Номер 358, страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

358. Каждый учащийся гимназии изучает по крайней мере один из двух иностранных языков. Английский язык изучают 328 учеников, французский язык — 246 учеников, а английский и французский одновременно — 109 учеников. Сколько всего учеников учится в гимназии?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для двух множеств. Пусть $A$ — это множество учеников, изучающих английский язык, а $F$ — множество учеников, изучающих французский.

Согласно условию, у нас есть следующие данные:

• Количество учеников, изучающих английский язык: $|A| = 328$
• Количество учеников, изучающих французский язык: $|F| = 246$
• Количество учеников, изучающих оба языка одновременно (то есть, пересечение множеств): $|A \cap F| = 109$

В задаче сказано, что каждый ученик изучает по крайней мере один из двух языков. Это означает, что общее количество учеников в гимназии равно количеству учеников в объединении множеств $A$ и $F$, то есть $|A \cup F|$.

Формула для нахождения числа элементов в объединении двух множеств выглядит так:

$|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|$

Мы складываем количество учеников в каждой группе и вычитаем количество учеников, которые состоят в обеих группах, так как при простом сложении они были бы посчитаны дважды.

Подставим наши значения в формулу:

$|A \cup F| = 328 + 246 - 109$

Выполним вычисления:

$328 + 246 = 574$

$574 - 109 = 465$

Таким образом, всего в гимназии 465 учеников.

Проверим решение другим способом:

1. Сначала найдем, сколько учеников изучает только английский язык. Для этого из общего числа изучающих английский вычтем тех, кто изучает оба языка:
   $328 - 109 = 219$ учеников.
2. Теперь найдем, сколько учеников изучает только французский язык:
   $246 - 109 = 137$ учеников.
3. Общее число учеников в гимназии будет равно сумме учеников, изучающих только английский, только французский и тех, кто изучает оба языка. Эти три группы не пересекаются.
   $219 (\text{только английский}) + 137 (\text{только французский}) + 109 (\text{оба языка}) = 465$ учеников.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 465.