Страница 110 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

384. Запишите сумму в виде произведения:

1) $6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6;$

2) $9 + 9 + 9 + 9 + 9;$

3) $n + n + n + n + n + n;$

4) $\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{\text{101 слагаемое}};$

5) $\underbrace{5 + 5 + \dots + 5}_{m \text{ слагаемых}};$

6) $\underbrace{m + m + \dots + m}_{k \text{ слагаемых}}.$

1) В выражении $6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6$ представленa сумма одинаковых слагаемых. Слагаемое равно 6. Чтобы найти, сколько раз оно повторяется, посчитаем количество шестерок в сумме. Их всего 8. По определению, умножение — это операция, заменяющая многократное сложение одинаковых слагаемых. Следовательно, данную сумму можно записать в виде произведения числа 6 на количество его повторений, то есть на 8. Ответ: $6 \cdot 8$.

2) Дана сумма $9 + 9 + 9 + 9 + 9$. Все слагаемые в этой сумме одинаковы и равны 9. Подсчитаем их количество: в сумме 5 слагаемых. Чтобы представить эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое (9) на их количество (5). Ответ: $9 \cdot 5$.

3) В выражении $n + n + n + n + n + n + n$ слагаемым является переменная $n$. Все слагаемые одинаковы. Количество слагаемых в сумме равно 7. Замена суммы одинаковых слагаемых произведением выполняется путем умножения слагаемого на их количество. В данном случае это будет произведение $n$ на 7, что принято записывать как $7 \cdot n$. Ответ: $7 \cdot n$.

4) В этой задаче дана сумма $2 + 2 + ... + 2$, в которой слагаемое равно 2. Указано, что всего в сумме 101 слагаемое. Чтобы записать эту сумму в виде произведения, необходимо умножить повторяющееся слагаемое (2) на количество этих слагаемых (101). Ответ: $2 \cdot 101$.

5) Дана сумма $5 + 5 + ... + 5$. Слагаемое равно 5, а количество слагаемых обозначено переменной $m$. По аналогии с предыдущими примерами, чтобы представить эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое (5) на их количество ($m$). Ответ: $5 \cdot m$.

6) В выражении $m + m + ... + m$ слагаемым является переменная $m$. Указано, что количество слагаемых равно $k$. Чтобы записать эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое ($m$) на количество слагаемых ($k$). Ответ: $m \cdot k$.

385. Выполните умножение:

1) $516 \cdot 32$;

2) $418 \cdot 46$;

3) $4519 \cdot 52$;

4) $314 \cdot 258$;

5) $133 \cdot 908$;

6) $215 \cdot 204$;

7) $626 \cdot 480$;

8) $1234 \cdot 567$;

9) $2984 \cdot 4006$.

1) $516 \cdot 32$
Чтобы найти произведение, умножим первый множитель на каждый разряд второго множителя и сложим результаты.
Умножим $516$ на $2$ единицы: $516 \cdot 2 = 1032$.
Умножим $516$ на $3$ десятка: $516 \cdot 30 = 15480$.
Сложим полученные произведения: $1032 + 15480 = 16512$.
Ответ: $16512$

2) $418 \cdot 46$
Умножим $418$ на $6$ единиц: $418 \cdot 6 = 2508$.
Умножим $418$ на $4$ десятка: $418 \cdot 40 = 16720$.
Сложим полученные произведения: $2508 + 16720 = 19228$.
Ответ: $19228$

3) $4519 \cdot 52$
Умножим $4519$ на $2$ единицы: $4519 \cdot 2 = 9038$.
Умножим $4519$ на $5$ десятков: $4519 \cdot 50 = 225950$.
Сложим полученные произведения: $9038 + 225950 = 234988$.
Ответ: $234988$

4) $314 \cdot 258$
Умножим $314$ на $8$ единиц: $314 \cdot 8 = 2512$.
Умножим $314$ на $5$ десятков: $314 \cdot 50 = 15700$.
Умножим $314$ на $2$ сотни: $314 \cdot 200 = 62800$.
Сложим полученные произведения: $2512 + 15700 + 62800 = 81012$.
Ответ: $81012$

5) $133 \cdot 908$
Умножим $133$ на $8$ единиц: $133 \cdot 8 = 1064$.
Умножим $133$ на $0$ десятков: $133 \cdot 0 = 0$.
Умножим $133$ на $9$ сотен: $133 \cdot 900 = 119700$.
Сложим полученные произведения: $1064 + 0 + 119700 = 120764$.
Ответ: $120764$

