Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.

Рис. 111

а

б

в

Чтобы нарисовать фигуры, равные изображенным, нужно построить их копии на бумаге в клетку. Для этого необходимо точно воспроизвести расположение вершин фигур относительно линий сетки. За единицу длины примем сторону одной клетки.

а

Это треугольник. Для его построения: 1. Поставьте точку в узле сетки (это будет левая нижняя вершина). 2. От нее отсчитайте 4 клетки вправо и поставьте вторую точку (правую нижнюю вершину). Соедините эти точки отрезком. 3. От первой (левой) точки отсчитайте 3 клетки вправо и 3 клетки вверх и поставьте третью (верхнюю) вершину. 4. Соедините верхнюю вершину с двумя нижними.
Ответ: Построенный треугольник будет равен изображенному на рисунке.

б

Это параллелограмм. Для его построения: 1. Поставьте левую нижнюю вершину в узле сетки. 2. Отсчитайте от нее 3 клетки вправо и поставьте правую нижнюю вершину. 3. Вернитесь к левой нижней вершине, отсчитайте от нее 1 клетку вправо и 2 клетки вверх и поставьте левую верхнюю вершину. 4. От правой нижней вершины также отсчитайте 1 клетку вправо и 2 клетки вверх, чтобы получить правую верхнюю вершину. 5. Последовательно соедините все четыре вершины.
Ответ: Построенный параллелограмм будет равен изображенному на рисунке.

в

Это трапеция. Для ее построения: 1. Поставьте левую нижнюю вершину в узле сетки. 2. Отсчитайте от нее 6 клеток вправо, чтобы получить правую нижнюю вершину. Соедините их — это будет большее основание. 3. От левой нижней вершины отсчитайте 2 клетки вправо и 3 клетки вверх и поставьте левую верхнюю вершину. 4. От правой нижней вершины отсчитайте 2 клетки влево и 3 клетки вверх, чтобы получить правую верхнюю вершину. 5. Соедините все вершины по порядку.
Ответ: Построенная трапеция будет равна изображенной на рисунке.

327. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.

Для решения задачи сначала найдем длины всех сторон четырехугольника, а затем вычислим его периметр.

1. Нахождение длины второй стороны
По условию, первая сторона равна 8 см, а вторая сторона в 3 раза больше первой.$8 \text{ см} \times 3 = 24 \text{ см}$Длина второй стороны — 24 см.

2. Нахождение длины третьей стороны
Третья сторона на 7 см меньше второй.$24 \text{ см} - 7 \text{ см} = 17 \text{ см}$Длина третьей стороны — 17 см.

3. Нахождение длины четвертой стороны
Также известно, что третья сторона на 9 см больше четвертой. Это означает, что четвертая сторона на 9 см меньше третьей.$17 \text{ см} - 9 \text{ см} = 8 \text{ см}$Длина четвертой стороны — 8 см.

4. Вычисление периметра четырехугольника
Периметр — это сумма длин всех сторон.$P = 8 \text{ см} + 24 \text{ см} + 17 \text{ см} + 8 \text{ см} = 57 \text{ см}$

Ответ: 57 см.

328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. У пятиугольника 5 сторон. Обозначим длину первой стороны как $a_1$, второй — $a_2$, и так далее до $a_5$. Периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

Согласно условию, длина первой стороны $a_1$ равна 4 см. Каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислим длину каждой из пяти сторон:

• Длина первой стороны: $a_1 = 4$ см.
• Длина второй стороны: $a_2 = 4 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6$ см.
• Длина третьей стороны: $a_3 = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8$ см.
• Длина четвертой стороны: $a_4 = 8 \text{ см} + 2 \text{ см} = 10$ см.
• Длина пятой стороны: $a_5 = 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 12$ см.

Теперь, чтобы найти периметр пятиугольника, сложим длины всех его сторон:

$P = 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

329. 1) Сколько диагоналей* можно провести из одной вершины:

а) пятиугольника;

б) девятиугольника;

в) $n$-угольника, где $n > 3$?

2) Сколько всего диагоналей можно провести:

а) в пятиугольнике;

б) в девятиугольнике;

в) в $n$-угольнике, где $n > 3$?

1) а) Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Из одной вершины $n$-угольника нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам. Следовательно, из одной вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме этих трёх. Количество таких диагоналей равно $n-3$. Для пятиугольника $n=5$.
$5 - 3 = 2$.
Ответ: 2.

1) б) Для девятиугольника $n=9$. Применяем ту же логику и формулу $n-3$.
$9 - 3 = 6$.
Ответ: 6.

