Страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

405. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и легковой автомобиль. Велосипедист ехал со скоростью 11 км/ч, а автомобиль — в 7 раз быстрее. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и автомобиль встретились через 4 ч после начала движения.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти скорость легкового автомобиля.

Скорость велосипедиста известна и равна $11$ км/ч. Автомобиль ехал в 7 раз быстрее, поэтому, чтобы найти его скорость, нужно скорость велосипедиста умножить на 7.

$11 \text{ км/ч} \times 7 = 77 \text{ км/ч}$

2. Найти скорость сближения.

Поскольку велосипедист и автомобиль двигались навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей.

$11 \text{ км/ч} + 77 \text{ км/ч} = 88 \text{ км/ч}$

3. Найти расстояние между городами.

Расстояние — это произведение скорости на время. В данном случае, нужно умножить скорость сближения на время, через которое они встретились (4 часа).

$88 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 352 \text{ км}$

Ответ: 352 км.

406. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Пешеход шёл со скоростью $3$ км/ч, что в $4$ раза меньше скорости велосипедиста. Найдите расстояние между сёлами, если велосипедист и пешеход встретились через $3$ ч после начала движения.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти скорость велосипедиста, затем их общую скорость сближения и, наконец, вычислить расстояние между сёлами.

1. Найдём скорость велосипедиста

По условию, скорость пешехода составляет $3$ км/ч, и это в 4 раза меньше скорости велосипедиста. Следовательно, чтобы найти скорость велосипедиста, нужно скорость пешехода умножить на 4.
$3 \text{ км/ч} \times 4 = 12 \text{ км/ч}$
Ответ: скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

2. Найдём скорость сближения

Поскольку велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения. Она показывает, на сколько километров они становятся ближе друг к другу за один час.
$V_{сближения} = V_{пешехода} + V_{велосипедиста} = 3 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$
Ответ: скорость сближения пешехода и велосипедиста равна 15 км/ч.

3. Найдём расстояние между сёлами

Расстояние равно произведению скорости на время. В нашем случае, чтобы найти общее расстояние, нужно скорость сближения умножить на время, через которое они встретились (3 часа).
$S = V_{сближения} \times t = 15 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 45 \text{ км}$
Ответ: расстояние между сёлами составляет 45 км.

407. Всегда ли произведение двух натуральных чисел больше, чем их сумма?

Нет, это утверждение не всегда верно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), в котором произведение двух натуральных чисел не будет больше их суммы.

Пример 1: одно из чисел равно 1.
Возьмем натуральные числа $1$ и $4$.
Их сумма: $1 + 4 = 5$.
Их произведение: $1 \cdot 4 = 4$.
В этом случае произведение ($4$) оказывается меньше суммы ($5$), то есть $4 < 5$.

Пример 2: оба числа равны 2.
Возьмем натуральные числа $2$ и $2$.
Их сумма: $2 + 2 = 4$.
Их произведение: $2 \cdot 2 = 4$.
В этом случае произведение ($4$) равно сумме ($4$), но не больше неё.

Общее объяснение.
Рассмотрим неравенство $a \cdot b > a + b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Преобразуем его:
$ab - a - b > 0$
Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы выделить полный квадрат:
$ab - a - b + 1 > 1$
Свернем левую часть в произведение:
$(a-1)(b-1) > 1$
Это неравенство справедливо не для всех натуральных чисел.

• Если хотя бы одно из чисел равно $1$ (например, $a=1$), то левая часть становится $(1-1)(b-1) = 0$. Неравенство $0 > 1$ ложно.
• Если $a=2$ и $b=2$, то левая часть становится $(2-1)(2-1) = 1$. Неравенство $1 > 1$ также ложно.

Таким образом, утверждение, что произведение двух натуральных чисел всегда больше их суммы, является ложным.

Ответ: нет, не всегда.

408. Как изменится произведение двух натуральных чисел, если:

1) один из множителей увеличить в 8 раз;

2) один из множителей уменьшить в 5 раз;

3) каждый множитель увеличить в 6 раз;

4) один множитель увеличить в 13 раз, а другой — в 40 раз;

5) один множитель увеличить в 12 раз, а другой уменьшить в 3 раза?

Для решения задачи обозначим два натуральных числа как $a$ и $b$. Их первоначальное произведение равно $P = a \cdot b$.

1) один из множителей увеличить в 8 раз;
Пусть множитель $a$ увеличили в 8 раз, тогда он станет равен $8a$. Второй множитель $b$ остается без изменений. Новое произведение будет: $P_{новое} = (8a) \cdot b = 8 \cdot (a \cdot b) = 8P$. Это означает, что произведение увеличится в 8 раз.
Ответ: произведение увеличится в 8 раз.

