Страница 81 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Расскажите, как пользоваться транспортиром.

Транспортир — это инструмент для измерения и построения углов. Он представляет собой полукруг со шкалой в градусах (обычно от $0°$ до $180°$), с отмеченным центром и прямым основанием. Использовать его можно для двух основных задач: измерения существующего угла и построения угла заданной величины.

Как измерить угол с помощью транспортира

Чтобы измерить величину уже начерченного угла, выполните следующие шаги:

1. Совместите центр транспортира (специальную отметку на его прямом основании) с вершиной угла — точкой, где сходятся его стороны.
2. Расположите транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила точно по его прямому основанию, указывая на отметку $0°$ на шкале.
3. Найдите на шкале деление, через которое проходит вторая сторона угла. Число, соответствующее этому делению, является величиной угла в градусах.
4. Обратите внимание, что на большинстве транспортиров две шкалы: внутренняя и внешняя. Если первая сторона угла указывает на $0°$ по внутренней шкале, то и результат нужно считывать по ней. Если по внешней — то по внешней. Для самопроверки помните, что острые углы меньше $90°$, а тупые — больше $90°$.

Ответ: Для измерения угла необходимо совместить центр транспортира с вершиной угла, одну из его сторон — с нулевой отметкой, после чего определить значение на шкале, на которое указывает вторая сторона угла.

Как построить угол заданной величины с помощью транспортира

Чтобы начертить угол с известной градусной мерой, например $60°$, сделайте следующее:

1. Начертите на бумаге луч (прямую линию с начальной точкой). Эта точка будет вершиной будущего угла, а сам луч — его первой стороной.
2. Приложите транспортир к лучу так, чтобы его центр совпал с вершиной (началом луча), а прямое основание легло точно на луч, который должен указывать на $0°$.
3. Найдите на той же шкале нужное значение (в нашем примере — $60°$) и поставьте карандашом точку напротив этого деления.
4. Уберите транспортир и соедините прямой линией вершину угла с поставленной точкой. В результате вы получите угол заданной величины.

Ответ: Для построения угла нужно начертить луч, приложить к его началу (вершине) центр транспортира, найти на шкале нужное значение в градусах, поставить точку и соединить ее с вершиной.

7. Какие градусные меры имеют равные углы?

В геометрии два угла считаются равными, если их можно совместить друг с другом путем наложения так, чтобы их вершины и стороны полностью совпали.

Градусная мера – это числовая величина, которая характеризует размер угла. Основное свойство равных углов заключается в том, что равные углы имеют равные градусные меры. Это утверждение работает и в обратную сторону: если два угла имеют одинаковую градусную меру, то они равны.

Это можно выразить формально. Если есть два угла, $ \angle A $ и $ \angle B $, и известно, что $ \angle A = \angle B $, то их градусные меры также равны. Например, если градусная мера $ \angle A $ составляет $ 30^\circ $, то и градусная мера $ \angle B $ будет равна $ 30^\circ $.

Таким образом, на вопрос "Какие градусные меры имеют равные углы?" можно дать однозначный ответ.

Ответ: Равные углы имеют равные (одинаковые) градусные меры.

8. Какой из двух неравных углов считают большим?

Для того чтобы определить, какой из двух неравных углов больше, используется метод наложения. Углы накладывают друг на друга таким образом, чтобы их вершины совпали, а одна из сторон одного угла совпала с одной из сторон другого угла.

Большим считается тот угол, вторая сторона которого окажется снаружи другого угла. Иначе говоря, если один угол полностью помещается внутри другого, то тот угол, который содержит в себе другой, является большим.

Если рассматривать углы с точки зрения их числовой величины, то большим будет тот угол, у которого градусная (или радианная) мера больше. Например, если есть два угла, $ \angle A $ и $ \angle B $, и их градусные меры равны $ 50^\circ $ и $ 70^\circ $ соответственно, то $ \angle B $ будет больше, чем $ \angle A $, так как $ 70^\circ > 50^\circ $.

Ответ: Большим из двух неравных углов считают тот, который содержит другой угол внутри себя (при совмещении вершин и одной из сторон), либо тот, градусная мера которого больше.

9. Каким свойством обладает величина угла?