6) $215 \cdot 204$
Умножим $215$ на $4$ единицы: $215 \cdot 4 = 860$.
Умножим $215$ на $0$ десятков: $215 \cdot 0 = 0$.
Умножим $215$ на $2$ сотни: $215 \cdot 200 = 43000$.
Сложим полученные произведения: $860 + 0 + 43000 = 43860$.
Ответ: $43860$

7) $626 \cdot 480$
Данное произведение можно представить как $626 \cdot 48 \cdot 10$.
Сначала умножим $626$ на $48$.
$626 \cdot 8 = 5008$.
$626 \cdot 40 = 25040$.
$5008 + 25040 = 30048$.
Теперь умножим результат на $10$: $30048 \cdot 10 = 300480$.
Ответ: $300480$

8) $1234 \cdot 567$
Умножим $1234$ на $7$ единиц: $1234 \cdot 7 = 8638$.
Умножим $1234$ на $6$ десятков: $1234 \cdot 60 = 74040$.
Умножим $1234$ на $5$ сотен: $1234 \cdot 500 = 617000$.
Сложим полученные произведения: $8638 + 74040 + 617000 = 699678$.
Ответ: $699678$

9) $2984 \cdot 4006$
Умножим $2984$ на $6$ единиц: $2984 \cdot 6 = 17904$.
В разрядах десятков и сотен у второго множителя стоят нули, поэтому соответствующие неполные произведения равны нулю.
Умножим $2984$ на $4$ тысячи: $2984 \cdot 4000 = 11936000$.
Сложим полученные произведения: $17904 + 11936000 = 11953904$.
Ответ: $11953904$

386. Выполните умножение:

1) $706 \cdot 53;$

2) $304 \cdot 29;$

3) $5245 \cdot 67;$

4) $591 \cdot 289;$

5) $465 \cdot 506;$

6) $328 \cdot 406;$

7) $934 \cdot 260;$

8) $2468 \cdot 359;$

9) $1234 \cdot 2007.$

1) Для того чтобы найти произведение $706 \cdot 53$, воспользуемся распределительным свойством умножения. Представим число $53$ в виде суммы разрядных слагаемых $50 + 3$.
$706 \cdot 53 = 706 \cdot (50 + 3) = 706 \cdot 50 + 706 \cdot 3$
Вычислим каждое произведение по отдельности:
$706 \cdot 3 = 2118$
$706 \cdot 50 = 35300$
Теперь сложим полученные результаты:
$2118 + 35300 = 37418$
Ответ: 37418

2) Для того чтобы найти произведение $304 \cdot 29$, представим число $29$ в виде суммы разрядных слагаемых $20 + 9$ и воспользуемся распределительным свойством умножения.
$304 \cdot 29 = 304 \cdot (20 + 9) = 304 \cdot 20 + 304 \cdot 9$
Вычислим каждое произведение по отдельности:
$304 \cdot 9 = 2736$
$304 \cdot 20 = 6080$
Теперь сложим полученные результаты:
$2736 + 6080 = 8816$
Ответ: 8816

3) Для того чтобы найти произведение $5\;245 \cdot 67$, представим число $67$ в виде суммы $60 + 7$.
$5\;245 \cdot 67 = 5\;245 \cdot (60 + 7) = 5\;245 \cdot 60 + 5\;245 \cdot 7$
Вычислим по частям:
$5\;245 \cdot 7 = 36\;715$
$5\;245 \cdot 60 = 314\;700$
Сложим результаты:
$36\;715 + 314\;700 = 351\;415$
Ответ: 351415

4) Чтобы найти произведение $591 \cdot 289$, представим $289$ как $200 + 80 + 9$.
$591 \cdot 289 = 591 \cdot (200 + 80 + 9) = 591 \cdot 200 + 591 \cdot 80 + 591 \cdot 9$
Вычислим по частям:
$591 \cdot 9 = 5\;319$
$591 \cdot 80 = 47\;280$
$591 \cdot 200 = 118\;200$
Сложим результаты:
$5\;319 + 47\;280 + 118\;200 = 170\;799$
Ответ: 170799

5) Чтобы найти произведение $465 \cdot 506$, представим $506$ как $500 + 6$.
$465 \cdot 506 = 465 \cdot (500 + 6) = 465 \cdot 500 + 465 \cdot 6$
Вычислим по частям:
$465 \cdot 6 = 2\;790$
$465 \cdot 500 = 232\;500$
Сложим результаты:
$2\;790 + 232\;500 = 235\;290$
Ответ: 235290

