Страница 98 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?

1. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

Поскольку сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, если три угла прямые, то и четвёртый угол будет прямым. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также своими уникальными:

1. Противоположные стороны равны и параллельны.
2. Все углы равны $90^\circ$.
3. Диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

Таким образом, можно дать и другое определение: прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого диагонали равны.

Ответ: Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$).

2. Какие стороны прямоугольника называют соседними? Противолежащими?

Какие стороны прямоугольника называют соседними?

Соседними (или смежными) сторонами прямоугольника называются две стороны, которые выходят из одной вершины (имеют общую точку). В любом прямоугольнике каждая сторона имеет две соседние стороны.

Ключевой особенностью соседних сторон в прямоугольнике является то, что они перпендикулярны друг другу, то есть угол между ними составляет $90^\circ$. Длины соседних сторон обычно определяют как длину и ширину прямоугольника.

Например, для прямоугольника $ABCD$:

• Стороны $AB$ и $BC$ являются соседними, так как имеют общую вершину $B$.
• Стороны $BC$ и $CD$ являются соседними, так как имеют общую вершину $C$.

Ответ: Соседними сторонами прямоугольника называют стороны, имеющие общую вершину.

Какие стороны прямоугольника называют противолежащими?

Противолежащими (или противоположными) сторонами прямоугольника называются две стороны, которые не имеют общих вершин и лежат друг напротив друга. В любом прямоугольнике есть две пары противолежащих сторон.

Главное свойство противолежащих сторон прямоугольника заключается в том, что они всегда параллельны ($a \parallel c$, $b \parallel d$) и равны по длине ($a=c$, $b=d$).

Например, для прямоугольника $ABCD$:

• Сторона $AB$ противолежит стороне $CD$.
• Сторона $BC$ противолежит стороне $DA$.

Ответ: Противолежащими сторонами прямоугольника называют стороны, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин.

3. Что называют длиной и шириной прямоугольника?

Прямоугольник — это геометрическая фигура, у которой все углы прямые ($90^\circ$), а противоположные стороны равны. Размеры двух его соседних (смежных) сторон и называют его длиной и шириной.

Длина — это размер большей из двух смежных сторон прямоугольника. В формулах её обычно обозначают латинской буквой $a$ или $l$.

Ширина — это размер меньшей из двух смежных сторон прямоугольника. В формулах её обозначают латинской буквой $b$ или $w$.

Например, если у прямоугольника размеры сторон равны 15 см и 8 см, то его длина составляет 15 см, а ширина — 8 см.

В особом случае, когда все стороны прямоугольника равны, такую фигуру называют квадратом. У квадрата длина равна ширине, поэтому говорят просто «сторона квадрата».

Ответ: Длиной и шириной прямоугольника называют размеры его смежных сторон. Как правило, длиной считается большая сторона, а шириной — меньшая.

4. Каким свойством обладают противоположные стороны прямоугольника?

Противолежащие стороны прямоугольника обладают двумя основными свойствами, которые следуют из того, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма.

1. Противолежащие стороны равны по длине. Это означает, что если измерить длину одной стороны, то противолежащая ей сторона будет иметь точно такую же длину. Для прямоугольника ABCD это свойство записывается так: $AB = CD$ и $BC = AD$.

2. Противолежащие стороны параллельны. Это означает, что они лежат на параллельных прямых и никогда не пересекутся, как бы далеко их ни продолжали. Для прямоугольника ABCD это записывается так: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Таким образом, основное свойство противолежащих сторон прямоугольника заключается в том, что они попарно равны и параллельны.

Ответ: Противолежащие стороны прямоугольника равны и параллельны.

5. Какую фигуру называют квадратом?

Квадратом называют правильный четырёхугольник. Это плоская геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны по длине и все четыре внутренних угла являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Поскольку квадрат является частным случаем других четырёхугольников, его можно определить и через них. Например:
1. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
2. Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Таким образом, квадрат наследует все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Основные свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Противоположные стороны параллельны.
• Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов (делят их на два угла по $45^\circ$).

Ответ: Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые.