1) в) Для произвольного $n$-угольника, где $n > 3$, количество диагоналей, которые можно провести из одной его вершины, вычисляется по формуле $n - 3$, где $n$ — количество вершин (и сторон) многоугольника.
Ответ: $n-3$.

2) а) Чтобы найти общее количество диагоналей в многоугольнике, нужно умножить количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из одной вершины ($n-3$), и разделить полученный результат на 2 (так как каждая диагональ соединяет две вершины и при таком подсчете будет учтена дважды). Формула общего числа диагоналей: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Для пятиугольника $n=5$.
$D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$.
Ответ: 5.

2) б) Для девятиугольника $n=9$. Используем ту же формулу $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
$D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
Ответ: 27.

2) в) Для произвольного $n$-угольника, где $n > 3$, общее количество диагоналей вычисляется по формуле, полученной из комбинаторных соображений: выбираем 2 вершины из $n$ ($C_n^2$), что дает $\frac{n(n-1)}{2}$ отрезков, и вычитаем из них $n$ сторон. Или используем выведенную ранее формулу.
$D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого $13^{\circ}$, построить угол, градусная мера которого равна $2^{\circ}$?

Для построения угла в 2°, имея шаблон только для угла в 13°, можно использовать комбинацию сложения углов и вычитания их из развернутого угла (180°). Задача сводится к поиску целочисленных коэффициентов в уравнении, связывающем эти величины. Мы ищем способ выразить 2° через 13° и 180°.

Рассмотрим следующее равенство:

$14 \cdot 13^\circ - 1 \cdot 180^\circ = 182^\circ - 180^\circ = 2^\circ$

Это равенство подсказывает алгоритм построения:

1. Начертим прямую и отметим на ней точку O. Эта прямая образует развернутый угол, равный 180°.
2. От одного из лучей этой прямой (например, луча OA) начнем последовательно откладывать углы по 13°, используя шаблон. Вершина всех углов должна совпадать с точкой O.
3. Отложим таким образом 14 углов. Каждый следующий угол должен примыкать к предыдущему.
4. Суммарный угол, который мы получим, будет равен $14 \times 13^\circ = 182^\circ$. Обозначим конечный луч этого составного угла как OC.
5. Теперь у нас есть угол AOC, равный 182°, и развернутый угол AOB, равный 180°, где луч OB является продолжением луча OA.
6. Искомый угол в 2° будет представлять собой разность между построенным углом 182° и развернутым углом 180°. Это угол, образованный лучами OB и OC.
7. Таким образом, угол BOC равен: $\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 182^\circ - 180^\circ = 2^\circ$.

В результате мы построили угол в 2°.

Ответ: Необходимо построить развернутый угол (180°), а затем от одного из его лучей отложить 14 раз угол в 13°, что в сумме составит 182°. Угол между конечной стороной построенного угла в 182° и вторым лучом развернутого угла будет равен 2°.

331. Как построить угол, градусная мера которого $1^{\circ}$, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

а) $19^{\circ}$;

б) $7^{\circ}$?

Чтобы построить угол в 1°, имея шаблон угла в $\alpha$ градусов, необходимо найти способ выразить 1° через комбинацию углов $\alpha$ и полного угла в 360°. Это сводится к решению в целых числах $x$ и $y$ линейного диофантова уравнения вида $x \cdot \alpha + y \cdot 360 = 1$. Такое уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) чисел $\alpha$ и 360 равен 1, то есть $НОД(\alpha, 360) = 1$. Если решение $(x, y)$ найдено, то построение заключается в последовательном откладывании угла $\alpha$ $x$ раз. Угол, равный $x \cdot \alpha$, будет отличаться от некоторого числа полных оборотов ($y \cdot 360°$) на 1°.

Сначала проверим, возможно ли построение. Для этого найдем наибольший общий делитель чисел 19 и 360. Число 19 является простым. 360 не делится на 19 ($360 = 19 \cdot 18 + 18$). Следовательно, $НОД(19, 360) = 1$. Это означает, что построение возможно.