Величина угла, как и любая другая геометрическая величина, обладает рядом фундаментальных свойств. Главным из них является свойство аддитивности.

Основные свойства величины угла:

• Аддитивность (свойство измерения углов)

  Это ключевое свойство. Оно гласит, что если некоторый луч делит угол на два меньших угла, то величина исходного (большего) угла равна сумме величин двух меньших углов, на которые он был разделен.
  Формулировка: если луч $OB$ проходит между сторонами угла $\angle AOC$, то величина угла $\angle AOC$ равна сумме величин углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.
  Математически это выражается формулой:
  $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

• Неотрицательность

  Величина любого угла — это неотрицательное число. Величина наименьшего, нулевого угла, равна нулю. Для любого угла $\alpha$ его величина (градусная или радианная мера) больше или равна нулю ($m(\alpha) \ge 0$).

• Свойство равенства (конгруэнтности)

  Равные углы имеют равные величины. И обратно: если величины двух углов равны, то и сами углы считаются равными (конгруэнтными).

• Существование эталона (единицы измерения)

  Существует угол, величина которого принимается за единицу. Обычно в геометрии за эталон принимают развернутый угол, величину которого полагают равной $180$ градусам ($180^\circ$). Все остальные углы измеряются в сравнении с этим эталоном.

Ответ: Основным свойством, которым обладает величина угла, является аддитивность. Это означает, что величина угла равна сумме величин углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

10. Какой угол называют острым?

Острым углом в геометрии называют угол, который меньше прямого угла и больше нулевого угла. Величина прямого угла составляет $90^\circ$, а нулевого — $0^\circ$. Таким образом, градусная мера любого острого угла находится в промежутке между этими двумя значениями.
Если обозначить величину угла как $\alpha$, то для острого угла будет справедливо следующее двойное неравенство:
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$
Например, углы величиной $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ или $89.9^\circ$ являются острыми. Углы в равностороннем треугольнике всегда острые, так как каждый из них равен $60^\circ$.
Ответ: Острым называют угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

11. Какой угол называют прямым?

Прямым углом в геометрии называют угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. Это один из фундаментальных концептов, на основе которого строятся многие геометрические фигуры и теоремы.

Существует несколько способов определить прямой угол:

• Через полный оборот: Прямой угол составляет ровно четверть полного круга или полного оборота. Так как полный оборот равен $360^\circ$, то прямой угол равен $\frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$.
• Через развёрнутый угол: Прямой угол равен половине развёрнутого угла. Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются двумя лучами, выходящими из одной точки в противоположных направлениях (образуют прямую линию). Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$, следовательно, прямой угол равен $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
• Через перпендикулярность: Два луча (или прямые, или отрезки), пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Таким образом, прямой угол — это угол между двумя перпендикулярными прямыми.

В диаграммах и чертежах прямой угол традиционно обозначается не дугой, как другие углы, а маленьким квадратом в его вершине.

В радианной системе измерения углов прямой угол равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: Прямым углом называют угол, который равен $90^\circ$ (девяноста градусам).

12. Какой угол называют тупым?

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого угла.

В градусной мере это означает, что величина тупого угла находится в диапазоне от 90 до 180 градусов, не включая сами эти значения.

Если обозначить величину угла как $\alpha$, то для тупого угла будет выполняться следующее двойное неравенство:

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$

Примеры тупых углов: $91^\circ$, $120^\circ$, $150^\circ$, $179.5^\circ$.

Ответ: Тупым называют угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

13. На какие углы делит развёрнутый угол его биссектриса?

По определению, развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию. Его градусная мера составляет $180^\circ$.

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла.

Чтобы найти, на какие углы биссектриса делит развёрнутый угол, нужно его градусную меру разделить на 2.

Выполним вычисление:
$ \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Таким образом, биссектриса делит развёрнутый угол на два равных угла, каждый из которых равен $90^\circ$. Такие углы называются прямыми.

Ответ: биссектриса делит развёрнутый угол на два прямых угла по $90^\circ$ каждый.

14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол?

Говорят, что от данного луча отложен данный угол, если был построен новый угол, который удовлетворяет трем ключевым условиям. Рассмотрим это на примере.

