Страница 94 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

348. Периметр треугольника равен $p$ см, одна сторона — 22 см, вторая сторона — $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $p = 72$, $b = 26$.

Составьте выражение для нахождения третьей стороны

Периметр треугольника $p$ равен сумме длин его трех сторон. По условию, первая сторона равна 22 см, вторая сторона — $b$ см. Обозначим искомую третью сторону как $c$.
Тогда формула периметра выглядит так: $p = 22 + b + c$.
Чтобы найти длину третьей стороны $c$, необходимо из периметра $p$ вычесть сумму длин двух известных сторон:
$c = p - (22 + b)$.
Ответ: $p - (22 + b)$ см.

Вычислите длину третьей стороны, если p = 72, b = 26

Воспользуемся полученным выражением и подставим в него заданные значения $p = 72$ и $b = 26$:
$c = 72 - (22 + 26)$.
1. Выполним действие в скобках: $22 + 26 = 48$.
2. Выполним вычитание: $72 - 48 = 24$.
Длина третьей стороны составляет 24 см.
Ответ: 24 см.

349. Периметр треугольника равен 97 см, одна сторона — $a$ см, вторая — $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $a = 32$, $b = 26$.

Составьте выражение для нахождения третьей стороны
Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Если обозначить стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, то формула периметра будет выглядеть так: $P = a + b + c$.
Чтобы найти длину третьей стороны ($c$), необходимо из общего периметра вычесть сумму длин двух известных сторон:
$c = P - (a + b)$
По условию задачи, периметр равен 97 см. Подставим это значение в формулу:
$c = 97 - (a + b)$
Это и есть искомое выражение.
Ответ: $97 - (a + b)$.

Вычислите длину третьей стороны, если a = 32, b = 26
Воспользуемся полученным выражением и подставим в него заданные значения $a = 32$ и $b = 26$:
$c = 97 - (32 + 26)$
Сначала выполним действие в скобках:
$32 + 26 = 58$
Теперь вычтем полученную сумму из периметра:
$97 - 58 = 39$
Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет 39 см.
Ответ: 39 см.

350. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник ABC и укажите его вид, если:

1) две стороны равны 3 см и 6 см, а угол между ними — $40^{\circ}$;

2) две стороны равны 2 см 5 мм и 5 см, а угол между ними — $130^{\circ}$;

3) две стороны равны по 3 см 5 мм, а угол между ними — $54^{\circ}$;

4) сторона AB равна 4 см, а углы CAB и CBA соответственно равны $30^{\circ}$ и $70^{\circ}$;

5) сторона AB равна 2 см 5 мм, а углы CAB и CBA соответственно равны $100^{\circ}$ и $20^{\circ}$;

6) сторона BC равна 5 см, а углы ABC и BCA соответственно равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$;

7) сторона BC равна 5 см 5 мм, а углы ABC и BCA равны по $45^{\circ}$;

8) сторона AC равна 5 см 5 мм, а углы BAC и BCA равны по $60^{\circ}$.

1) две стороны равны 3 см и 6 см, а угол между ними — 40°

Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок, например, $AC$ длиной $6$ см.
2. От точки $A$ с помощью транспортира откладываем угол, равный $40°$.
3. На второй стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AB$ длиной $3$ см.
4. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По сторонам: Две стороны по условию равны $3$ см и $6$ см. Измерив третью сторону $BC$ линейкой, убеждаемся, что её длина не равна ни $3$ см, ни $6$ см. Так как все стороны имеют разную длину, треугольник является разносторонним.
По углам: Один угол по условию равен $40°$. Измерив два других угла транспортиром, обнаружим, что угол $B$ (лежащий напротив большей стороны $AC$) является тупым (больше $90°$). Следовательно, треугольник — тупоугольный.
Ответ: разносторонний, тупоугольный.

