Страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

441. Выполните умножение:

1) 8 ц 26 кг $\cdot$ 27;

2) 14 р. 80 к. $\cdot$ 406;

3) 6 т 45 кг $\cdot$ 82;

4) 5 м 8 см $\cdot$ 42;

5) 7 мин 5 с $\cdot$ 24;

6) 4 сут 6 ч $\cdot$ 12.

1) 8 ц 26 кг ⋅ 27

Для выполнения умножения составного именованного числа на натуральное число, можно умножить каждую единицу измерения отдельно, а затем выполнить преобразование и сложение.

1. Умножим килограммы: $26 \text{ кг} \cdot 27 = 702 \text{ кг}$.
2. Умножим центнеры: $8 \text{ ц} \cdot 27 = 216 \text{ ц}$.
3. Сложим полученные значения: $216 \text{ ц} + 702 \text{ кг}$.
4. Переведем килограммы в центнеры, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
   $702 \text{ кг} = 700 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 7 \text{ ц } 2 \text{ кг}$.
5. Сложим центнеры: $216 \text{ ц} + 7 \text{ ц} = 223 \text{ ц}$.

Итоговый результат: $223 \text{ ц } 2 \text{ кг}$.

Ответ: 223 ц 2 кг.

2) 14 р. 80 к. ⋅ 406

Умножим каждую денежную единицу на множитель.

1. Умножим копейки: $80 \text{ к.} \cdot 406 = 32480 \text{ к.}$.
2. Умножим рубли: $14 \text{ р.} \cdot 406 = 5684 \text{ р.}$.
3. Сложим полученные значения: $5684 \text{ р.} + 32480 \text{ к.}$.
4. Переведем копейки в рубли, зная, что $1 \text{ р.} = 100 \text{ к.}$.
   $32480 \text{ к.} = 32400 \text{ к.} + 80 \text{ к.} = 324 \text{ р. } 80 \text{ к.}$.
5. Сложим рубли: $5684 \text{ р.} + 324 \text{ р.} = 6008 \text{ р.}$.

Итоговый результат: $6008 \text{ р. } 80 \text{ к.}$.

Ответ: 6008 р. 80 к.

3) 6 т 45 кг ⋅ 82

Умножим каждую единицу массы на множитель.

1. Умножим килограммы: $45 \text{ кг} \cdot 82 = 3690 \text{ кг}$.
2. Умножим тонны: $6 \text{ т} \cdot 82 = 492 \text{ т}$.
3. Сложим полученные значения: $492 \text{ т} + 3690 \text{ кг}$.
4. Переведем килограммы в тонны, зная, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
   $3690 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 690 \text{ кг} = 3 \text{ т } 690 \text{ кг}$.
5. Сложим тонны: $492 \text{ т} + 3 \text{ т} = 495 \text{ т}$.

Итоговый результат: $495 \text{ т } 690 \text{ кг}$.

Ответ: 495 т 690 кг.

4) 5 м 8 см ⋅ 42

Умножим каждую единицу длины на множитель.

1. Умножим сантиметры: $8 \text{ см} \cdot 42 = 336 \text{ см}$.
2. Умножим метры: $5 \text{ м} \cdot 42 = 210 \text{ м}$.
3. Сложим полученные значения: $210 \text{ м} + 336 \text{ см}$.
4. Переведем сантиметры в метры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
   $336 \text{ см} = 300 \text{ см} + 36 \text{ см} = 3 \text{ м } 36 \text{ см}$.
5. Сложим метры: $210 \text{ м} + 3 \text{ м} = 213 \text{ м}$.

Итоговый результат: $213 \text{ м } 36 \text{ см}$.

Ответ: 213 м 36 см.

5) 7 мин 5 с ⋅ 24

Умножим каждую единицу времени на множитель.

1. Умножим секунды: $5 \text{ с} \cdot 24 = 120 \text{ с}$.
2. Умножим минуты: $7 \text{ мин} \cdot 24 = 168 \text{ мин}$.
3. Сложим полученные значения: $168 \text{ мин} + 120 \text{ с}$.
4. Переведем секунды в минуты, зная, что $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
   $120 \text{ с} = 2 \text{ мин}$.
5. Сложим минуты: $168 \text{ мин} + 2 \text{ мин} = 170 \text{ мин}$.
6. Для удобства представим результат в более крупных единицах, зная, что $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
   $170 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 50 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.

Ответ: 2 ч 50 мин.

6) 4 сут 6 ч ⋅ 12

Умножим каждую единицу времени на множитель.