6. Объясните, какие фигуры называют симметричными относительно прямой.

Чтобы понять, какие фигуры называют симметричными относительно прямой, нужно сначала определить, что такое точки, симметричные относительно прямой.

Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая $a$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему ($a \perp AA'$). Прямая $a$ в данном случае является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Каждая точка, лежащая на самой прямой $a$, считается симметричной самой себе.

Исходя из этого, фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, также принадлежит этой фигуре. Прямая $a$ в таком случае называется осью симметрии фигуры.

Проще говоря, фигура симметрична относительно некоторой прямой, если ее можно мысленно согнуть по этой прямой так, что две получившиеся части фигуры полностью совпадут.

Примеры:

• Равнобедренный треугольник симметричен относительно высоты, проведенной к его основанию.
• Прямоугольник имеет две оси симметрии, проходящие через середины его противоположных сторон.
• Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр.

Ответ: Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно этой прямой, также принадлежит данной фигуре. Такая прямая называется осью симметрии фигуры.

7. Как называют прямую, относительно которой симметрична фигура?

Прямая, относительно которой симметрична фигура, называется осью симметрии. Такая симметрия называется осевой.

Это означает, что если провести прямую линию через фигуру, и каждая точка фигуры с одной стороны прямой будет иметь симметричную ей точку на другой стороне (на таком же расстоянии от прямой и на том же перпендикуляре), то эта прямая является осью симметрии. Иначе говоря, ось симметрии делит фигуру на две части, которые являются зеркальным отражением друг друга. Если мысленно согнуть фигуру по этой оси, то обе ее половины полностью совпадут.

Например:

• у равнобедренного треугольника осью симметрии является прямая, содержащая высоту, проведенную к основанию;
• у окружности осей симметрии бесконечно много — любая прямая, проходящая через ее центр;
• у квадрата четыре оси симметрии.

Ответ: ось симметрии.

8. Какие вы знаете фигуры, имеющие ось симметрии?

Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные, зеркально-симметричные части. Если мысленно сложить фигуру по этой прямой, то обе половины полностью совпадут. Существует множество геометрических фигур, которые имеют одну или несколько осей симметрии.

Приведем примеры таких фигур:

• Отрезок: имеет две оси симметрии. Одна — это прямая, на которой лежит сам отрезок. Вторая — это серединный перпендикуляр к отрезку.
• Угол (не развернутый): имеет одну ось симметрии — его биссектрису.
• Равнобедренный треугольник: имеет одну ось симметрии, которая является высотой, медианой и биссектрисой, проведенной к основанию.
• Равносторонний треугольник: имеет три оси симметрии. Каждая из них является высотой (а также медианой и биссектрисой), проведенной из вершины к противоположной стороне.
• Прямоугольник: имеет две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.
• Ромб: имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали.
• Квадрат: как частный случай прямоугольника и ромба, имеет четыре оси симметрии. Две проходят через середины противоположных сторон, и еще две совпадают с его диагоналями.
• Равнобедренная трапеция: имеет одну ось симметрии, которая проходит через середины ее оснований.
• Правильный многоугольник: количество осей симметрии у правильного $n$-угольника равно $n$. Например, у правильного пятиугольника 5 осей симметрии, а у правильного восьмиугольника — 8.
• Окружность: имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.
• Эллипс: имеет две оси симметрии, которые называются большой и малой осями эллипса.
• Парабола: имеет одну ось симметрии, которая проходит через ее вершину и фокус.

Ответ: Фигуры, имеющие ось симметрии, — это, например, отрезок, угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник, ромб, квадрат, равнобедренная трапеция, правильные многоугольники, окружность, эллипс и парабола.

9. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, отличный от квадрата? Квадрат? Равносторонний треугольник?

Прямоугольник, отличный от квадрата

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. У прямоугольника, у которого смежные стороны не равны (длина $a$ и ширина $b$, где $a \ne b$), есть две оси симметрии. Первая ось проходит через середины двух противоположных сторон, а вторая ось — через середины двух других противоположных сторон. Диагонали прямоугольника не являются его осями симметрии, так как при перегибании по диагонали части фигуры не совпадают.

