Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Каких чисел не хватает в цепочке вычислений?

$\boxed{\quad} \xrightarrow{+14} (62) \xrightarrow{-\text{??}} (39) \xrightarrow{-\text{??}} \circ \xrightarrow{+79} \boxed{100}$

Для того чтобы найти недостающие числа, необходимо выполнить вычисления по шагам, используя как прямые, так и обратные действия.

1. Нахождение первого числа (в квадрате)

Пусть неизвестное число в первом квадрате равно $x$. Из схемы следует уравнение: $x + 14 = 62$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы (62) вычесть известное слагаемое (14):

$x = 62 - 14 = 48$.

Таким образом, первое число — 48.

2. Нахождение числа, вычитаемого из 62

Пусть неизвестное число, которое вычитается, равно $y$. Из схемы имеем: $62 - y = 39$.

Чтобы найти вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого (62) вычесть разность (39):

$y = 62 - 39 = 23$.

Следовательно, из 62 вычитают 23.

3. Нахождение числа в последнем круге

Этот шаг удобнее сделать, идя с конца цепочки. Пусть число в последнем круге равно $z$. Из схемы получаем: $z + 79 = 100$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое $z$, нужно из суммы (100) вычесть известное слагаемое (79):

$z = 100 - 79 = 21$.

Значит, число в последнем круге — 21.

4. Нахождение числа, вычитаемого из 39

Теперь мы знаем, что после вычитания из 39 получается 21 (число, найденное в предыдущем шаге). Пусть вычитаемое число равно $a$. Тогда $39 - a = 21$.

Чтобы найти вычитаемое $a$, нужно из уменьшаемого (39) вычесть разность (21):

$a = 39 - 21 = 18$.

Следовательно, из 39 вычитают 18.

Проверим получившуюся цепочку вычислений:

$48 + 14 = 62$

$62 - 23 = 39$

$39 - 18 = 21$

$21 + 79 = 100$

Все вычисления верны.

Ответ: в цепочке не хватает чисел: 48 (в первом квадрате), 23 (вычитаемое из 62), 18 (вычитаемое из 39) и 21 (в последнем круге).

2. Решите уравнение:

1) $x + 13 = 28;$

2) $20 - x = 12;$

3) $x - 11 = 79;$

4) $10 + x = 28.$

1) В уравнении $x + 13 = 28$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 28 - 13$
$x = 15$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$15 + 13 = 28$
$28 = 28$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 15

2) В уравнении $20 - x = 12$ переменная $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 20 - 12$
$x = 8$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$20 - 8 = 12$
$12 = 12$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 8

3) В уравнении $x - 11 = 79$ переменная $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 79 + 11$
$x = 90$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$90 - 11 = 79$
$79 = 79$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 90

4) В уравнении $10 + x = 28$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 28 - 10$
$x = 18$
Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$10 + 18 = 28$
$28 = 28$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 18

3. Корнем каких из следующих уравнений является число 5:

1) $2x - 3 = 7$;

2) $x + 20 = 20 + x$;

3) $36 - 3x = 20$;

4) $x \cdot x \cdot x + 25 = 150$;

5) $0 \cdot x = 10$;

6) $x + 12 = 22 - x?$;

Чтобы определить, для каких уравнений число 5 является корнем, необходимо подставить значение $x=5$ в каждое из них и проверить, получится ли верное числовое равенство.

1) $2x - 3 = 7$

Подставим $x=5$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$

Получаем $7 = 7$.

Равенство верное.

Ответ: число 5 является корнем уравнения.

2) $x + 20 = 20 + x$

Подставим $x=5$:

$5 + 20 = 20 + 5$

Получаем $25 = 25$.

Равенство верное. Данное уравнение является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, включая 5.

Ответ: число 5 является корнем уравнения.

3) $36 - 3x = 20$

Подставим $x=5$ в левую часть уравнения:

$36 - 3 \cdot 5 = 36 - 15 = 21$

Получаем $21 = 20$.

Равенство неверное.

Ответ: число 5 не является корнем уравнения.

4) $x \cdot x \cdot x + 25 = 150$

Запишем уравнение в виде $x^3 + 25 = 150$. Подставим $x=5$ в левую часть:

$5^3 + 25 = 125 + 25 = 150$

Получаем $150 = 150$.

Равенство верное.

Ответ: число 5 является корнем уравнения.

5) $0 \cdot x = 10$

Подставим $x=5$ в левую часть уравнения:

$0 \cdot 5 = 0$

Получаем $0 = 10$.

Равенство неверное. Данное уравнение не имеет корней.

Ответ: число 5 не является корнем уравнения.

6) $x + 12 = 22 - x$

Подставим $x=5$ в обе части уравнения:

Левая часть: $5 + 12 = 17$.

Правая часть: $22 - 5 = 17$.

Получаем $17 = 17$.

Равенство верное.

Ответ: число 5 является корнем уравнения.

Итак, число 5 является корнем уравнений 1), 2), 4), 6).

4. У Пети и Миши было поровну конфет. Петя отдал Мише 8 конфет. На сколько конфет у Миши стало больше, чем у Пети?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический подход или простое логическое рассуждение.