Пусть нам дан луч $OA$ (где $O$ — его начало) и некий эталонный угол с градусной мерой $\alpha$. Мы говорим, что угол $\angle AOB$ отложен от луча $OA$, если:

1. Вершина построенного угла $\angle AOB$ совпадает с началом данного луча $OA$, то есть находится в точке $O$.
2. Одна из сторон построенного угла совпадает с данным лучом $OA$. Другая сторона — это новый луч $OB$.
3. Величина построенного угла $\angle AOB$ равна величине данного эталонного угла, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Таким образом, операция "отложить угол" — это построение угла, равного заданному, так, чтобы одна из его сторон лежала на заданном луче. Согласно основной аксиоме геометрии (аксиоме откладывания углов), от любого луча в определенную полуплоскость можно отложить только один угол заданной величины (меньше 180°). Поэтому, когда говорят, что угол отложен, подразумевается, что такое построение было выполнено, и полученный в результате угол соответствует всем перечисленным выше параметрам.

Ответ: Говорят, что от данного луча отложен данный угол, в том случае, когда построен угол, у которого вершина совпадает с началом данного луча, одна из сторон совпадает с этим лучом, а его величина равна величине данного угла.

1. Назовите два числа, одно из которых:

1) на 27 больше другого;

2) на 15 меньше другого;

3) в 7 раз меньше другого;

4) в 3 раза больше другого.

1) на 27 больше другого;
Для решения этой задачи нужно найти два числа, разность которых равна 27. Обозначим меньшее число как $x$. Тогда большее число будет равно $x + 27$. Мы можем выбрать любое значение для $x$.
Например, пусть $x = 10$.
Тогда второе число будет $10 + 27 = 37$.
Таким образом, мы получили пару чисел: 10 и 37. Проверим: $37 - 10 = 27$. Условие выполняется.
Ответ: 10 и 37.

2) на 15 меньше другого;
Здесь нужно найти два числа, одно из которых меньше другого на 15. Это эквивалентно тому, что их разность равна 15. Обозначим меньшее число как $y$. Тогда большее число будет $y + 15$.
Например, пусть $y = 20$.
Тогда второе число будет $20 + 15 = 35$.
Пара чисел: 20 и 35. Проверим: $35 - 20 = 15$, значит, 20 на 15 меньше, чем 35. Условие выполняется.
Ответ: 20 и 35.

3) в 7 раз меньше другого;
В этом случае одно число должно быть результатом деления другого числа на 7. Обозначим меньшее число как $a$. Тогда большее число будет $7 \times a$.
Например, пусть $a = 5$.
Тогда второе число будет $7 \times 5 = 35$.
Пара чисел: 5 и 35. Проверим: $35 \div 5 = 7$, значит, 5 в 7 раз меньше, чем 35. Условие выполняется.
Ответ: 5 и 35.

4) в 3 раза больше другого.
Здесь одно число должно быть результатом умножения другого на 3. Обозначим меньшее число как $b$. Тогда большее число будет $3 \times b$.
Например, пусть $b = 8$.
Тогда второе число будет $3 \times 8 = 24$.
Пара чисел: 24 и 8. Проверим: $24 \div 8 = 3$, значит, 24 в 3 раза больше, чем 8. Условие выполняется.
Ответ: 24 и 8.

2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?

По условию, часы спешат, то есть показывают время, которое на 10 минут больше, чем реальное время.

Время на часах: 10 ч 8 мин.

Чтобы найти точное время, необходимо из времени на часах вычесть 10 минут.

$10 \text{ ч } 8 \text{ мин} - 10 \text{ мин}$

Так как из 8 минут нельзя вычесть 10 минут, мы "займем" 1 час у 10 часов и переведем его в минуты: $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$.

Тогда наше выражение примет вид:

$9 \text{ ч } (60 + 8) \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 68 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 58 \text{ мин}$

Ответ: на самом деле 9 ч 58 мин.

3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?

По условию, часы отстают на 7 минут. Это значит, что для определения настоящего времени необходимо к времени, которое показывают часы, прибавить 7 минут.

Время на часах: 16 ч 55 мин.

Прибавляем время отставания: $16 \text{ ч } 55 \text{ мин } + 7 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + (55 + 7) \text{ мин } = 16 \text{ ч } 62 \text{ мин }$.