6) Чтобы найти произведение $328 \cdot 406$, представим $406$ как $400 + 6$.
$328 \cdot 406 = 328 \cdot (400 + 6) = 328 \cdot 400 + 328 \cdot 6$
Вычислим по частям:
$328 \cdot 6 = 1\;968$
$328 \cdot 400 = 131\;200$
Сложим результаты:
$1\;968 + 131\;200 = 133\;168$
Ответ: 133168

7) Для вычисления произведения $934 \cdot 260$ удобно сначала умножить $934$ на $26$, а затем результат умножить на $10$.
Представим $26$ как $20 + 6$:
$934 \cdot 26 = 934 \cdot (20 + 6) = 934 \cdot 20 + 934 \cdot 6$
Вычислим по частям:
$934 \cdot 6 = 5\;604$
$934 \cdot 20 = 18\;680$
Сложим результаты:
$5\;604 + 18\;680 = 24\;284$
Теперь умножим на $10$:
$24\;284 \cdot 10 = 242\;840$
Ответ: 242840

8) Чтобы найти произведение $2\;468 \cdot 359$, представим $359$ как $300 + 50 + 9$.
$2\;468 \cdot 359 = 2\;468 \cdot (300 + 50 + 9) = 2\;468 \cdot 300 + 2\;468 \cdot 50 + 2\;468 \cdot 9$
Вычислим по частям:
$2\;468 \cdot 9 = 22\;212$
$2\;468 \cdot 50 = 123\;400$
$2\;468 \cdot 300 = 740\;400$
Сложим результаты:
$22\;212 + 123\;400 + 740\;400 = 886\;012$
Ответ: 886012

9) Чтобы найти произведение $1\;234 \cdot 2\;007$, представим $2\;007$ как $2000 + 7$.
$1\;234 \cdot 2\;007 = 1\;234 \cdot (2000 + 7) = 1\;234 \cdot 2000 + 1\;234 \cdot 7$
Вычислим по частям:
$1\;234 \cdot 7 = 8\;638$
$1\;234 \cdot 2000 = 2\;468\;000$
Сложим результаты:
$8\;638 + 2\;468\;000 = 2\;476\;638$
Ответ: 2476638

387. Вычислите:

1) $704 \cdot 69 + 1\ 424$;

2) $412 \cdot 42 - 7\ 304$;

3) $(938 - 543) \cdot 34$;

4) $85 \cdot (870 - 567)$;

5) $(294 + 16) \cdot (348 - 279)$;

6) $294 + 16 \cdot 348 - 279$;

7) $(294 + 16) \cdot 348 - 279$;

8) $294 + 16 \cdot (348 - 279)$.

1) $704 \cdot 69 + 1\,424$

Решим по действиям. Сначала выполним умножение, затем сложение.
1. $704 \cdot 69 = 48\,576$
2. $48\,576 + 1\,424 = 50\,000$
Ответ: 50 000

2) $412 \cdot 42 - 7\,304$

Сначала выполним умножение, а затем вычитание.
1. $412 \cdot 42 = 17\,304$
2. $17\,304 - 7\,304 = 10\,000$
Ответ: 10 000

3) $(938 - 543) \cdot 34$

Сначала выполним действие в скобках, а затем умножение.
1. $938 - 543 = 395$
2. $395 \cdot 34 = 13\,430$
Ответ: 13 430

4) $85 \cdot (870 - 567)$

Сначала выполним вычитание в скобках, затем умножение.
1. $870 - 567 = 303$
2. $85 \cdot 303 = 25\,755$
Ответ: 25 755

5) $(294 + 16) \cdot (348 - 279)$

Сначала выполним действия в обеих скобках, затем умножим результаты.
1. $294 + 16 = 310$
2. $348 - 279 = 69$
3. $310 \cdot 69 = 21\,390$
Ответ: 21 390

6) $294 + 16 \cdot 348 - 279$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение и вычитание слева направо.
1. $16 \cdot 348 = 5\,568$
2. $294 + 5\,568 = 5\,862$
3. $5\,862 - 279 = 5\,583$
Ответ: 5 583

7) $(294 + 16) \cdot 348 - 279$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. $294 + 16 = 310$
2. $310 \cdot 348 = 107\,880$
3. $107\,880 - 279 = 107\,601$
Ответ: 107 601

8) $294 + 16 \cdot (348 - 279)$

Сначала выполняем вычитание в скобках, затем умножение, и в конце сложение.
1. $348 - 279 = 69$
2. $16 \cdot 69 = 1\,104$
3. $294 + 1\,104 = 1\,398$
Ответ: 1 398

388. Вычислите:

1) $603 \cdot 84 + 2\ 536$;

2) $318 \cdot 56 - 5\ 967$;

3) $64 \cdot 96 - 77$;

4) $64 \cdot (96 - 77)$.