2) две стороны равны 2 см 5 мм и 5 см, а угол между ними — 130°

Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок, например, $AC$ длиной $5$ см.
2. От точки $A$ с помощью транспортира откладываем угол, равный $130°$.
3. На второй стороне угла от точки $A$ откладываем отрезок $AB$ длиной $2.5$ см.
4. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По углам: Один из углов треугольника по условию равен $130°$. Так как $130° > 90°$, треугольник является тупоугольным.
По сторонам: Стороны $AB$ и $AC$ не равны. Измерив сторону $BC$, убедимся, что она не равна ни $2.5$ см, ни $5$ см. Так как все стороны имеют разную длину, треугольник является разносторонним.
Ответ: разносторонний, тупоугольный.

3) две стороны равны по 3 см 5 мм, а угол между ними — 54°

Построение:
1. Строим отрезок $AB$ длиной $3.5$ см.
2. От точки $A$ откладываем угол, равный $54°$.
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $AC$ длиной $3.5$ см.
4. Соединяем точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По сторонам: По условию две стороны треугольника равны ($AB = AC = 3.5$ см). Следовательно, треугольник является равнобедренным.
По углам: Угол при вершине $A$ равен $54°$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $∠B = ∠C = (180° - 54°) / 2 = 126° / 2 = 63°$. Все три угла ($54°, 63°, 63°$) меньше $90°$, поэтому треугольник остроугольный.
Ответ: равнобедренный, остроугольный.

4) сторона AB равна 4 см, а углы CAB и CBA соответственно равны 30° и 70°

Построение:
1. Строим отрезок $AB$ длиной $4$ см.
2. От точки $A$ откладываем угол $CAB$, равный $30°$.
3. От точки $B$ откладываем угол $CBA$, равный $70°$.
4. Точка пересечения лучей, образующих углы, будет вершиной $C$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По углам: Два угла известны: $∠A = 30°$ и $∠B = 70°$. Найдем третий угол: $∠C = 180° - (30° + 70°) = 180° - 100° = 80°$. Все углы треугольника ($30°, 70°, 80°$) острые, значит, треугольник остроугольный.
По сторонам: Так как все углы треугольника различны, то и все его стороны имеют разную длину. Следовательно, треугольник разносторонний.
Ответ: разносторонний, остроугольный.

5) сторона AB равна 2 см 5 мм, а углы CAB и CBA соответственно равны 100° и 20°

Построение:
1. Строим отрезок $AB$ длиной $2.5$ см.
2. От точки $A$ откладываем угол $CAB$, равный $100°$.
3. От точки $B$ откладываем угол $CBA$, равный $20°$.
4. Точка пересечения лучей будет вершиной $C$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По углам: Один из углов равен $100°$, что больше $90°$. Следовательно, треугольник тупоугольный.
По сторонам: Найдем третий угол: $∠C = 180° - (100° + 20°) = 180° - 120° = 60°$. Все углы ($100°, 20°, 60°$) различны, значит, все стороны тоже различны. Треугольник разносторонний.
Ответ: разносторонний, тупоугольный.

6) сторона BC равна 5 см, а углы ABC и BCA соответственно равны 30° и 60°

Построение:
1. Строим отрезок $BC$ длиной $5$ см.
2. От точки $B$ откладываем угол $ABC$, равный $30°$.
3. От точки $C$ откладываем угол $BCA$, равный $60°$.
4. Точка пересечения лучей будет вершиной $A$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По углам: Найдем третий угол: $∠A = 180° - (30° + 60°) = 180° - 90° = 90°$. Так как один из углов равен $90°$, треугольник прямоугольный.
По сторонам: Все углы ($30°, 60°, 90°$) различны, значит, все стороны тоже имеют разную длину. Треугольник разносторонний.
Ответ: разносторонний, прямоугольный.

7) сторона BC равна 5 см 5 мм, а углы ABC и BCA равны по 45°

Построение:
1. Строим отрезок $BC$ длиной $5.5$ см.
2. От точки $B$ откладываем угол $ABC$, равный $45°$.
3. От точки $C$ откладываем угол $BCA$, равный $45°$.
4. Точка пересечения лучей будет вершиной $A$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По сторонам: Углы при основании $BC$ равны ($∠B = ∠C = 45°$), следовательно, треугольник является равнобедренным (стороны $AB$ и $AC$ равны).
По углам: Найдем третий угол: $∠A = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°$. Треугольник с углом $90°$ является прямоугольным.
Ответ: равнобедренный, прямоугольный.

