Страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют произведением числа $a$ на натуральное число $b$, не равное 1?

Произведением числа $a$ на натуральное число $b$, которое больше единицы ($b > 1$), называют сумму, состоящую из $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.

Это можно представить в виде формулы:

$a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b \text{ слагаемых}}$

Числа $a$ и $b$ в этом выражении называются множителями, а результат операции ( $a \cdot b$ ) — произведением.

Например, чтобы умножить 7 на 4, нужно сложить число 7 четыре раза:

$7 \cdot 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28$

Таким образом, умножение на натуральное число (кроме 1) — это сокращенная запись многократного сложения одинаковых слагаемых.

Ответ: Произведением числа $a$ на натуральное число $b$, не равное 1, называют сумму $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.

2. Как в равенстве $a \cdot b = c$ называют число $a$? Число $b$? Число $c$? Выражение $a \cdot b$?

В равенстве $a \cdot b = c$, которое представляет собой операцию умножения, каждый компонент имеет своё название.

Число a?

Число $a$ является одним из чисел, которые перемножаются. Его называют множителем. Иногда, для уточнения, первый множитель ($a$) называют множимым (то, что умножают), а второй ($b$) — множителем (то, на что умножают). Однако в современной математике оба числа чаще всего равноправно называют множителями.

Ответ: множитель (или множимое).

Число b?

Число $b$, так же как и число $a$, является одним из чисел, которые участвуют в умножении. Его называют множителем.

Ответ: множитель.

Число c?

Число $c$ — это результат выполнения операции умножения. Его называют произведением.

Ответ: произведение.

Выражение a · b?

Само выражение $a \cdot b$ обозначает действие умножения двух чисел и также называется произведением. То есть, термином "произведение" обозначают как само выражение, так и его результат.

Ответ: произведение.

3. Чему равно произведение двух множителей, один из которых равен 1?

В математике существует тождественное свойство умножения. Оно гласит, что при умножении любого числа на единицу (1) в результате получается то же самое число.

Пусть у нас есть два множителя. Обозначим один из них переменной $a$. По условию задачи, второй множитель равен 1.

Тогда их произведение можно записать в виде выражения: $a \cdot 1$.

Результатом этого умножения, согласно свойству, будет само число $a$:

$a \cdot 1 = a$

Следовательно, произведение двух множителей, один из которых равен 1, всегда равно второму множителю.

Ответ: второму множителю.

4. Чему равно произведение двух множителей, один из которых равен $0$?

Произведение двух множителей, один из которых равен нулю, всегда равно нулю. Это одно из фундаментальных свойств умножения, которое часто называют свойством умножения на ноль.

Пусть у нас есть два множителя, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Их произведение записывается как $a \cdot b$.

Согласно условию задачи, один из этих множителей равен 0. Допустим, $a = 0$. Тогда нам необходимо найти значение выражения $0 \cdot b$.

Для любого числа $b$ (будь то целое, дробное, положительное, отрицательное или иррациональное) справедливо следующее равенство:
$b \cdot 0 = 0$
и, соответственно:
$0 \cdot b = 0$

Этот принцип можно проиллюстрировать, если рассматривать умножение как многократное сложение. Например, выражение $4 \cdot b$ означает сумму $b + b + b + b$. Следуя этой логике, выражение $0 \cdot b$ означает, что мы должны сложить число $b$ само с собой ноль раз. Результатом такой операции является 0.

Таким образом, независимо от значения второго множителя, произведение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: 0

5. Каким свойством обладают множители, произведение которых равно нулю?

Основное свойство, которым обладают множители, произведение которых равно нулю, заключается в следующем: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из этих множителей должен быть равен нулю.

Это одно из фундаментальных свойств чисел, которое широко используется в алгебре, особенно при решении уравнений.

Рассмотрим это свойство на примере двух множителей, a и b. Если их произведение равно нулю: $$a \cdot b = 0$$ Это равенство может быть истинным только в одном из следующих случаев:
1. Множитель $a = 0$ (например, $0 \cdot 5 = 0$).
2. Множитель $b = 0$ (например, $12 \cdot 0 = 0$).
3. Оба множителя равны нулю, $a = 0$ и $b = 0$ (например, $0 \cdot 0 = 0$).

Если бы ни один из множителей не был равен нулю, их произведение также не было бы равно нулю.

Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Если произведение n множителей равно нулю: $$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n = 0$$ то это с необходимостью означает, что по крайней мере один из множителей ($a_1$, $a_2$, ..., $a_n$) равен нулю.

Пример использования:
При решении уравнения $(x - 5)(x + 3) = 0$ мы применяем именно это свойство. Поскольку произведение двух выражений $(x - 5)$ и $(x + 3)$ равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Это приводит к совокупности двух простых уравнений:
$x - 5 = 0$ или $x + 3 = 0$.
Решая их по отдельности, мы находим корни: $x = 5$ и $x = -3$.