1) $603 \cdot 84 + 2 536$

Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Выполним умножение:
$603 \cdot 84 = 50 652$.

2. К полученному результату прибавим $2 536$:
$50 652 + 2 536 = 53 188$.

Таким образом, $603 \cdot 84 + 2 536 = 53 188$.
Ответ: 53188

2) $318 \cdot 56 - 5 967$

В данном выражении сначала выполняется умножение, а после него вычитание.

1. Выполним умножение:
$318 \cdot 56 = 17 808$.

2. Из полученного произведения вычтем $5 967$:
$17 808 - 5 967 = 11 841$.

Следовательно, $318 \cdot 56 - 5 967 = 11 841$.
Ответ: 11841

3) $64 \cdot 96 - 77$

Порядок действий аналогичен предыдущему примеру: сначала умножение, затем вычитание.

1. Вычислим произведение чисел:
$64 \cdot 96 = 6 144$.

2. Выполним вычитание:
$6 144 - 77 = 6 067$.

Значение выражения равно $6 067$.
Ответ: 6067

4) $64 \cdot (96 - 77)$

В этом выражении есть скобки, поэтому действие в скобках выполняется в первую очередь.

1. Выполним вычитание в скобках:
$96 - 77 = 19$.

2. Теперь умножим $64$ на результат, полученный в скобках:
$64 \cdot 19 = 1 216$.

В результате получаем $64 \cdot (96 - 77) = 1 216$.
Ответ: 1216

389. Вычислите значение выражения:

1) $17x + 432$, если $x = 58$;

2) $(739 - x) \cdot y$, если $x = 554$, $y = 4\ 900$.

1) Для того чтобы вычислить значение выражения $17x + 432$, если $x = 58$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение и выполнить вычисления в соответствии с порядком действий.

Подставляем $x = 58$:

$17 \cdot 58 + 432$

Первым действием выполняем умножение:

$17 \cdot 58 = 986$

Вторым действием выполняем сложение:

$986 + 432 = 1418$

Ответ: 1418

2) Для того чтобы вычислить значение выражения $(739 - x) \cdot y$, если $x = 554$ и $y = 4900$, необходимо подставить данные значения $x$ и $y$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $x = 554$ и $y = 4900$:

$(739 - 554) \cdot 4900$

Первым действием выполняем вычитание в скобках:

$739 - 554 = 185$

Вторым действием выполняем умножение:

$185 \cdot 4900 = 906500$

Ответ: 906500

390. Вычислите значение выражения:

1) $976 - 24x$, если $x = 36$;

2) $x \cdot 63 - y$, если $x = 367$, $y = 19742$.

1) Чтобы найти значение выражения $976 - 24x$, если $x = 36$, подставим числовое значение $x$ в выражение:

$976 - 24 \cdot 36$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполним умножение:

$24 \cdot 36 = 864$

Теперь выполним вычитание:

$976 - 864 = 112$

Ответ: 112

2) Чтобы найти значение выражения $x \cdot 63 - y$, если $x = 367$ и $y = 19742$, подставим числовые значения $x$ и $y$ в выражение:

$367 \cdot 63 - 19742$

Сначала выполним умножение:

$367 \cdot 63 = 23121$

Теперь выполним вычитание:

$23121 - 19742 = 3379$

Ответ: 3379

391. Выполните умножение:

1) $693 \cdot 100;$

2) $974 \cdot 1000;$

3) $540 \cdot 20;$

4) $120 \cdot 400;$

5) $760 \cdot 350;$

6) $460 \cdot 1800.$

1) Чтобы умножить число на 100, необходимо приписать к этому числу два нуля справа.

$693 \cdot 100 = 69300$

Ответ: 69300.

2) Чтобы умножить число на 1000, необходимо приписать к этому числу три нуля справа.

$974 \cdot 1000 = 974000$

Ответ: 974000.

3) Чтобы перемножить круглые числа, можно выполнить умножение, не обращая внимания на нули, а затем к полученному результату приписать столько нулей, сколько их в обоих множителях вместе. В данном случае в числах 540 и 20 всего два нуля.