8) сторона AC равна 5 см 5 мм, а углы BAC и BCA равны по 60°

Построение:
1. Строим отрезок $AC$ длиной $5.5$ см.
2. От точки $A$ откладываем угол $BAC$, равный $60°$.
3. От точки $C$ откладываем угол $BCA$, равный $60°$.
4. Точка пересечения лучей будет вершиной $B$. Треугольник $ABC$ построен.
Определение вида треугольника:
По сторонам: Найдем третий угол: $∠B = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°$. Все три угла треугольника равны по $60°$. Треугольник, у которого все углы равны, является равноугольным, а значит и равносторонним (все стороны равны).
По углам: Все углы равны $60°$, что меньше $90°$. Следовательно, треугольник остроугольный.
Ответ: равносторонний, остроугольный.

351. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник $ABC$ и укажите его вид, если:

1) две стороны равны 3 см и 4 см, а угол между ними — $90^\circ$;

2) две стороны равны по 4 см 5 мм, а угол между ними — $60^\circ$;

3) сторона $AC$ равна 6 см, а углы $BAC$ и $BCA$ соответственно равны $90^\circ$ и $45^\circ$;

4) сторона $AB$ равна 4 см 5 мм, а углы $CAB$ и $CBA$ соответственно равны $35^\circ$.

1)
Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. В точке $A$ с помощью транспортира строим прямой угол, то есть угол равный 90°.
3. На луче, выходящем из точки $A$ и образующем этот угол, откладываем отрезок $AC$ длиной 4 см.
4. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.

Определение вида треугольника:
По построению, угол $\angle BAC$ равен 90°, следовательно, треугольник является прямоугольным.
Две его стороны (катеты) равны 3 см и 4 см. Найдем длину третьей стороны (гипотенузы) $BC$ по теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Отсюда $BC = \sqrt{25} = 5$ см.Так как все стороны треугольника имеют разную длину (3 см, 4 см, 5 см), он является разносторонним.
Ответ: Прямоугольный разносторонний треугольник.

2)
Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 4 см 5 мм (4.5 см).
2. В точке $B$ с помощью транспортира строим угол, равный 60°.
3. На луче, выходящем из точки $B$ и образующем этот угол, откладываем отрезок $BC$ длиной 4.5 см.
4. Соединяем точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Определение вида треугольника:
По условию, две стороны треугольника равны ($AB = BC = 4.5$ см), значит, он равнобедренный.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $\angle BAC = \angle BCA = (180° - 60°)/2 = 120°/2 = 60°$.
Так как все три угла треугольника равны 60°, он является равносторонним. Также, поскольку все углы меньше 90°, он остроугольный.
Ответ: Равносторонний (остроугольный) треугольник.

3)
Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок $AC$ длиной 6 см.
2. От точки $A$ с помощью транспортира строим луч $AX$ так, что $\angle XAC = 90°$.
3. От точки $C$ с помощью транспортира строим луч $CY$ так, что $\angle YCA = 45°$.
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $CY$ является вершиной $B$. Треугольник $ABC$ построен.

Определение вида треугольника:
По условию, угол $\angle BAC$ равен 90°, следовательно, треугольник прямоугольный.
Найдем третий угол $\angle ABC$: $\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (90° + 45°) = 180° - 135° = 45°$.
Так как два угла в треугольнике равны ($\angle BCA = \angle ABC = 45°$), то он является равнобедренным.
Ответ: Прямоугольный равнобедренный треугольник.