Ответ: 2

Квадрат

Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все стороны равны. Он обладает всеми осями симметрии прямоугольника и, в дополнение к ним, имеет еще две. Всего у квадрата четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон (как у любого прямоугольника), а две другие совпадают с его диагоналями. В отличие от прямоугольника, не являющегося квадратом, при перегибании квадрата по диагонали его части полностью совпадают.

Ответ: 4

Равносторонний треугольник

Равносторонний (или правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. У него есть три оси симметрии. Каждая ось симметрии равностороннего треугольника проходит через одну из его вершин и середину противоположной стороны. Эти линии являются одновременно медианами, высотами и биссектрисами треугольника.

Ответ: 3

1. Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называют такой треугольник? Чему равен его периметр?

Как называют такой треугольник?

Треугольник, у которого все три стороны равны по длине, называется равносторонним (или правильным) треугольником.

Ответ: Равносторонний треугольник.

Чему равен его периметр?

Периметр ($P$) любой фигуры — это сумма длин всех её сторон. У данного треугольника три стороны, и каждая из них равна 12 см. Обозначим длину стороны как $a$.

Дано: $a = 12$ см.

Формула для нахождения периметра треугольника: $P = a + a + a$, или $P = 3 \cdot a$.

Подставим известное значение длины стороны в формулу:

$P = 3 \cdot 12$ см $= 36$ см.

Ответ: 36 см.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а одна из его сторон – 12 см. Найдите длины двух других сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Данная в условии сторона длиной 12 см может быть как одной из двух равных сторон (боковой стороной), так и третьей стороной (основанием). Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Боковая сторона равна 12 см.

Если данная сторона — это боковая, то в треугольнике две стороны по 12 см. Пусть боковые стороны $a = b = 12$ см. Периметр $P$ равен 32 см. Найдем третью сторону $c$ (основание).
Формула периметра: $P = a + b + c$.
Подставим известные значения:
$32 = 12 + 12 + c$
$32 = 24 + c$
$c = 32 - 24 = 8$ см.
Получили стороны 12 см, 12 см и 8 см. Проверим, существует ли такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$12 + 8 > 12$ ($20 > 12$ — верно).
Следовательно, такой треугольник существует. Две другие стороны равны 12 см и 8 см.
Ответ: 12 см и 8 см.

Случай 2. Основание равно 12 см.

Если данная сторона — это основание, то две другие (боковые) стороны равны между собой. Пусть основание $c = 12$ см, а боковые стороны равны $a$.
Формула периметра: $P = a + a + c = 2a + c$.
Подставим известные значения:
$32 = 2a + 12$
$2a = 32 - 12$
$2a = 20$
$a = 10$ см.
Получили стороны 10 см, 10 см и 12 см. Проверим неравенство треугольника:
$10 + 10 > 12$ ($20 > 12$ — верно).
Следовательно, такой треугольник также существует. Две другие стороны равны 10 см и 10 см.
Ответ: 10 см и 10 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку оба рассмотренных случая приводят к различным наборам сторон, которые удовлетворяют условиям задачи и неравенству треугольника, задача имеет два решения.
Ответ: 2.

3. Найдите сторону равностороннего треугольника, если она меньше его периметра на 10 см.

$a = 3a - 10$

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$ см.

Поскольку треугольник равносторонний, все его три стороны равны. Периметр $P$ такого треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + a + a = 3a$

Согласно условию задачи, сторона треугольника на 10 см меньше его периметра. Математически это можно выразить следующим уравнением:

$a = P - 10$

Теперь мы можем составить и решить уравнение, подставив выражение для периметра ($P = 3a$) во второе уравнение:

$a = 3a - 10$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую:

$10 = 3a - a$

$10 = 2a$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{10}{2}$

$a = 5$

Следовательно, длина стороны равностороннего треугольника составляет 5 см.

Проверка:
Сторона $a = 5$ см.
Периметр $P = 3 \cdot 5 = 15$ см.
Разница между периметром и стороной: $15 - 5 = 10$ см.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 5 см.

