Страница 73 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

274. Решите с помощью уравнения задачу.

Ваня задумал число. Если к этому числу прибавить 27 и из полученной суммы вычесть 14, то получим число 36. Какое число задумал Ваня?

$(x + 27) - 14 = 36$

Для решения этой задачи необходимо составить и решить уравнение. Обозначим неизвестное число, которое задумал Ваня, переменной $x$.

Согласно условию задачи, к задуманному числу прибавили 27. Это действие можно записать в виде выражения: $x + 27$.

Далее, из полученной суммы вычли 14. Это записывается как: $(x + 27) - 14$.

В результате всех действий получилось число 36. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение:

$(x + 27) - 14 = 36$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Сначала упростим выражение в левой части уравнения, раскрыв скобки и выполнив вычитание:

$x + 27 - 14 = 36$

$x + 13 = 36$

2. Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы (36) вычесть известное слагаемое (13):

$x = 36 - 13$

$x = 23$

Таким образом, число, которое задумал Ваня, равно 23.

Проверим полученный результат, подставив его в исходное условие: к 23 прибавляем 27, получаем 50. Затем из 50 вычитаем 14, получаем 36. Условие задачи выполняется, значит, решение верное.

Ответ: 23

275. Какое число надо подставить вместо $a$, чтобы корнем уравнения:

1) $(x + a) - 7 = 42$ было число 22;

2) $(a - x) + 4 = 15$ было число 3?

1) Чтобы найти значение $a$, при котором корнем уравнения $(x + a) - 7 = 42$ является число 22, необходимо подставить $x = 22$ в исходное уравнение и решить его относительно $a$.

Подставляем $x = 22$:

$(22 + a) - 7 = 42$

Упростим левую часть уравнения:

$22 + a - 7 = 42$

$15 + a = 42$

Чтобы найти $a$, вычтем 15 из обеих частей уравнения:

$a = 42 - 15$

$a = 27$

Ответ: 27

2) Чтобы найти значение $a$, при котором корнем уравнения $(a - x) + 4 = 15$ является число 3, необходимо подставить $x = 3$ в исходное уравнение и решить его относительно $a$.

Подставляем $x = 3$:

$(a - 3) + 4 = 15$

Упростим левую часть уравнения:

$a - 3 + 4 = 15$

$a + 1 = 15$

Чтобы найти $a$, вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$a = 15 - 1$

$a = 14$

Ответ: 14

276. Какое число надо подставить вместо $a$, чтобы корнем уравнения:

1) $(x - 7) + a = 23$ было число 9;

2) $(11 + x) + 101 = a$ было число 5?

1) Чтобы найти, какое число нужно подставить вместо $a$, чтобы корнем уравнения $(x - 7) + a = 23$ было число 9, необходимо подставить значение $x = 9$ в само уравнение.

Подставляем $x=9$ в уравнение:

$(9 - 7) + a = 23$

Вычисляем значение в скобках:

$2 + a = 23$

Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $a$, нужно из суммы (23) вычесть известное слагаемое (2):

$a = 23 - 2$

$a = 21$

Таким образом, вместо $a$ нужно подставить число 21.

Ответ: 21

2) Чтобы найти, какое число нужно подставить вместо $a$, чтобы корнем уравнения $(11 + x) + 101 = a$ было число 5, необходимо подставить значение $x = 5$ в это уравнение.

Подставляем $x=5$ в уравнение:

$(11 + 5) + 101 = a$

Вычисляем значение в скобках:

$16 + 101 = a$

Теперь вычисляем сумму в левой части уравнения, чтобы найти значение $a$:

$a = 117$

Таким образом, вместо $a$ нужно подставить число 117.

Ответ: 117

277. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия.

1. Найти, сколько времени Лиза провела в школе.

Чтобы определить продолжительность пребывания Лизы в школе, нужно из времени окончания вычесть время начала.

$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 8 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 5 \text{ мин }$

Следовательно, Лиза была в школе 7 часов 5 минут.