Решение с помощью переменной:
Пусть изначально у Пети и Миши было по $x$ конфет, так как по условию их количество было равным.
После того как Петя отдал 8 конфет, у него стало $x - 8$ конфет.
Миша получил эти 8 конфет, и у него стало $x + 8$ конфет.
Чтобы найти, на сколько конфет у Миши стало больше, чем у Пети, нужно из нового количества конфет Миши вычесть новое количество конфет Пети:
$(x + 8) - (x - 8) = x + 8 - x + 8 = 16$

Логическое рассуждение:
Когда Петя отдает 8 конфет, у него становится на 8 конфет меньше, чем было вначале. У Миши, который эти конфеты получает, становится на 8 конфет больше, чем было вначале.
Поскольку они стартовали с равного количества, разница между ними будет равна сумме того, что один потерял, и того, что другой приобрел.
Следовательно, общая разница составляет $8 + 8 = 16$ конфет.

Ответ: у Миши стало на 16 конфет больше, чем у Пети.

281. Как можно обозначить угол, изображённый на рисунке 73?

Рис. 73

M

K

N

Рис. 74

A

O

K

B

а

K

O

A

B

б

A

O

K

B

в

На рисунке 73 изображен угол. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух лучей (сторон угла), исходящих из этой точки.

Вершиной данного угла является точка K. Сторонами угла являются лучи KM и KN.

Существует несколько общепринятых способов обозначения углов:

1. С помощью трёх заглавных букв. При таком обозначении буква, соответствующая вершине угла, всегда пишется в середине. Две другие буквы обозначают точки, лежащие на сторонах угла. Таким образом, угол на рисунке можно обозначить как $ \angle MKN $ или $ \angle NKM $.

2. С помощью одной заглавной буквы. Угол можно обозначить одной буквой, соответствующей его вершине. Этот способ используется только в том случае, если из данной вершины выходит только один угол, и такое обозначение не вызовет путаницы. На рисунке 73 из точки K выходит единственный угол, поэтому его можно обозначить как $ \angle K $.

Таким образом, для угла, изображенного на рисунке 73, существует три возможных обозначения.

Ответ: Угол можно обозначить как $ \angle MKN $, $ \angle NKM $ или $ \angle K $.

282. На каком из рисунков 74, а, б, в луч $OK$ является биссектрисой угла $AOB$?

Рис. 74

а

б

в

Чтобы определить, на каком из рисунков луч ОК является биссектрисой угла АОВ, необходимо обратиться к определению биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины этого угла, проходит между его сторонами и делит угол на две равные части.

Проанализируем каждый рисунок на соответствие этому определению.

а

На рисунке а луч ОК исходит из общей вершины О. Важно, что луч ОК проходит внутри угла АОВ, то есть между лучами ОА и ОВ. Если при этом выполняется условие равенства углов $ \angle AOK = \angle KOB $, то луч ОК является биссектрисой угла АОВ. Данное расположение луча ОК является единственно возможным для биссектрисы угла АОВ из всех представленных вариантов.

б

На рисунке б луч ОК также исходит из вершины О. Однако он не проходит между сторонами угла АОВ. Наоборот, луч ОА (одна из сторон угла) проходит между лучами ОК и ОВ. Таким образом, луч ОК находится вне угла АОВ и не может быть его биссектрисой.

в

На рисунке в, аналогично случаю б, луч ОК исходит из вершины О, но не проходит между сторонами угла АОВ. В данном случае луч ОВ (другая сторона угла) проходит между лучами ОА и ОК. Следовательно, луч ОК находится вне угла АОВ и не является его биссектрисой.

Таким образом, единственным рисунком, где луч ОК может быть биссектрисой угла АОВ, является рисунок, на котором этот луч расположен между сторонами угла. Это условие выполняется только на рисунке а.

Ответ: Луч ОК является биссектрисой угла АОВ на рисунке а.

283. Назовите все углы, изображённые на рисунке 75.

Рис. 75

Углы:

$∠BAM$

$∠BAE$

$∠EAM$

На рисунке 75 изображены три луча, которые выходят из одной точки (вершины) A: это лучи AB, AE и AM. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Чтобы назвать все углы на рисунке, необходимо найти все возможные пары таких лучей.

Можно выделить следующие углы:

1. Угол, образованный лучами AB и AE. Обозначение этого угла: $ \angle BAE $ (или $ \angle EAB $).

2. Угол, образованный лучами AE и AM. Обозначение этого угла: $ \angle EAM $ (или $ \angle MAE $).

3. Угол, образованный лучами AB и AM. Он является суммой двух предыдущих углов. Обозначение этого угла: $ \angle BAM $ (или $ \angle MAB $).

Таким образом, на рисунке изображены три различных угла с общей вершиной A.

Ответ: $ \angle BAE $, $ \angle EAM $, $ \angle BAM $.

284. Запишите все углы, изображённые на рисунке 76.

Рис. 76

Углы, изображённые на рисунке:

$\angle OTC$

$\angle CTF$

$\angle OTF$

На рисунке 76 изображены три луча, выходящие из одной вершины T: луч TO, луч TC и луч TF. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Чтобы записать все углы, необходимо рассмотреть все возможные пары этих лучей.

1. Угол, образованный лучами TO и TC. Его стандартное обозначение — $ \angle OTC $ или $ \angle CTO $. Вершина угла всегда пишется в середине.

2. Угол, образованный лучами TC и TF. Его обозначение — $ \angle CTF $ или $ \angle FTC $.

3. Угол, образованный лучами TO и TF. Это самый большой из трех углов, он состоит из двух предыдущих. Его обозначение — $ \angle OTF $ или $ \angle FTO $.

Таким образом, на рисунке изображены три угла.

Ответ: $ \angle OTC $, $ \angle CTF $, $ \angle OTF $.