4)
Построение:
1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 4 см 5 мм (4.5 см).
2. От точки $A$ с помощью транспортира строим луч $AX$ так, что $\angle XAB = 35°$.
3. От точки $B$ с помощью транспортира строим луч $BY$ так, что $\angle YBA = 35°$.
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $BY$ является вершиной $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Определение вида треугольника:
По условию, два угла треугольника равны ($\angle CAB = \angle CBA = 35°$), следовательно, треугольник является равнобедренным (стороны $AC$ и $BC$ равны).
Найдем третий угол $\angle ACB$: $\angle ACB = 180° - (\angle CAB + \angle CBA) = 180° - (35° + 35°) = 180° - 70° = 110°$.
Так как один из углов треугольника (110°) больше 90°, он является тупоугольным.
Ответ: Тупоугольный равнобедренный треугольник.

352. Постройте треугольник, стороны которого содержат четыре точки, изображённые на рисунке 122.

Рис. 122

Для построения треугольника, стороны которого содержат четыре заданные точки, обозначим эти точки следующим образом: A — верхняя левая, B — верхняя правая, C — нижняя левая и D — нижняя праямая. Эти точки образуют вершины прямоугольника.

Построение можно выполнить в несколько шагов:

1. Соединим точки C и D, проведя через них прямую $l_1$. Эта прямая будет содержать одну из сторон будущего треугольника.
2. Проведём прямую $l_2$ через точки B и C.
3. Проведём прямую $l_3$ через точки A и D.

Три полученные прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$ не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке, следовательно, они образуют треугольник. Вершинами этого треугольника являются точки попарного пересечения этих прямых:

• Вершина 1: пересечение прямых $l_1$ (прямая CD) и $l_2$ (прямая BC) — это точка C.
• Вершина 2: пересечение прямых $l_1$ (прямая CD) и $l_3$ (прямая AD) — это точка D.
• Вершина 3: точка пересечения прямых $l_2$ (прямая BC) и $l_3$ (прямая AD). Обозначим эту точку как M.

Таким образом, построен треугольник $\triangle CDM$.

Теперь убедимся, что стороны этого треугольника содержат все четыре исходные точки A, B, C, D. Стороны треугольника $\triangle CDM$ лежат на прямых (CD), (BC) и (AD).

• Прямая, содержащая сторону CD, проходит через точки C и D.
• Прямая, содержащая сторону CM (часть прямой BC), проходит через точки B и C.
• Прямая, содержащая сторону DM (часть прямой AD), проходит через точки A и D.

Таким образом, каждая из четырех заданных точек лежит на одной из прямых, содержащих стороны построенного треугольника: точка A лежит на прямой AD, точка B — на прямой BC, а точки C и D являются вершинами треугольника и лежат на пересечении двух прямых каждая. Условие задачи выполнено.

Ответ: Один из возможных треугольников — это треугольник, у которого две вершины совпадают с нижними заданными точками (C и D), а третья вершина является точкой пересечения прямых, проведённых через диагонально расположенные пары точек (A, D) и (B, C). Стороны этого треугольника лежат на прямых (CD), (BC) и (AD).

353. Сколько треугольников изображено на рисунке 123?

Рис. 123

а

б

а

Для подсчета всех треугольников на рисунке «а» необходимо учесть треугольники разных размеров. Проведем подсчет систематически:

• Самых маленьких, элементарных треугольников на рисунке 5.
• Треугольников, состоящих из двух маленьких треугольников, — 2 (один слева и один справа).
• Треугольник, перевернутый вершиной вниз, — 1 (расположен в центре).
• Больших треугольников, каждый из которых состоит из трех маленьких, — 2 (один образует левую часть фигуры, другой — правую).

Сложив все найденные треугольники, получим общее количество: $5 + 2 + 1 + 2 = 10$.

Ответ: 10

б

На рисунке «б» изображена гексаграмма (звезда), полностью разделенная на мелкие треугольники. Посчитаем все треугольники, сгруппировав их по размеру:

• Самых маленьких треугольников, из которых состоит вся фигура, — 12 (6 направлены вершиной вверх и 6 — вершиной вниз).
• Больших треугольников, которые образуют саму звезду, — 2 (один направлен вершиной вверх, а другой — вниз).

Треугольников других размеров на этом рисунке нет. Таким образом, общее количество треугольников составляет: $12 + 2 = 14$.

Ответ: 14