2) один из множителей уменьшить в 5 раз;
Пусть множитель $a$ уменьшили в 5 раз, тогда он станет равен $a/5$. Второй множитель $b$ остается без изменений. Новое произведение будет: $P_{новое} = \frac{a}{5} \cdot b = \frac{1}{5} \cdot (a \cdot b) = \frac{P}{5}$. Это означает, что произведение уменьшится в 5 раз.
Ответ: произведение уменьшится в 5 раз.

3) каждый множитель увеличить в 6 раз;
Первый множитель станет равен $6a$, а второй множитель станет равен $6b$. Новое произведение будет: $P_{новое} = (6a) \cdot (6b) = (6 \cdot 6) \cdot (a \cdot b) = 36 \cdot (a \cdot b) = 36P$. Это означает, что произведение увеличится в 36 раз.
Ответ: произведение увеличится в 36 раз.

4) один множитель увеличить в 13 раз, а другой — в 40 раз;
Первый множитель станет равен $13a$, а второй множитель станет равен $40b$. Новое произведение будет: $P_{новое} = (13a) \cdot (40b) = (13 \cdot 40) \cdot (a \cdot b) = 520 \cdot (a \cdot b) = 520P$. Это означает, что произведение увеличится в 520 раз.
Ответ: произведение увеличится в 520 раз.

5) один множитель увеличить в 12 раз, а другой уменьшить в 3 раза?
Пусть первый множитель увеличили в 12 раз, он станет равен $12a$. Второй множитель уменьшили в 3 раза, он станет равен $b/3$. Новое произведение будет: $P_{новое} = (12a) \cdot \left(\frac{b}{3}\right) = \frac{12}{3} \cdot (a \cdot b) = 4 \cdot (a \cdot b) = 4P$. Это означает, что произведение увеличится в 4 раза.
Ответ: произведение увеличится в 4 раза.

409. Из двух посёлков, расстояние между которыми равно $3 \text{ км}$, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них двигался со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а второй — $4 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между пешеходами через $2 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения этой задачи необходимо определить общее расстояние, которое пешеходы преодолеют вместе за 2 часа, и сравнить его с первоначальным расстоянием между посёлками.

1. Найдем скорость сближения пешеходов.

Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость их сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) пешехода:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Найдем общее расстояние, которое пешеходы прошли за 2 часа.

Чтобы найти общее расстояние $S_{общ}$, которое они преодолели за время $t = 2$ ч, нужно их скорость сближения умножить на время:

$S_{общ} = v_{сбл} \cdot t = 9 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 18 \text{ км}$.

3. Определим итоговое расстояние между пешеходами.

Изначально расстояние между пешеходами составляло 3 км. За 2 часа они вместе прошли 18 км. Так как общее пройденное расстояние (18 км) больше, чем начальное расстояние между ними (3 км), это означает, что пешеходы встретились и продолжили движение, удаляясь друг от друга.

Расстояние, которое их будет разделять, равно разнице между общим пройденным ими расстоянием и первоначальным расстоянием между посёлками:

$S_{конечное} = S_{общ} - S_{начальное} = 18 \text{ км} - 3 \text{ км} = 15 \text{ км}$.

Ответ: 15 км.

410. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы умножение было вы-полнено верно:

1) $\begin{array}{r}*43 \\\times 2* \\\hline3*4 \\+ 8* \phantom{0} \\\hline12*4\end{array}$

2) $\begin{array}{r}*52 \\\times ** \\\hline*** \\+ 1*** \phantom{0} \\\hline***8*\end{array}$

3) $\begin{array}{r}*8 \\\times * \\\hline\phantom{00}* \\\hline8**\end{array}$

4) $\begin{array}{r}*6* \\\times ** \\\hline*** \\+ *** \phantom{0} \\\hline***6\end{array}$

1)

Давайте разберем пример столбиком. Пусть первый множитель — это $A43$, а второй — $2B$. Однако, если бы первый множитель был трехзначным числом, то второй частичный результат ($A43 \times 2$) был бы как минимум $143 \times 2 = 286$, то есть трехзначным числом. В условии же на месте второго частичного результата стоит двузначное число $8*$. Это означает, что первая звездочка в числе $*43$ — это просто пустое место, и первый множитель на самом деле двузначное число 43.

Итак, у нас есть умножение $43 \times 2*$.
Второй частичный результат — это $43 \times 2 = 86$. Это совпадает с шаблоном $8*$.
Сумма выглядит так:

 (43 × *)+ 860---------- 12*4

Проверим всё умножение: $43 \times 28$.
Первое частичное произведение: $43 \times 8 = 344$. Это соответствует шаблону $3*4$.
Второе частичное произведение: $43 \times 2 = 86$. Это соответствует шаблону $8*$.
Сумма:

 344+ 860------ 1204

Ответ:

 43× 28----- 344+ 86----- 1204

2)

Пусть второй множитель — это двузначное число $AB$. Умножение выглядит так: $52 \times AB$.
Первое частичное произведение — $52 \times B$ — это трехзначное число, начинающееся с 1 ($1**$).
$52 \times 2 = 104$.
$52 \times 3 = 156$.
$52 \times 4 = 208$ (уже не начинается с 1).
Значит, $B$ может быть 2 или 3.

