Номер 332, страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?

Да, такой многоугольник существует. Чтобы доказать это, мы можем привести пример конструкции такого многоугольника.

Представим себе фигуру, похожую на гребёнку, которая целиком помещается в квадрат со стороной 1 см. Основание этой «гребёнки» представляет собой прямоугольник, а её «зубцы» создают очень длинную извилистую границу, что позволяет достичь большого значения периметра при ограниченных габаритах.

Рассмотрим построение такого многоугольника. Он будет вписан в квадрат с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Периметр многоугольника будет состоять из четырёх частей: нижней, правой, левой и верхней (извилистой) сторон.

1. Нижняя сторона — это отрезок от (0,0) до (1,0). Её длина равна 1 см.
2. Правая сторона — это отрезок от (1,0) до (1,1). Её длина равна 1 см.
3. Левая сторона — это отрезок от (0,1) до (0,0). Её длина равна 1 см.

Сумма длин этих трёх сторон составляет 3 см. Основной вклад в периметр будет вносить верхняя извилистая сторона, соединяющая точки (1,1) и (0,1).

Создадим эту сторону в виде последовательности очень узких прямоугольных «зубцов». Пусть у нашей гребёнки будет $N$ зубцов. Для простоты примем, что ширина каждого зубца и ширина каждого промежутка между зубцами одинаковы и равны $w$. Тогда общая ширина, занимаемая $N$ зубцами и $N-1$ промежутками, составит $N \cdot w + (N-1) \cdot w = (2N-1)w$.

Чтобы вся фигура поместилась в квадрат со стороной 1 см, её ширина не должна превышать 1 см. Установим общую ширину равной 1 см:$(2N-1)w = 1$ см. Отсюда ширина одного элемента (зубца или промежутка) равна $w = \frac{1}{2N-1}$ см.

Пусть высота зубцов (или глубина вырезов между ними) равна $h$. Чтобы многоугольник поместился в квадрат, высота $h$ должна быть меньше 1 см (например, $h < 1$ см).

Теперь вычислим длину верхней извилистой границы. Она состоит из:

• $N$ горизонтальных отрезков на вершинах зубцов, каждый длиной $w$. Их общая длина $N \cdot w$.
• $N-1$ горизонтальных отрезков в основании вырезов между зубцами, каждый длиной $w$. Их общая длина $(N-1)w$.
• $2(N-1)$ вертикальных отрезков (стенки вырезов), каждый высотой $h$. Их общая длина $2(N-1)h$.

Длина всей верхней границы $L_{top}$ равна сумме длин этих отрезков:$L_{top} = N \cdot w + (N-1)w + 2(N-1)h = (2N-1)w + 2(N-1)h$.Поскольку мы положили $(2N-1)w = 1$, то $L_{top} = 1 + 2(N-1)h$.

Общий периметр многоугольника $P$ равен сумме длин всех четырёх сторон:$P = 1 (\text{низ}) + 1 (\text{право}) + 1 (\text{лево}) + L_{top} = 3 + (1 + 2(N-1)h) = 4 + 2(N-1)h$.

Нам нужно, чтобы периметр был равен 1 000 000 см:$4 + 2(N-1)h = 1 000 000$.$2(N-1)h = 999 996$.$(N-1)h = 499 998$.

Мы можем выбрать подходящие значения для $N$ и $h$, чтобы удовлетворить этому уравнению и ограничениям ($h<1$ см, $N$ — целое положительное число). Например, выберем высоту зубцов $h = 0.9$ см. Тогда:$N-1 = \frac{499 998}{0.9} = 555 554$.Отсюда количество зубцов $N = 555 555$.

Это целое число, а высота $h=0.9$ см меньше 1 см. Ширина каждого зубца и промежутка $w$ будет очень маленькой, но положительной величиной:$w = \frac{1}{2N-1} = \frac{1}{2 \cdot 555 555 - 1} = \frac{1}{1 111 109}$ см.

Таким образом, мы сконструировали многоугольник, который помещается в квадрат 1x1 см и имеет периметр ровно 1 000 000 см. Следовательно, такой многоугольник существует.

Ответ: Да, существует.