2. Найти, сколько времени Лиза была на тренировке.

Из условия известно, что на тренировке Лиза провела на 5 часов 40 минут меньше времени, чем в школе. Чтобы найти это время, нужно из времени, проведенного в школе, вычесть 5 часов 40 минут.

$7 \text{ ч } 5 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 40 \text{ мин }$

Так как из 5 минут невозможно вычесть 40 минут, необходимо "занять" 1 час (60 минут) из 7 часов и прибавить его к минутам:

$7 \text{ ч } 5 \text{ мин } = 6 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 5 \text{ мин } = 6 \text{ ч } 65 \text{ мин }$

Теперь выполним вычитание:

$6 \text{ ч } 65 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 40 \text{ мин } = (6-5) \text{ ч } + (65-40) \text{ мин } = 1 \text{ ч } 25 \text{ мин }$

Ответ: Лиза была на тренировке 1 час 25 минут.

278. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.

Сначала необходимо начертить отрезок, длина которого составляет 12 см. Один конец отрезка нужно обозначить числом 0, а другой — числом 480.

Далее, согласно условию, делим отрезок на шесть равных частей. Для этого вычислим длину каждой части:
$12 \text{ см} \div 6 = 2 \text{ см}$
Это значит, что на отрезке необходимо поставить деления через каждые 2 см.

Теперь найдем числовое значение ("цену") каждого такого деления. Весь числовой диапазон отрезка составляет 480 (от 0 до 480). Разделим его на 6 частей:
$480 \div 6 = 80$
Таким образом, каждое деление в 2 см соответствует увеличению значения на 80. Шкала будет иметь следующие основные отметки: 0, 80, 160, 240, 320, 400, 480.

Последний шаг — отметить на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420. Для этого определим, какому расстоянию на отрезке соответствует одна единица числового значения. Найдем масштаб:
$12 \text{ см} \div 480 = 0,025 \text{ см}$ на единицу, или, что удобнее, $480 \div 12 \text{ см} = 40$ единиц на 1 см.
Используя этот масштаб, найдем положение каждого числа на отрезке, измеряя расстояние от отметки 0:

• Для числа 40: расстояние от начала равно $40 \div 40 = 1$ см.
• Для числа 100: расстояние от начала равно $100 \div 40 = 2,5$ см.
• Для числа 280: расстояние от начала равно $280 \div 40 = 7$ см.
• Для числа 360: расстояние от начала равно $360 \div 40 = 9$ см.
• Для числа 420: расстояние от начала равно $420 \div 40 = 10,5$ см.

В итоге получится следующая шкала (основные деления отмечены черным цветом, а искомые числа — красным):

Ответ: На отрезке длиной 12 см, размеченном от 0 до 480, искомые числа располагаются на следующих расстояниях от отметки 0: число 40 — на 1 см, число 100 — на 2,5 см, число 280 — на 7 см, число 360 — на 9 см, а число 420 — на 10,5 см.

279. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?

Чтобы определить, можно ли совершить покупку, необходимо рассчитать общую стоимость всех товаров и сравнить её с имеющейся суммой денег.

Стоимость бананов

Рассчитаем стоимость 3 кг бананов по цене 65 рублей за килограмм:

$3 \times 65 = 195$ рублей.

Стоимость мандаринов

Рассчитаем стоимость 2 кг мандаринов по цене 130 рублей за килограмм:

$2 \times 130 = 260$ рублей.

Стоимость апельсинов

Рассчитаем стоимость 4 кг апельсинов по цене 95 рублей за килограмм:

$4 \times 95 = 380$ рублей.

Общая стоимость покупки

Теперь сложим стоимость всех товаров, чтобы найти итоговую сумму:

$195 + 260 + 380 = 835$ рублей.

Сравнение с бюджетом

Итоговая стоимость покупки составляет 835 рублей, а в наличии имеется 900 рублей. Сравним эти суммы:

$835 < 900$

Поскольку общая стоимость покупки (835 р.) меньше, чем имеющаяся сумма денег (900 р.), покупку совершить можно.

