Страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте сочетательное свойство умножения.

1.

Сочетательное свойство умножения (также известное как ассоциативный закон умножения) — это одно из фундаментальных свойств арифметических операций. Оно гласит, что результат умножения трех или более сомножителей не зависит от того, как они сгруппированы, то есть от порядка расстановки скобок.

Словесная формулировка правила звучит так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В общем виде для любых чисел $a$, $b$ и $c$ сочетательное свойство умножения записывается с помощью следующей формулы:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Это свойство позволяет упрощать вычисления, выбирая наиболее удобный порядок умножения. Например, рассмотрим вычисление произведения $125 \cdot 7 \cdot 8$.

Если считать по порядку:

$(125 \cdot 7) \cdot 8 = 875 \cdot 8 = 7000$

Если сгруппировать множители иначе, используя сочетательное свойство:

$125 \cdot (7 \cdot 8) = 125 \cdot 56 = 7000$

А если также применить переместительное свойство и сгруппировать $125$ и $8$, вычисления станут еще проще:

$(125 \cdot 8) \cdot 7 = 1000 \cdot 7 = 7000$

Как видно из примера, результат не меняется, но правильная группировка сомножителей может значительно облегчить расчеты.

Ответ: Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

2. Как записывают в буквенном виде сочетательное свойство умножения?

Сочетательное свойство умножения (также известное как ассоциативность умножения) гласит, что результат умножения трех или более сомножителей не зависит от порядка, в котором расставлены скобки, определяющие последовательность вычислений. Иными словами, группировать множители можно любым способом.

Сформулировать это свойство можно так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Для любых чисел a, b и c это свойство в буквенном виде записывается с помощью следующей формулы:

$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$

Например, проверим это свойство на числах 5, 4 и 3:

Сначала сгруппируем первые два числа: $(5 \cdot 4) \cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$.

Теперь сгруппируем вторые два числа: $5 \cdot (4 \cdot 3) = 5 \cdot 12 = 60$.

Результат в обоих случаях одинаков, что и демонстрирует сочетательное свойство умножения.

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

3. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно сложения, также известное как дистрибутивный закон, утверждает, что для умножения числа на сумму двух чисел можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные произведения.

В виде формулы это свойство записывается следующим образом для любых чисел $a$, $b$ и $c$:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Это равенство верно и в том случае, когда множитель стоит после суммы:

$(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Пример использования:

Вычислим значение выражения $5 \cdot (10 + 4)$ двумя способами.

1. Сначала выполним действие в скобках, а затем умножение:

   $5 \cdot (10 + 4) = 5 \cdot 14 = 70$

2. Применим распределительное свойство:

   $5 \cdot (10 + 4) = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 4 = 50 + 20 = 70$

Как видно из примера, результаты в обоих случаях одинаковы, что подтверждает верность свойства.

Ответ: Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Формула: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

4. Как записывают в буквенном виде распределительное свойство умножения относительно сложения? Вычитания?

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Это свойство также называют законом дистрибутивности. В буквенном виде его записывают следующими формулами:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Эти равенства верны для любых чисел $a$, $b$ и $c$.

Ответ: $a(b+c)=ab+ac$ или $(a+b)c=ac+bc$.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. В буквенном виде это свойство записывается следующими формулами:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Эти равенства верны для любых чисел $a$, $b$ и $c$.

Ответ: $a(b-c)=ab-ac$ или $(a-b)c=ac-bc$.

1. Заполните цепочку вычислений:

$\boxed{14} \xrightarrow{\cdot 3} \circ \xrightarrow{+ 18} \circ \xrightarrow{\cdot 5} \circ \xrightarrow{- 125} \square$

Чтобы заполнить данную цепочку вычислений, необходимо последовательно выполнить все указанные арифметические действия, начиная с числа 14.

Шаг 1: Первым действием является умножение. Умножаем начальное число 14 на 3.

$14 \cdot 3 = 42$

В первый круг вписываем число 42.

Шаг 2: Далее к результату первого действия, числу 42, прибавляем 18.

$42 + 18 = 60$

Во второй круг вписываем число 60.

Шаг 3: Полученный результат, 60, умножаем на 5.

$60 \cdot 5 = 300$

В третий круг вписываем число 300.

Шаг 4: Последним действием вычитаем 125 из результата предыдущего шага.

$300 - 125 = 175$

В конечный квадрат вписываем число 175.

Таким образом, вся заполненная цепочка вычислений выглядит следующим образом: 14 → 42 → 60 → 300 → 175.

Ответ: 175.