1. Умножим часы: $6 \text{ ч} \cdot 12 = 72 \text{ ч}$.
2. Умножим сутки: $4 \text{ сут} \cdot 12 = 48 \text{ сут}$.
3. Сложим полученные значения: $48 \text{ сут} + 72 \text{ ч}$.
4. Переведем часы в сутки, зная, что $1 \text{ сут} = 24 \text{ ч}$.
   $72 \text{ ч} = 3 \cdot 24 \text{ ч} = 3 \text{ сут}$.
5. Сложим сутки: $48 \text{ сут} + 3 \text{ сут} = 51 \text{ сут}$.

Итоговый результат: $51 \text{ сут}$.

Ответ: 51 сут.

442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:

1) от 1 до 10 включительно;

2) от 15 до 24 включительно;

3) от 10 до 30 включительно;

4) от 1 до 100 включительно?

Количество нулей, на которое оканчивается произведение натуральных чисел, определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении. Поскольку в любом произведении последовательных натуральных чисел множитель 2 встречается чаще, чем множитель 5, то количество нулей равно количеству множителей 5.

1) от 1 до 10 включительно;

Рассмотрим произведение $1 \times 2 \times \dots \times 10$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 5 и 10.
Число 5 ($5^1$) дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \times 5$) дает один множитель 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2.

2) от 15 до 24 включительно;

Рассмотрим произведение $15 \times 16 \times \dots \times 24$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 15 и 20.
Число 15 ($3 \times 5$) дает один множитель 5.
Число 20 ($4 \times 5$) дает один множитель 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2.

3) от 10 до 30 включительно;

Рассмотрим произведение $10 \times 11 \times \dots \times 30$. В этом диапазоне на 5 делятся числа 10, 15, 20, 25, 30.
Числа 10, 15, 20, 30 дают по одному множителю 5.
Число 25 ($5^2$) дает два множителя 5.
Суммарное количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6$.
Следовательно, произведение оканчивается шестью нулями.

Ответ: 6.

4) от 1 до 100 включительно?

Рассмотрим произведение $1 \times 2 \times \dots \times 100 = 100!$. Чтобы найти количество множителей 5, нужно найти сумму количества чисел, делящихся на 5, количества чисел, делящихся на 25 (так как они содержат дополнительный множитель 5), количества чисел, делящихся на 125 ($5^3$), и так далее.
Количество чисел, кратных 5: $k_5 = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.
Количество чисел, кратных 25: $k_{25} = \lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.
Количество чисел, кратных 125: $k_{125} = \lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$.
Общее количество множителей 5 равно $k_5 + k_{25} + k_{125} + \dots = 20 + 4 = 24$.
Следовательно, произведение оканчивается 24 нулями.

Ответ: 24.

443. Угол $ABC$ — прямой, луч $BP$ — биссектриса угла $ABK$, луч $BM$ — биссектриса угла $CBK$ (рис. 145). Какова градусная мера угла $MBP$?

Рис. 145

По условию задачи, угол $ABC$ является прямым, что означает, что его градусная мера равна $90^\circ$.

$\angle ABC = 90^\circ$

Луч $BP$ является биссектрисой угла $ABK$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно:

$\angle PBK = \frac{1}{2} \angle ABK$

Луч $BM$ является биссектрисой угла $CBK$. Аналогично, он делит этот угол пополам:

$\angle MBK = \frac{1}{2} \angle CBK$

Угол $MBP$, градусную меру которого нам нужно найти, состоит из двух смежных углов: $\angle MBK$ и $\angle PBK$. Таким образом, его величина равна их сумме:

$\angle MBP = \angle MBK + \angle PBK$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle MBK$ и $\angle PBK$, полученные ранее:

$\angle MBP = \frac{1}{2} \angle CBK + \frac{1}{2} \angle ABK$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MBP = \frac{1}{2} (\angle CBK + \angle ABK)$

Из рисунка видно, что сумма углов $\angle CBK$ и $\angle ABK$ образует исходный прямой угол $ABC$.

$\angle CBK + \angle ABK = \angle ABC = 90^\circ$

Подставим это значение в нашу формулу для угла $MBP$:

$\angle MBP = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

444. По двору бегали котята и цыплята. Вместе у них было 14 голов и 38 ног. Сколько котят и сколько цыплят бегало по двору?

Для решения этой задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество котят как $x$, а количество цыплят — как $y$.

Каждое животное имеет одну голову, а всего голов 14. Составим первое уравнение:

$x + y = 14$

У котенка 4 ноги, а у цыпленка — 2. Всего ног 38. Составим второе уравнение:

$4x + 2y = 38$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 14 \\ 4x + 2y = 38 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 14 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$4x + 2(14 - x) = 38$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$4x + 28 - 2x = 38$

$2x + 28 = 38$

$2x = 38 - 28$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Мы нашли количество котят — их 5.