4. Вычислите значение $y$ по формуле $y = x \cdot x + 12$, если:

1) $x = 1$;

2) $x = 10$.

Для вычисления значения y необходимо подставить заданное значение x в формулу $y = x \cdot x + 12$.

1) x = 1;

Подставляем $x = 1$ в формулу:

$y = 1 \cdot 1 + 12$

$y = 1 + 12$

$y = 13$

Ответ: 13

2) x = 10.

Подставляем $x = 10$ в формулу:

$y = 10 \cdot 10 + 12$

$y = 100 + 12$

$y = 112$

Ответ: 112

359. Постройте:

1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см;

2) квадрат со стороной 3 см.

1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см;

Для построения прямоугольника с помощью линейки и угольника (или транспортира) нужно выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки построить отрезок AB, длина которого равна 4 см.
2. От точки A отложить перпендикулярный отрезок AD длиной 2 см. Это можно сделать с помощью угольника, приложив его к отрезку AB в точке A. Угол $\angle DAB$ должен быть равен $90^{\circ}$.
3. От точки B отложить перпендикулярный отрезок BC длиной 2 см. Угол $\angle ABC$ также должен быть равен $90^{\circ}$.
4. Соединить точки D и C отрезком.
5. Полученный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником. Его стороны AB и CD равны 4 см, а стороны AD и BC равны 2 см, все углы прямые.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD — искомый прямоугольник.

2) квадрат со стороной 3 см.

Для построения квадрата с помощью линейки и угольника (или транспортира) нужно выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки построить отрезок AB, длина которого равна 3 см.
2. От точки A отложить перпендикулярный отрезок AD длиной 3 см, используя угольник. Угол $\angle DAB$ должен быть равен $90^{\circ}$.
3. От точки B отложить перпендикулярный отрезок BC длиной 3 см. Угол $\angle ABC$ также должен быть равен $90^{\circ}$.
4. Соединить точки D и C отрезком.
5. Полученный четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как все его стороны равны 3 см и все углы прямые.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD — искомый квадрат.

360. Постройте прямоугольник, соседние стороны которого равны 25 мм и 35 мм.

Для построения прямоугольника с соседними сторонами 25 мм и 35 мм с помощью циркуля и линейки, выполним следующую последовательность действий:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A, которая будет одной из вершин прямоугольника.
2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки A отрезок, равный одной из сторон, например, большей. Установим раствор циркуля равным 35 мм, поставим иглу в точку A и сделаем засечку на прямой, получив точку B. Отрезок $AB = 35$ мм — первая сторона прямоугольника.
3. Теперь необходимо построить прямой угол при вершине A. Для этого построим перпендикуляр к прямой AB, проходящий через точку A.
   • Установим иглу циркуля в точку A и начертим дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую, содержащую отрезок AB, в двух точках по обе стороны от A (назовем их M и N).
   • Из точек M и N, как из центров, проведем две дуги одинаковым радиусом (большим, чем AM) так, чтобы они пересеклись в точке K.
   • Проведем луч AK. По построению, луч AK перпендикулярен прямой AB, то есть $\angle KAB = 90^\circ$.
4. На луче AK отложим отрезок, равный второй стороне прямоугольника. Установим раствор циркуля равным 25 мм, поставим иглу в точку A и сделаем засечку на луче AK. Получим точку D. Отрезок $AD = 25$ мм — вторая сторона прямоугольника.
5. Осталось найти четвертую вершину C. Она будет находиться на пересечении двух окружностей:
   • Первая — с центром в точке B и радиусом, равным длине стороны AD, то есть $25$ мм.
   • Вторая — с центром в точке D и радиусом, равным длине стороны AB, то есть $35$ мм.
   Проведем дуги этих окружностей до их пересечения. Точка пересечения и будет вершиной C.
6. Соединим отрезками точки B с C и D с C.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником, так как по построению его соседние стороны AD и AB перпендикулярны и равны 25 мм и 35 мм соответственно, а противоположные стороны попарно равны ($AB = DC$ и $AD = BC$).

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является прямоугольником со сторонами 25 мм и 35 мм.