Теперь нам нужно найти такие целые числа $x$ и $y$, что $19x - 360y = 1$. Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

$360 = 18 \cdot 19 + 18$

$19 = 1 \cdot 18 + 1$

Из второго уравнения выразим 1:

$1 = 19 - 1 \cdot 18$

Из первого уравнения выразим 18 и подставим в предыдущее равенство:

$18 = 360 - 18 \cdot 19$

$1 = 19 - 1 \cdot (360 - 18 \cdot 19) = 19 - 360 + 18 \cdot 19 = 19 \cdot 19 - 1 \cdot 360$

Мы получили равенство $19 \cdot 19° - 1 \cdot 360° = 1°$. Это означает, что если мы отложим 19 раз угол в 19°, мы получим угол $19 \cdot 19° = 361°$. Этот угол равен одному полному обороту (360°) и еще 1°.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выбираем произвольную точку O и проводим из нее луч OA.
2. С помощью шаблона угла в 19° откладываем от луча OA угол $\angle AOB_1 = 19°$.
3. От луча $OB_1$ откладываем следующий угол $\angle B_1OB_2 = 19°$. Получаем угол $\angle AOB_2 = 38°$.
4. Повторяем эту операцию 19 раз, каждый раз откладывая угол в 19° от луча, полученного на предыдущем шаге.
5. В результате мы получим луч $OB_{19}$, такой что угол $\angle AOB_{19}$ будет равен $19 \cdot 19° = 361°$.
6. Угол между начальным лучом OA и конечным лучом $OB_{19}$ и будет искомым углом в 1°, так как $361° = 360° + 1°$.

Ответ: Нужно последовательно отложить 19 углов по 19° в одном направлении. Угол между начальной и конечной сторонами построенной последовательности углов будет равен 1°.

Проверим возможность построения. Найдем $НОД(7, 360)$. Число 7 является простым. 360 не делится на 7 ($360 = 7 \cdot 51 + 3$). Следовательно, $НОД(7, 360) = 1$. Построение возможно.

Найдем целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $7x - 360y = 1$, используя расширенный алгоритм Евклида:

$360 = 51 \cdot 7 + 3$

$7 = 2 \cdot 3 + 1$

Из второго уравнения выразим 1:

$1 = 7 - 2 \cdot 3$

Из первого уравнения выразим 3 и подставим в предыдущее равенство:

$3 = 360 - 51 \cdot 7$

$1 = 7 - 2 \cdot (360 - 51 \cdot 7) = 7 - 2 \cdot 360 + 102 \cdot 7 = 103 \cdot 7 - 2 \cdot 360$

Мы получили равенство $103 \cdot 7° - 2 \cdot 360° = 1°$. Это означает, что если мы отложим 103 раза угол в 7°, мы получим угол $103 \cdot 7° = 721°$. Этот угол равен двум полным оборотам ($2 \cdot 360° = 720°$) и еще 1°.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выбираем произвольную точку O и проводим из нее луч OA.
2. С помощью шаблона угла в 7° последовательно откладываем от луча OA в одном и том же направлении 103 угла по 7°.
3. Суммарный угол, образованный начальным лучом OA и конечным лучом после 103-го откладывания, будет равен $103 \cdot 7° = 721°$.
4. Этот угол составляет два полных оборота и 1°, то есть $721° = 2 \cdot 360° + 1°$.
5. Таким образом, угол между начальным лучом OA и конечным лучом будет равен 1°.

Ответ: Нужно последовательно отложить 103 угла по 7° в одном направлении. Угол между начальной и конечной сторонами построенной последовательности углов будет равен 1°.

332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?

Да, такой многоугольник существует. Чтобы доказать это, мы можем привести пример конструкции такого многоугольника.

Представим себе фигуру, похожую на гребёнку, которая целиком помещается в квадрат со стороной 1 см. Основание этой «гребёнки» представляет собой прямоугольник, а её «зубцы» создают очень длинную извилистую границу, что позволяет достичь большого значения периметра при ограниченных габаритах.

Рассмотрим построение такого многоугольника. Он будет вписан в квадрат с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Периметр многоугольника будет состоять из четырёх частей: нижней, правой, левой и верхней (извилистой) сторон.

1. Нижняя сторона — это отрезок от (0,0) до (1,0). Её длина равна 1 см.
2. Правая сторона — это отрезок от (1,0) до (1,1). Её длина равна 1 см.
3. Левая сторона — это отрезок от (0,1) до (0,0). Её длина равна 1 см.

Сумма длин этих трёх сторон составляет 3 см. Основной вклад в периметр будет вносить верхняя извилистая сторона, соединяющая точки (1,1) и (0,1).

Создадим эту сторону в виде последовательности очень узких прямоугольных «зубцов». Пусть у нашей гребёнки будет $N$ зубцов. Для простоты примем, что ширина каждого зубца и ширина каждого промежутка между зубцами одинаковы и равны $w$. Тогда общая ширина, занимаемая $N$ зубцами и $N-1$ промежутками, составит $N \cdot w + (N-1) \cdot w = (2N-1)w$.