Ответ: да, можно.

280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?

Для решения этой логической задачи необходимо исходить из ключевого условия: содержимое каждого ящичка не соответствует наклеенной на него этикетке.

Обозначим ящички в соответствии с их этикетками: ящичек с этикеткой $ББ$ (два белых), ящичек с этикеткой $ЧЧ$ (два чёрных) и ящичек с этикеткой $БЧ$ (белый и чёрный).

• Ящичек с этикеткой $ББ$ на самом деле содержит либо два чёрных шара ($ЧЧ$), либо белый и чёрный ($БЧ$).
• Ящичек с этикеткой $ЧЧ$ на самом деле содержит либо два белых шара ($ББ$), либо белый и чёрный ($БЧ$).
• Ящичек с этикеткой $БЧ$ на самом деле содержит либо два белых шара ($ББ$), либо два чёрных шара ($ЧЧ$).

Самое важное заключение можно сделать о ящичке с этикеткой $БЧ$. Мы точно знаем, что в нём находятся шары одного цвета. Поэтому, чтобы определить содержимое всех ящичков, нужно вынуть один шар именно из ящичка с этикеткой $БЧ$. В зависимости от цвета этого шара возможны два сценария.

Случай 1: Вынутый шар – белый.

1. Если из ящичка с этикеткой $БЧ$ мы достали белый шар, это означает, что оба шара в нём белые. Таким образом, истинное содержимое этого ящичка — $ББ$.

2. Теперь нам нужно определить содержимое ящичков с этикетками $ББ$ и $ЧЧ$. У нас остались два набора шаров: $ЧЧ$ и $БЧ$.

3. В ящичке с этикеткой $ЧЧ$ не могут лежать два чёрных шара (по условию) и не могут лежать два белых (так как мы их уже нашли). Следовательно, в ящичке с этикеткой $ЧЧ$ лежат шары $БЧ$.

4. Методом исключения, в ящичке с этикеткой $ББ$ должны лежать два чёрных шара ($ЧЧ$).

Таким образом, если вынутый шар белый, то расклад следующий:

• В ящичке с этикеткой «БЧ» на самом деле лежат $ББ$ (два белых).
• В ящичке с этикеткой «ЧЧ» на самом деле лежат $БЧ$ (белый и чёрный).
• В ящичке с этикеткой «ББ» на самом деле лежат $ЧЧ$ (два чёрных).

Случай 2: Вынутый шар – чёрный.

1. Если из ящичка с этикеткой $БЧ$ мы достали чёрный шар, это означает, что оба шара в нём чёрные. Истинное содержимое этого ящичка — $ЧЧ$.

2. У нас остались ящички с этикетками $ББ$ и $ЧЧ$ и наборы шаров $ББ$ и $БЧ$.

3. В ящичке с этикеткой $ББ$ не могут лежать два белых шара (по условию) и не могут лежать два чёрных (мы их уже нашли). Следовательно, в ящичке с этикеткой $ББ$ лежат шары $БЧ$.

4. Методом исключения, в ящичке с этикеткой $ЧЧ$ должны лежать два белых шара ($ББ$).

Таким образом, если вынутый шар чёрный, то расклад следующий:

• В ящичке с этикеткой «БЧ» на самом деле лежат $ЧЧ$ (два чёрных).
• В ящичке с этикеткой «ББ» на самом деле лежат $БЧ$ (белый и чёрный).
• В ящичке с этикеткой «ЧЧ» на самом деле лежат $ББ$ (два белых).

Ответ: Нужно вынуть один шар из ящичка с этикеткой «БЧ». Если шар окажется белым, значит, в этом ящичке два белых шара, в ящичке с этикеткой «ЧЧ» — белый и чёрный, а в ящичке «ББ» — два чёрных. Если же вынутый шар окажется чёрным, значит, в ящичке «БЧ» лежат два чёрных шара, в ящичке «ББ» — белый и чёрный, а в ящичке «ЧЧ» — два белых.