Ответ: Если произведение множителей равно нулю, то как минимум один из этих множителей обязательно равен нулю.

6. Сформулируйте переместительное свойство умножения.

Переместительное свойство умножения (также известное как коммутативный закон умножения) — это одно из основных свойств арифметических операций. Оно гласит, что результат умножения двух чисел не зависит от того, в каком порядке они перемножаются.

Словесная формулировка этого свойства звучит так: от перемены мест множителей произведение не меняется.

В виде математической формулы это свойство записывается для любых чисел $a$ и $b$ следующим образом:
$a \cdot b = b \cdot a$

Для наглядности приведём числовой пример. Возьмём числа 8 и 3:
$8 \cdot 3 = 24$
Если поменять множители местами, результат останется прежним:
$3 \cdot 8 = 24$
Таким образом, равенство $8 \cdot 3 = 3 \cdot 8$ является верным, что и демонстрирует переместительное свойство умножения.

Ответ: От перемены мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a \cdot b = b \cdot a$.

7. Как записывают в буквенном виде переместительное свойство умножения?

Переместительное свойство умножения, также известное как коммутативный закон умножения, утверждает, что при умножении двух чисел их можно менять местами, и результат от этого не изменится. Другими словами, от перемены мест множителей произведение не меняется.

Для записи этого свойства в буквенном виде обычно используют две переменные, например, a и b, которые могут обозначать любые числа. Формула выглядит следующим образом:

$a \cdot b = b \cdot a$

Или, если опустить знак умножения, что часто делается в алгебре:

$ab = ba$

Например, если взять числа 5 и 7, то $5 \cdot 7 = 35$ и $7 \cdot 5 = 35$. Таким образом, равенство $5 \cdot 7 = 7 \cdot 5$ является числовым примером переместительного свойства умножения.

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$.

1. Чему равна сумма:

1) $20 + 20 + 20;$

2) $33 + 33 + 33;$

3) $12 + 12 + 12 + 12;$

4) $25 + 25 + 25 + 25;$

5) $7 + 7 + 7 + 7 + 7;$

6) $8 + 8 + 8 + 8 + 8?$

1) Чтобы найти сумму $20 + 20 + 20$, можно сложить числа последовательно или, поскольку все слагаемые одинаковы, заменить сложение умножением. В данном случае число 20 складывается 3 раза.

Способ 1: Последовательное сложение
$20 + 20 = 40$
$40 + 20 = 60$

Способ 2: Умножение
$20 \times 3 = 60$

Ответ: 60

2) Для вычисления суммы $33 + 33 + 33$ также можно использовать сложение или умножение, так как слагаемое 33 повторяется 3 раза.

Способ 1: Последовательное сложение
$33 + 33 = 66$
$66 + 33 = 99$

Способ 2: Умножение
$33 \times 3 = 99$

Ответ: 99

3) В выражении $12 + 12 + 12 + 12$ число 12 складывается 4 раза.

Способ 1: Последовательное сложение
$12 + 12 = 24$
$24 + 12 = 36$
$36 + 12 = 48$

Способ 2: Умножение
Заменим сложение четырех одинаковых слагаемых на умножение:
$12 \times 4 = 48$

Ответ: 48

4) Найдем сумму $25 + 25 + 25 + 25$. Слагаемое 25 повторяется 4 раза.

Способ 1: Последовательное сложение
$25 + 25 = 50$
$50 + 25 = 75$
$75 + 25 = 100$

Способ 2: Умножение
Это то же самое, что умножить 25 на 4:
$25 \times 4 = 100$

Ответ: 100

5) Вычислим сумму $7 + 7 + 7 + 7 + 7$. Число 7 складывается 5 раз.

Способ 1: Последовательное сложение
$7 + 7 = 14$
$14 + 7 = 21$
$21 + 7 = 28$
$28 + 7 = 35$

Способ 2: Умножение
Заменим сложение умножением:
$7 \times 5 = 35$

Ответ: 35

6) Найдем сумму $8 + 8 + 8 + 8 + 8$. Здесь слагаемое 8 повторяется 5 раз.

Способ 1: Последовательное сложение
$8 + 8 = 16$
$16 + 8 = 24$
$24 + 8 = 32$
$32 + 8 = 40$

Способ 2: Умножение
Сложение можно заменить умножением:
$8 \times 5 = 40$

Ответ: 40

2. Вычислите:

1) $6 + 4 \cdot 3 - 2$;

2) $(6 + 4) \cdot 3 - 2$;

3) $6 + 4 \cdot (3 - 2)$;

4) $(6 + 4) \cdot (3 - 2)$.