Теперь найдем количество цыплят, подставив значение $x$ в выражение $y = 14 - x$:

$y = 14 - 5$

$y = 9$

Количество цыплят — 9.

Проверим полученные результаты:

Количество голов: $5$ котят $+ 9$ цыплят $= 14$ голов.

Количество ног: $(5 \cdot 4) + (9 \cdot 2) = 20 + 18 = 38$ ног.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: по двору бегало 5 котят и 9 цыплят.

445. Семья из двух взрослых и ребёнка может поехать на отдых поездом или на автомобиле. Билет на поезд для одного взрослого стоит 1 440 р., а для ребёнка в два раза меньше. Автомобиль расходует 12 л бензина на 100 км, а цена одного литра бензина составляет 40 р. Расстояние до места отдыха равно 600 км. Каким видом транспорта этой семье дешевле доехать до места отдыха?

Чтобы определить, какой вид транспорта для семьи будет дешевле, необходимо рассчитать стоимость поездки в каждом из двух случаев: на поезде и на автомобиле, а затем сравнить полученные результаты.

1. Расчет стоимости поездки на поезде

Семья состоит из двух взрослых и одного ребенка.
Стоимость билета для одного взрослого составляет $1440$ рублей.
Стоимость билета для ребенка в два раза меньше, чем для взрослого. Найдем ее:
$1440 \text{ р.} \div 2 = 720 \text{ р.}$
Теперь рассчитаем общую стоимость билетов для всей семьи:
$(2 \times 1440 \text{ р.}) + 720 \text{ р.} = 2880 \text{ р.} + 720 \text{ р.} = 3600 \text{ р.}$
Таким образом, поездка на поезде обойдется семье в $3600$ рублей.

2. Расчет стоимости поездки на автомобиле

Расстояние до места отдыха составляет $600$ км.
Автомобиль расходует $12$ литров бензина на $100$ км. Сначала найдем, сколько всего бензина потребуется на поездку:
$\frac{600 \text{ км}}{100 \text{ км}} \times 12 \text{ л} = 6 \times 12 \text{ л} = 72 \text{ л}$
Цена одного литра бензина составляет $40$ рублей. Теперь рассчитаем общую стоимость бензина:
$72 \text{ л} \times 40 \frac{\text{р.}}{\text{л}} = 2880 \text{ р.}$
Таким образом, поездка на автомобиле обойдется в $2880$ рублей.

3. Сравнение стоимостей и вывод

Сравним затраты на поездку разными видами транспорта:
Стоимость поездки на поезде: $3600$ рублей.
Стоимость поездки на автомобиле: $2880$ рублей.
$2880 \text{ р.} < 3600 \text{ р.}$
Следовательно, поездка на автомобиле для семьи будет дешевле.

Ответ: этой семье дешевле доехать до места отдыха на автомобиле.

446. В 5 классе учатся трое друзей: Миша, Дима и Саша. Один из них занимается футболом, второй — плаванием, а третий — боксом. У футболиста нет ни брата, ни сестры, он самый младший из друзей. Миша старше боксёра и дружит с сестрой Димы. Каким видом спорта занимается каждый из друзей?

Для решения этой логической задачи проанализируем все условия по шагам, чтобы определить, каким видом спорта занимается каждый из друзей.

Сначала обратим внимание на условие: «Миша ... дружит с сестрой Димы». Из этого следует, что у Димы есть сестра. Другое условие гласит: «У футболиста нет ни брата, ни сестры». Сопоставив эти два факта, можно сделать однозначный вывод, что Дима не может быть футболистом.

Далее рассмотрим условие: «Миша старше боксёра». Это означает две вещи. Во-первых, Миша сам не занимается боксом. Во-вторых, Миша не является самым младшим из друзей, так как он старше как минимум одного из них. А по условию, «футболист ... он самый младший из друзей». Поскольку Миша не самый младший, он не может быть футболистом.

Теперь мы можем определить вид спорта для Миши. Мы знаем, что он не футболист и не боксёр. Из трёх перечисленных видов спорта (футбол, плавание, бокс) для него остаётся только плавание. Таким образом, Миша занимается плаванием.

Осталось распределить футбол и бокс между Димой и Сашей. Мы уже установили, что Дима не футболист. Следовательно, футболом должен заниматься Саша. Итак, Саша занимается футболом.

Методом исключения Диме остаётся последний вид спорта — бокс. Следовательно, Дима занимается боксом.

Проверим полученное решение на соответствие всем условиям. Миша (пловец) старше боксёра (Димы). У Димы есть сестра, с которой дружит Миша. Футболист (Саша) — самый младший из друзей и у него нет братьев и сестёр. Все условия выполнены.

Ответ: Миша занимается плаванием, Дима — боксом, а Саша — футболом.