Так как в одном часе 60 минут, мы можем преобразовать 62 минуты в часы и минуты: $62 \text{ мин } = 60 \text{ мин } + 2 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 2 \text{ мин }$.

Теперь добавим полученный 1 час к имеющимся 16 часам: $16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } 2 \text{ мин } = 17 \text{ ч } 2 \text{ мин }$.

Таким образом, настоящее время — 17 часов 2 минуты.

Ответ: 17 ч 02 мин.

4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:

1) $2x = x;$

2) $0x = 0;$

3) $3 - x = 3;$

4) $0x = 6;$

5) $x \cdot x = x;$

6) $x + 6 = 7 + x;$

7) $8x = 0;$

8) $3 - x = 2;$

9) $1 \cdot x = 5?`$

Для того чтобы определить, какие из уравнений не имеют корней, решим или проанализируем каждое из них.

1) $2x = x$

Перенесем $x$ из правой части уравнения в левую, изменив знак:

$2x - x = 0$

$x = 0$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: имеет корень ($x=0$).

2) $0x = 0$

Это уравнение можно записать как $0 \cdot x = 0$. Произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Следовательно, равенство $0=0$ верно при любом значении $x$.

Данное уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: имеет корни (любое число).

3) $3 - x = 3$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-x = 3 - 3$

$-x = 0$

$x = 0$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: имеет корень ($x=0$).

4) $0x = 6$

Это уравнение можно записать как $0 \cdot x = 6$. Произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Таким образом, левая часть уравнения всегда будет равна 0. Получаем неверное равенство:

$0 = 6$

Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным.

Ответ: не имеет корней.

5) $x \cdot x = x$

Запишем уравнение в виде $x^2 = x$. Перенесем $x$ в левую часть:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x = 0$ или $x - 1 = 0$, т.е. $x = 1$.

Данное уравнение имеет два корня.

Ответ: имеет корни ($x=0$ и $x=1$).

6) $x + 6 = 7 + x$

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$x + 6 - x = 7 + x - x$

$6 = 7$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным.

Ответ: не имеет корней.

7) $8x = 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{0}{8}$

$x = 0$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: имеет корень ($x=0$).

8) $3 - x = 2$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-x = 2 - 3$

$-x = -1$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = 1$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: имеет корень ($x=1$).

9) $1 \cdot x = 5$

Упростим левую часть:

$x = 5$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: имеет корень ($x=5$).

Из всех рассмотренных уравнений не имеют корней те, которые приводят к неверному числовому равенству. Это уравнения под номерами 4 и 6.

5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из её сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?

Сколько деревьев было посажено?
Для начала переведем длину улицы из километров в метры, чтобы все единицы измерения были одинаковыми.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, следовательно, $3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$.
Теперь найдем, сколько промежутков по 20 метров умещается на всей длине улицы:
$N_{промежутков} = \frac{3000 \text{ м}}{20 \text{ м}} = 150$
Таким образом, вдоль улицы имеется 150 промежутков между деревьями. Поскольку деревья сажают в начале и в конце каждого промежутка, количество деревьев будет на единицу больше, чем количество промежутков (так как первое дерево стоит в начале первого промежутка).
$N_{деревьев} = N_{промежутков} + 1 = 150 + 1 = 151$
Ответ: было посажено 151 дерево.

Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?
Чтобы найти расстояние между первым и пятым деревьями, нужно определить количество промежутков между ними. Между деревом №1 и деревом №5 находятся следующие промежутки:
1) между 1-м и 2-м деревом;
2) между 2-м и 3-м деревом;
3) между 3-м и 4-м деревом;
4) между 4-м и 5-м деревом.
Всего получается 4 промежутка.
Длина каждого промежутка составляет 20 метров. Умножим количество промежутков на их длину, чтобы найти общее расстояние:
$4 \times 20 \text{ м} = 80 \text{ м}$
Ответ: расстояние между первым и пятым деревьями равно 80 м.

296. Начертите:

1) острый угол $EFC$;

2) прямой угол $ORT$;

3) тупой угол $D$;

4) развёрнутый угол $KAP$.

