$ из переноса: $5 + 7 + 1 = 13$. Значит, искомая цифра $D$ в результате равна $3$. В разряд сотен переносится $1$.

3. Разряд сотен: Складываем $5 + 6$ и $1$ из переноса: $5 + 6 + 1 = 12$. Значит, цифра $C$ равна $2$. В разряд тысяч переносится $1$.

4. Разряд тысяч: Складываем $5 + 5$ и $1$ из переноса: $5 + 5 + 1 = 11$. Значит, цифра $B$ равна $1$. В разряд десятков тысяч переносится $1$.

5. Разряд десятков тысяч: Складываем $5 + 4$ и $1$ из переноса: $5 + 4 + 1 = 10$. Значит, цифра $A$ равна $0$. В разряд сотен тысяч переносится $1$.

6. Эта перенесенная $1$ является первой цифрой итогового числа $1ABCD0$.

Таким образом, уменьшаемое равно $101230$, а вычитаемое — $45675$. Исходный пример: $101230 - 45675 = 55555$.

Ответ: $101230 - 45675 = 55555$.

358. Каждый учащийся гимназии изучает по крайней мере один из двух иностранных языков. Английский язык изучают 328 учеников, французский язык — 246 учеников, а английский и французский одновременно — 109 учеников. Сколько всего учеников учится в гимназии?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для двух множеств. Пусть $A$ — это множество учеников, изучающих английский язык, а $F$ — множество учеников, изучающих французский.

Согласно условию, у нас есть следующие данные:

• Количество учеников, изучающих английский язык: $|A| = 328$
• Количество учеников, изучающих французский язык: $|F| = 246$
• Количество учеников, изучающих оба языка одновременно (то есть, пересечение множеств): $|A \cap F| = 109$

В задаче сказано, что каждый ученик изучает по крайней мере один из двух языков. Это означает, что общее количество учеников в гимназии равно количеству учеников в объединении множеств $A$ и $F$, то есть $|A \cup F|$.

Формула для нахождения числа элементов в объединении двух множеств выглядит так:

$|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|$

Мы складываем количество учеников в каждой группе и вычитаем количество учеников, которые состоят в обеих группах, так как при простом сложении они были бы посчитаны дважды.

Подставим наши значения в формулу:

$|A \cup F| = 328 + 246 - 109$

Выполним вычисления:

$328 + 246 = 574$

$574 - 109 = 465$

Таким образом, всего в гимназии 465 учеников.

Проверим решение другим способом:

1. Сначала найдем, сколько учеников изучает только английский язык. Для этого из общего числа изучающих английский вычтем тех, кто изучает оба языка:
   $328 - 109 = 219$ учеников.
2. Теперь найдем, сколько учеников изучает только французский язык:
   $246 - 109 = 137$ учеников.
3. Общее число учеников в гимназии будет равно сумме учеников, изучающих только английский, только французский и тех, кто изучает оба языка. Эти три группы не пересекаются.
   $219 (\text{только английский}) + 137 (\text{только французский}) + 109 (\text{оба языка}) = 465$ учеников.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 465.