Номер 331, страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

331. Как построить угол, градусная мера которого $1^{\circ}$, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

а) $19^{\circ}$;

б) $7^{\circ}$?

Чтобы построить угол в 1°, имея шаблон угла в $\alpha$ градусов, необходимо найти способ выразить 1° через комбинацию углов $\alpha$ и полного угла в 360°. Это сводится к решению в целых числах $x$ и $y$ линейного диофантова уравнения вида $x \cdot \alpha + y \cdot 360 = 1$. Такое уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) чисел $\alpha$ и 360 равен 1, то есть $НОД(\alpha, 360) = 1$. Если решение $(x, y)$ найдено, то построение заключается в последовательном откладывании угла $\alpha$ $x$ раз. Угол, равный $x \cdot \alpha$, будет отличаться от некоторого числа полных оборотов ($y \cdot 360°$) на 1°.

Сначала проверим, возможно ли построение. Для этого найдем наибольший общий делитель чисел 19 и 360. Число 19 является простым. 360 не делится на 19 ($360 = 19 \cdot 18 + 18$). Следовательно, $НОД(19, 360) = 1$. Это означает, что построение возможно.

Теперь нам нужно найти такие целые числа $x$ и $y$, что $19x - 360y = 1$. Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида:

$360 = 18 \cdot 19 + 18$

$19 = 1 \cdot 18 + 1$

Из второго уравнения выразим 1:

$1 = 19 - 1 \cdot 18$

Из первого уравнения выразим 18 и подставим в предыдущее равенство:

$18 = 360 - 18 \cdot 19$

$1 = 19 - 1 \cdot (360 - 18 \cdot 19) = 19 - 360 + 18 \cdot 19 = 19 \cdot 19 - 1 \cdot 360$

Мы получили равенство $19 \cdot 19° - 1 \cdot 360° = 1°$. Это означает, что если мы отложим 19 раз угол в 19°, мы получим угол $19 \cdot 19° = 361°$. Этот угол равен одному полному обороту (360°) и еще 1°.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выбираем произвольную точку O и проводим из нее луч OA.
2. С помощью шаблона угла в 19° откладываем от луча OA угол $\angle AOB_1 = 19°$.
3. От луча $OB_1$ откладываем следующий угол $\angle B_1OB_2 = 19°$. Получаем угол $\angle AOB_2 = 38°$.
4. Повторяем эту операцию 19 раз, каждый раз откладывая угол в 19° от луча, полученного на предыдущем шаге.
5. В результате мы получим луч $OB_{19}$, такой что угол $\angle AOB_{19}$ будет равен $19 \cdot 19° = 361°$.
6. Угол между начальным лучом OA и конечным лучом $OB_{19}$ и будет искомым углом в 1°, так как $361° = 360° + 1°$.

Ответ: Нужно последовательно отложить 19 углов по 19° в одном направлении. Угол между начальной и конечной сторонами построенной последовательности углов будет равен 1°.

Проверим возможность построения. Найдем $НОД(7, 360)$. Число 7 является простым. 360 не делится на 7 ($360 = 7 \cdot 51 + 3$). Следовательно, $НОД(7, 360) = 1$. Построение возможно.

Найдем целые числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $7x - 360y = 1$, используя расширенный алгоритм Евклида:

$360 = 51 \cdot 7 + 3$

$7 = 2 \cdot 3 + 1$

Из второго уравнения выразим 1:

$1 = 7 - 2 \cdot 3$

Из первого уравнения выразим 3 и подставим в предыдущее равенство:

$3 = 360 - 51 \cdot 7$

$1 = 7 - 2 \cdot (360 - 51 \cdot 7) = 7 - 2 \cdot 360 + 102 \cdot 7 = 103 \cdot 7 - 2 \cdot 360$

Мы получили равенство $103 \cdot 7° - 2 \cdot 360° = 1°$. Это означает, что если мы отложим 103 раза угол в 7°, мы получим угол $103 \cdot 7° = 721°$. Этот угол равен двум полным оборотам ($2 \cdot 360° = 720°$) и еще 1°.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выбираем произвольную точку O и проводим из нее луч OA.
2. С помощью шаблона угла в 7° последовательно откладываем от луча OA в одном и том же направлении 103 угла по 7°.
3. Суммарный угол, образованный начальным лучом OA и конечным лучом после 103-го откладывания, будет равен $103 \cdot 7° = 721°$.
4. Этот угол составляет два полных оборота и 1°, то есть $721° = 2 \cdot 360° + 1°$.
5. Таким образом, угол между начальным лучом OA и конечным лучом будет равен 1°.

Ответ: Нужно последовательно отложить 103 угла по 7° в одном направлении. Угол между начальной и конечной сторонами построенной последовательности углов будет равен 1°.