1) острый угол EFC

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Угол $EFC$ имеет вершину в точке $F$, а его стороны — лучи $FE$ и $FC$. Чтобы начертить острый угол, нужно из вершины $F$ провести два луча так, чтобы угол между ними был в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. На чертеже изображен острый угол, примерно равный $45^\circ$.

Ответ:

2) прямой угол ORT

Прямой угол — это угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$. Угол $ORT$ имеет вершину в точке $R$, а его стороны — лучи $RO$ и $RT$. Чтобы начертить прямой угол, нужно из вершины $R$ провести два перпендикулярных друг другу луча. Прямые углы часто обозначают маленьким квадратом в вершине, как показано на чертеже.

Ответ:

3) тупой угол D

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Угол $D$ имеет вершину в точке $D$. Так как указана только одна буква, она обозначает вершину. Стороны угла можно обозначить дополнительными буквами, например, $A$ и $B$, получив угол $\angle ADB$. Чтобы начертить тупой угол, нужно из вершины $D$ провести два луча так, чтобы угол между ними был больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. На чертеже изображен тупой угол, примерно равный $135^\circ$.

Ответ:

4) развёрнутый угол KAP

Развёрнутый угол — это угол, градусная мера которого в точности равна $180^\circ$. Угол $KAP$ имеет вершину в точке $A$. Его стороны, лучи $AK$ и $AP$, являются дополнительными лучами — они лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны от вершины. Таким образом, развёрнутый угол образует прямую линию, как показано на чертеже.

Ответ:

297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.

Рис. 93

C

A

K

M

P

O

Q

T

а

б

Для того чтобы найти острые, прямые и тупые углы на рисунке 93, необходимо визуально определить вид каждого угла в многоугольниках а (ACMK) и б (POQT), сравнивая их с прямым углом, который равен $90^\circ$.

• Острые углы

  Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (градусная мера меньше $90^\circ$). На рисунке 93 к острым углам относятся:

  • угол $ \angle K $ в четырехугольнике а;
  • угол $ \angle P $ в четырехугольнике б.

  Ответ: $ \angle K, \angle P $.

• Прямые углы

  Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. На рисунке 93 прямой угол только один:

  • угол $ \angle A $ в четырехугольнике а.

  Ответ: $ \angle A $.

• Тупые углы

  Тупой угол — это угол, который больше прямого, но меньше развернутого (градусная мера больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$). На рисунке 93 к тупым углам относятся:

  • углы $ \angle C $ и $ \angle M $ в четырехугольнике а;
  • углы $ \angle O $, $ \angle Q $ и $ \angle T $ в четырехугольнике б.

  Ответ: $ \angle C, \angle M, \angle O, \angle Q, \angle T $.

298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развёрнутые: $\angle A = 96^\circ$, $\angle B = 84^\circ$, $\angle S = 180^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle R = 162^\circ$, $\angle E = 60^\circ$, $\angle Q = 100^\circ$, $\angle M = 72^\circ$?

Для того чтобы определить вид каждого угла, необходимо сравнить его градусную меру с ключевыми значениями: $90^\circ$ (прямой угол) и $180^\circ$ (развёрнутый угол). Вспомним определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
• Развёрнутый угол — это угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.

Теперь классифицируем каждый из данных углов:

К острым углам относятся те, чья градусная мера меньше $90^\circ$. Из данного списка это углы $\angle B = 84^\circ$, $\angle E = 60^\circ$ и $\angle M = 72^\circ$, так как их величины ($84^\circ, 60^\circ, 72^\circ$) меньше $90^\circ$.
Ответ: $\angle B, \angle E, \angle M$.

К тупым углам относятся те, чья градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Из данного списка это углы $\angle A = 96^\circ$, $\angle R = 162^\circ$ и $\angle Q = 100^\circ$, так как их величины ($96^\circ, 162^\circ, 100^\circ$) находятся в промежутке от $90^\circ$ до $180^\circ$.
Ответ: $\angle A, \angle R, \angle Q$.

Прямым является угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$. В данном списке такой угол только один: $\angle D = 90^\circ$.
Ответ: $\angle D$.

Развёрнутым является угол, градусная мера которого в точности равна $180^\circ$. В данном списке такой угол только один: $\angle S = 180^\circ$.
Ответ: $\angle S$.