Умножим $54$ на $2$:
$54 \cdot 2 = 108$

Теперь припишем к результату два нуля:
$540 \cdot 20 = 10800$

Ответ: 10800.

4) Умножим числа, отбросив нули ($12$ и $4$), а затем к результату припишем общее количество нулей (один ноль от 120 и два нуля от 400, итого три нуля).

Умножим $12$ на $4$:
$12 \cdot 4 = 48$

Теперь припишем к результату три нуля:
$120 \cdot 400 = 48000$

Ответ: 48000.

5) Сначала перемножим $76$ и $35$, а затем к результату припишем два нуля (по одному от каждого множителя).

Выполним умножение $76$ на $35$:
$76 \cdot 35 = 76 \cdot (30 + 5) = 76 \cdot 30 + 76 \cdot 5 = 2280 + 380 = 2660$

Теперь к полученному числу $2660$ припишем еще два нуля от множителей $760$ и $350$. Но так как мы умножали $76 \cdot 35$ и получили $2660$, а не $760 \cdot 350$, то правильнее будет сказать, что мы к произведению $2660$ приписываем два нуля, которые мы изначально убрали.
$760 \cdot 350 = 266000$

Ответ: 266000.

6) Сначала перемножим $46$ и $18$, а затем к результату припишем три нуля (один от 460 и два от 1800).

Выполним умножение $46$ на $18$:
$46 \cdot 18 = 46 \cdot (10 + 8) = 46 \cdot 10 + 46 \cdot 8 = 460 + 368 = 828$

Теперь припишем к полученному числу $828$ три нуля:
$460 \cdot 1800 = 828000$

Ответ: 828000.

392. Выполните умножение:

1) $214 \cdot 10$;

2) $100 \cdot 328$;

3) $10000 \cdot 546$;

4) $140 \cdot 80$;

5) $580 \cdot 240$;

6) $270 \cdot 3000$.

1) Для того чтобы умножить натуральное число на 10, нужно приписать к этому числу справа один ноль.
$214 \cdot 10 = 2140$.
Ответ: 2140.

2) Для того чтобы умножить натуральное число на 100, нужно приписать к этому числу справа два ноля.
$100 \cdot 328 = 32800$.
Ответ: 32 800.

3) Для того чтобы умножить натуральное число на 10 000, нужно приписать к этому числу справа четыре ноля.
$10000 \cdot 546 = 5460000$.
Ответ: 5 460 000.

4) Чтобы перемножить два числа, оканчивающихся нулями, нужно сначала перемножить их, отбросив нули, а затем к полученному результату приписать справа столько нулей, сколько их в обоих множителях вместе.
Умножаем 14 на 8 и приписываем два нуля (по одному от каждого множителя).
$14 \cdot 8 = 112$.
$140 \cdot 80 = 11200$.
Ответ: 11 200.

5) Умножаем 58 на 24, а затем к результату приписываем два нуля.
$58 \cdot 24 = 58 \cdot (20 + 4) = 58 \cdot 20 + 58 \cdot 4 = 1160 + 232 = 1392$.
Теперь приписываем два нуля к числу 1392.
$580 \cdot 240 = 139200$.
Ответ: 139 200.

6) Умножаем 27 на 3, а затем к результату приписываем четыре нуля (один от числа 270 и три от числа 3000).
$27 \cdot 3 = 81$.
Теперь приписываем четыре нуля к числу 81.
$270 \cdot 3000 = 810000$.
Ответ: 810 000.

393. Готовясь к школе, Буратино купил 34 тетради по 12 сольдо и 18 тетрадей по 16 сольдо. Сколько сольдо заплатил Буратино за все тетради?

Чтобы найти, сколько всего сольдо заплатил Буратино, необходимо сначала рассчитать стоимость каждой покупки отдельно, а затем сложить полученные суммы.

1. Сначала рассчитаем стоимость 34 тетрадей по 12 сольдо каждая. Для этого умножим количество тетрадей на их цену:
$34 \times 12 = 408$ (сольдо) – стоимость первой партии тетрадей.

2. Затем рассчитаем стоимость 18 тетрадей по 16 сольдо каждая:
$18 \times 16 = 288$ (сольдо) – стоимость второй партии тетрадей.

3. Теперь сложим стоимость обеих партий, чтобы найти общую сумму, потраченную Буратино:
$408 + 288 = 696$ (сольдо).

Ответ: 696 сольдо.