1) Для вычисления значения выражения $6 + 4 \cdot 3 - 2$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание слева направо.
Первым действием выполним умножение: $4 \cdot 3 = 12$.
Теперь выражение выглядит так: $6 + 12 - 2$.
Далее выполняем сложение: $6 + 12 = 18$.
И последним действием выполняем вычитание: $18 - 2 = 16$.
Ответ: 16

2) В выражении $(6 + 4) \cdot 3 - 2$ сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце — вычитание.
Выполняем действие в скобках: $6 + 4 = 10$.
Теперь выражение выглядит так: $10 \cdot 3 - 2$.
Выполняем умножение: $10 \cdot 3 = 30$.
Выполняем вычитание: $30 - 2 = 28$.
Ответ: 28

3) В выражении $6 + 4 \cdot (3 - 2)$ сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце — сложение.
Выполняем действие в скобках: $3 - 2 = 1$.
Теперь выражение выглядит так: $6 + 4 \cdot 1$.
Выполняем умножение: $4 \cdot 1 = 4$.
Выполняем сложение: $6 + 4 = 10$.
Ответ: 10

4) В выражении $(6 + 4) \cdot (3 - 2)$ сначала выполняются действия в каждой из скобок, а затем результат первого действия умножается на результат второго.
Выполняем действие в первой скобке: $6 + 4 = 10$.
Выполняем действие во второй скобке: $3 - 2 = 1$.
Теперь выражение выглядит так: $10 \cdot 1$.
Выполняем умножение: $10 \cdot 1 = 10$.
Ответ: 10

3. Найдите произведение чисел 14 и 6.

Чтобы найти произведение чисел 14 и 6, необходимо выполнить операцию умножения.

Запишем математическое выражение для нахождения произведения:

$14 \times 6$

Для удобства вычисления можно представить число 14 как сумму 10 и 4, а затем применить распределительный закон умножения:

$14 \times 6 = (10 + 4) \times 6 = 10 \times 6 + 4 \times 6$

Теперь вычислим каждое произведение отдельно:

$10 \times 6 = 60$

$4 \times 6 = 24$

Сложим полученные результаты:

$60 + 24 = 84$

Таким образом, произведение чисел 14 и 6 равно 84.

Ответ: 84

4. Увеличьте число 18 в 3 раза.

Чтобы увеличить число 18 в 3 раза, необходимо выполнить операцию умножения. Это значит, что нужно умножить число 18 на 3.

Запишем математическое действие:

$18 \cdot 3$

Для вычисления можно разложить число 18 на десятки и единицы: $18 = 10 + 8$. Затем умножить каждое слагаемое на 3 и сложить полученные результаты:

$18 \cdot 3 = (10 + 8) \cdot 3 = 10 \cdot 3 + 8 \cdot 3 = 30 + 24 = 54$

Таким образом, результатом увеличения числа 18 в 3 раза является число 54.

Ответ: 54

5. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника, если его периметр на 12 см больше основания.

Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника как $a$, а длину основания как $b$.

Периметр ($P$) треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника, у которого две боковые стороны равны, формула периметра следующая: $P = a + a + b = 2a + b$.

Из условия задачи известно, что периметр на 12 см больше основания. Это можно записать в виде равенства: $P = b + 12$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для периметра, чтобы найти длину боковой стороны $a$:

$2a + b = b + 12$

Вычтем из обеих частей уравнения $b$:

$2a = 12$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $a$:

$a = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 6 см. Ответ: 6 см.

6. Определите вид треугольника, две стороны которого равны 8 см и 12 см, а периметр — 28 см.

Для определения вида треугольника необходимо найти длину его третьей стороны.

Пусть длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи нам известно, что $a = 8$ см, $b = 12$ см, а периметр $P = 28$ см.

Периметр треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину третьей стороны $c$:
$28 = 8 + 12 + c$
$28 = 20 + c$
$c = 28 - 20$
$c = 8$ см.

Таким образом, мы получили треугольник со сторонами 8 см, 12 см и 8 см.

Поскольку у этого треугольника две стороны равны ($8$ см $= 8$ см), он является равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.

7. Найдите периметр квадрата, если он больше его стороны на 18 см.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $a$ — длина стороны квадрата в сантиметрах, а $P$ — его периметр в сантиметрах.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его четырех сторон. Так как все стороны квадрата равны, формула для периметра выглядит следующим образом:
$P = a + a + a + a = 4a$

Из условия задачи известно, что периметр ($P$) больше стороны ($a$) на 18 см. Это можно выразить уравнением:
$P = a + 18$

Теперь у нас есть два выражения для периметра. Мы можем приравнять их друг к другу, чтобы найти длину стороны $a$:
$4a = a + 18$

Решим это линейное уравнение. Перенесем $a$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$4a - a = 18$
$3a = 18$

Теперь найдем $a$, разделив обе части уравнения на 3:
$a = \frac{18}{3}$
$a = 6$

Таким образом, длина стороны квадрата составляет 6 см.

Зная длину стороны, мы можем вычислить периметр, используя любую из первоначальных формул. Воспользуемся формулой $P = 4a$:
$P = 4 \times 6 = 24$ см.

Для проверки можно использовать второе уравнение: $P = a + 18 = 6 + 18 = 24$ см. Результаты совпадают.

Ответ: 24 см.