Второе частичное произведение — $52 \times A$ — это число, оканчивающееся на 8 ($**8$).
Это значит, что последняя цифра произведения $2 \times A$ равна 8.
$2 \times 4 = 8$.
$2 \times 9 = 18$.
Значит, $A$ может быть 4 или 9.

Теперь рассмотрим сложение в столбик. Пусть первое произведение $P_1 = p_2 p_1 p_0$, а второе $P_2 = s_2 s_1 s_0$. Сумма выглядит так:

 p₂ p₁ p₀+s₂ s₁ s₀ 0---------- r₃ r₂ r₁ r₀

Проверим 4 комбинации для $A$ и $B$:
1. $A=4, B=2$: $52 \times 2 = 104$ ($p_1=0$), $52 \times 4 = 208$ ($s_1=0$). Сумма десятков $0+8=8$, переноса нет. Сумма сотен: $1+0+0 = 1 \ne 8$. Неверно.
2. $A=9, B=2$: $52 \times 2 = 104$ ($p_1=0$), $52 \times 9 = 468$ ($s_1=6$). Сумма десятков $0+8=8$, переноса нет. Сумма сотен: $1+6+0 = 7 \ne 8$. Неверно.
3. $A=4, B=3$: $52 \times 3 = 156$ ($p_1=5$), $52 \times 4 = 208$ ($s_1=0$). Сумма десятков $5+8=13$, перенос 1. Сумма сотен: $1+0+1 = 2 \ne 8$. Неверно.
4. $A=9, B=3$: $52 \times 3 = 156$ ($p_1=5$), $52 \times 9 = 468$ ($s_1=6$). Сумма десятков $5+8=13$, перенос 1. Сумма сотен: $1+6+1 = 8$. Верно!

Значит, второй множитель равен 93.

Ответ:

 52× 93----- 156+ 468----- 4836

3)

В этом примере двузначное число вида $*8$ умножается на однозначное число $*$, и в результате получается трехзначное число, начинающееся с 8 ($8**$).
Пусть множители — $A8$ и $B$. Их произведение $A8 \times B$ находится в диапазоне от 800 до 899.
$800 \le A8 \times B \le 899$.
Поскольку максимальное значение для $B$ равно 9, мы можем оценить $A$. Если $A=8$, то максимальное произведение $88 \times 9 = 792$, что меньше 800. Следовательно, $A$ должно быть больше 8. Единственный вариант — $A=9$.

Итак, первый множитель — 98.
Теперь найдем $B$:
$800 \le 98 \times B \le 899$.
Разделим неравенство на 98:
$\frac{800}{98} \le B \le \frac{899}{98}$
$8.16... \le B \le 9.17...$
Единственное целое число в этом диапазоне — это 9. Значит, $B=9$.
Проверяем: $98 \times 9 = 882$. Результат начинается с 8.

Ответ:

 98× 9---- 882

4)

Пусть множители — $6A$ и $BCD$.
Первые два частичных произведения ($6A \times D$ и $6A \times C$) являются двузначными числами. Число $6A$ не меньше 60. Если бы $D$ или $C$ были равны 2 или больше, то произведение было бы не меньше $60 \times 2 = 120$ (трехзначное число). Следовательно, $C=1$ и $D=1$.

Последняя цифра итогового результата равна 6. Она определяется последней цифрой первого частичного произведения ($6A \times D$). Так как $D=1$, то $6A \times 1 = 6A$. Последняя цифра этого числа — $A$. Значит, $A=6$.
Таким образом, первый множитель — 66, а второй — $B11$.

Третье частичное произведение ($66 \times B$) является трехзначным числом. $100 \le 66 \times B \le 999$.
Из этого неравенства следует, что $B \ge \frac{100}{66} \approx 1.51$. Значит, $B$ может быть любой цифрой от 2 до 9.

Итоговый результат ($****6$) должен быть пятизначным. Давайте проверим произведение для любого возможного $B$, например, для $B=2$:
$66 \times 211 = 66 \times (200 + 11) = 13200 + 726 = 13926$.
Это пятизначное число, оканчивающееся на 6. Условия выполнены.
Любая другая цифра для $B$ от 2 до 9 также даст верное решение. Например, для $B=9$:
$66 \times 911 = 59400 + 726 = 60126$.

Поскольку задача не предполагает единственного решения, мы можем привести любое из возможных. Возьмем $B=2$.

Ответ: (один из возможных вариантов)

 66× 211----- 66+ 66 132----- 13926