Чтобы вся фигура поместилась в квадрат со стороной 1 см, её ширина не должна превышать 1 см. Установим общую ширину равной 1 см:$(2N-1)w = 1$ см. Отсюда ширина одного элемента (зубца или промежутка) равна $w = \frac{1}{2N-1}$ см.

Пусть высота зубцов (или глубина вырезов между ними) равна $h$. Чтобы многоугольник поместился в квадрат, высота $h$ должна быть меньше 1 см (например, $h < 1$ см).

Теперь вычислим длину верхней извилистой границы. Она состоит из:

• $N$ горизонтальных отрезков на вершинах зубцов, каждый длиной $w$. Их общая длина $N \cdot w$.
• $N-1$ горизонтальных отрезков в основании вырезов между зубцами, каждый длиной $w$. Их общая длина $(N-1)w$.
• $2(N-1)$ вертикальных отрезков (стенки вырезов), каждый высотой $h$. Их общая длина $2(N-1)h$.

Длина всей верхней границы $L_{top}$ равна сумме длин этих отрезков:$L_{top} = N \cdot w + (N-1)w + 2(N-1)h = (2N-1)w + 2(N-1)h$.Поскольку мы положили $(2N-1)w = 1$, то $L_{top} = 1 + 2(N-1)h$.

Общий периметр многоугольника $P$ равен сумме длин всех четырёх сторон:$P = 1 (\text{низ}) + 1 (\text{право}) + 1 (\text{лево}) + L_{top} = 3 + (1 + 2(N-1)h) = 4 + 2(N-1)h$.

Нам нужно, чтобы периметр был равен 1 000 000 см:$4 + 2(N-1)h = 1 000 000$.$2(N-1)h = 999 996$.$(N-1)h = 499 998$.

Мы можем выбрать подходящие значения для $N$ и $h$, чтобы удовлетворить этому уравнению и ограничениям ($h<1$ см, $N$ — целое положительное число). Например, выберем высоту зубцов $h = 0.9$ см. Тогда:$N-1 = \frac{499 998}{0.9} = 555 554$.Отсюда количество зубцов $N = 555 555$.

Это целое число, а высота $h=0.9$ см меньше 1 см. Ширина каждого зубца и промежутка $w$ будет очень маленькой, но положительной величиной:$w = \frac{1}{2N-1} = \frac{1}{2 \cdot 555 555 - 1} = \frac{1}{1 111 109}$ см.

Таким образом, мы сконструировали многоугольник, который помещается в квадрат 1x1 см и имеет периметр ровно 1 000 000 см. Следовательно, такой многоугольник существует.

Ответ: Да, существует.

333. Сравните:

1) $3986 \text{ г}$ и $4 \text{ кг}$;

2) $6 \text{ м}$ и $712 \text{ см}$;

3) $60 \text{ см}$ и $602 \text{ мм}$;

4) $999 \text{ кг}$ и $10 \text{ ц}$.

1) 3 986 г и 4 кг

Чтобы сравнить эти два значения, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем килограммы в граммы. Мы знаем, что в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$4 \text{ кг} = 4 \times 1000 \text{ г} = 4000 \text{ г}$.
Теперь сравним 3 986 г и 4000 г.
Поскольку $3986 < 4000$, то $3986 \text{ г} < 4000 \text{ г}$.
Следовательно, $3986 \text{ г} < 4 \text{ кг}$.
Ответ: $3986 \text{ г} < 4 \text{ кг}$.

2) 6 м и 712 см

Для сравнения приведем метры к сантиметрам. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
$6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.
Теперь сравним 600 см и 712 см.
Поскольку $600 < 712$, то $600 \text{ см} < 712 \text{ см}$.
Следовательно, $6 \text{ м} < 712 \text{ см}$.
Ответ: $6 \text{ м} < 712 \text{ см}$.

3) 60 см и 602 мм

Для сравнения приведем сантиметры к миллиметрам. В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
$60 \text{ см} = 60 \times 10 \text{ мм} = 600 \text{ мм}$.
Теперь сравним 600 мм и 602 мм.
Поскольку $600 < 602$, то $600 \text{ мм} < 602 \text{ мм}$.
Следовательно, $60 \text{ см} < 602 \text{ мм}$.
Ответ: $60 \text{ см} < 602 \text{ мм}$.

4) 999 кг и 10 ц

Для сравнения приведем центнеры к килограммам. В одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
$10 \text{ ц} = 10 \times 100 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$.
Теперь сравним 999 кг и 1000 кг.
Поскольку $999 < 1000$, то $999 \text{ кг} < 1000 \text{ кг}$.
Следовательно, $999 \text{ кг} < 10 \text{ ц}$.
Ответ: $999 \text{ кг} < 10 \text{ ц}$.