Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

470. Из городов Цветочный и Солнечный, расстояние между которыми равно $136 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу Винтик и Шпунтик. Винтик двигался со скоростью $16 \text{ км/ч}$. С какой скоростью ехал Шпунтик, если они встретились через $4 \text{ ч}$ после выезда?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость Шпунтика. Обозначим известные нам данные:

• Расстояние между городами ($S$): 136 км.
• Скорость Винтика ($v_1$): 16 км/ч.
• Время до встречи ($t$): 4 ч.
• Скорость Шпунтика ($v_2$): ?

Поскольку Винтик и Шпунтик движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей. Общее расстояние, которое они преодолели вместе до встречи, равно расстоянию между городами.

1. Найдём скорость сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) можно вычислить, разделив общее расстояние на время до встречи:

$v_{сбл} = S \div t = 136 \text{ км} \div 4 \text{ ч} = 34 \text{ км/ч}$.

2. Найдём скорость Шпунтика.

Скорость сближения — это сумма скоростей Винтика и Шпунтика:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Чтобы найти скорость Шпунтика ($v_2$), нужно из скорости сближения вычесть скорость Винтика ($v_1$):

$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 34 \text{ км/ч} - 16 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

Ответ: 18 км/ч.

471. Расстояние между двумя городами равно 1 264 мили (1 сухопутная миля = 1 609 м). Из них одновременно вылетели навстречу друг другу два вертолёта и встретились через 8 ч после вылета. Скорость одного из вертолётов 82 миль/ч. С какой скоростью летел второй вертолёт?

Для решения задачи сначала найдем общую скорость, с которой вертолёты сближались. Эта скорость называется скоростью сближения. Поскольку они летели навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. Общее расстояние, которое они пролетели вместе до встречи, равно расстоянию между городами.

1. Найдем скорость сближения вертолётов.

Для этого разделим расстояние между городами на время до встречи:

$v_{сближения} = S / t = 1264 \text{ мили} / 8 \text{ ч} = 158 \text{ миль/ч}$

Таким образом, вертолёты приближались друг к другу со скоростью 158 миль/ч.

2. Найдем скорость второго вертолёта.

Скорость сближения равна сумме скоростей первого и второго вертолётов ($v_{сближения} = v_1 + v_2$). Чтобы найти скорость второго вертолёта, нужно из скорости сближения вычесть известную скорость первого вертолёта:

$v_2 = v_{сближения} - v_1 = 158 \text{ миль/ч} - 82 \text{ миль/ч} = 76 \text{ миль/ч}$

Ответ: скорость второго вертолёта 76 миль/ч.

472. В 6 ч утра из Мурома в Киев выехал со скоростью $9 \text{ км/ч}$ Илья Муромец. В 8 ч утра из Мурома в Киев выехал Алёша Попович и догнал Илью Муромца в 2 ч дня. С какой скоростью ехал Алёша Попович?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько времени был в пути Илья Муромец до того, как его догнал Алёша Попович. Илья Муромец выехал в 6 часов утра, а встреча произошла в 2 часа дня (то есть в 14:00).
Время в пути для Ильи Муромца: $14:00 - 6:00 = 8$ часов.

2. Рассчитаем расстояние, которое проехал Илья Муромец за это время. Это и будет расстояние от Мурома до места встречи.
Расстояние = Скорость × Время
$S = 9 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 72 \text{ км}$.

3. Теперь найдем, сколько времени был в пути Алёша Попович. Он выехал в 8 часов утра и догнал Илью Муромца в 14:00.
Время в пути для Алёши Поповича: $14:00 - 8:00 = 6$ часов.

4. Зная расстояние (72 км) и время (6 часов), которое Алёша Попович потратил на этот путь, мы можем найти его скорость.
Скорость = Расстояние / Время
$V = 72 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость Алёши Поповича была 12 км/ч.

473. В 8 ч 57 мин черепаха Катрина отправилась в путешествие из своего пруда в соседний. В 9 ч 5 мин из этого же пруда в том же направлении отправилась черепаха Виктория и догнала Катрину в 9 ч 29 мин. Найдите, с какой скоростью двигалась Катрина, если известно, что Виктория двигалась со скоростью 8 м/мин.

Для решения задачи последовательно выполним следующие действия:

1. Определим, сколько времени была в пути каждая черепаха до момента встречи.

Черепаха Катрина отправилась в 8 ч 57 мин, а встреча произошла в 9 ч 29 мин. Следовательно, её время в пути ($t_К$) составляет:

$t_К = 9 \text{ ч } 29 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 57 \text{ мин} = 32 \text{ мин}$

Черепаха Виктория отправилась в 9 ч 5 мин и догнала Катрину в 9 ч 29 мин. Её время в пути ($t_В$) составляет:

$t_В = 9 \text{ ч } 29 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 24 \text{ мин}$

2. Найдем расстояние от пруда до места встречи.

Это расстояние можно вычислить, используя данные о движении черепахи Виктории, так как её скорость известна. Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v_В$) на время в пути ($t_В$).

$S = v_В \cdot t_В = 8 \text{ м/мин} \times 24 \text{ мин} = 192 \text{ м}$

3. Вычислим скорость черепахи Катрины.

Поскольку обе черепахи стартовали из одного пруда и двигались в одном направлении до места встречи, они преодолели одинаковое расстояние — 192 м. Мы знаем, что Катрина была в пути 32 минуты. Чтобы найти её скорость ($v_К$), нужно пройденное расстояние ($S$) разделить на её время в пути ($t_К$).

$v_К = S / t_К = 192 \text{ м} / 32 \text{ мин} = 6 \text{ м/мин}$

Ответ: скорость Катрины 6 м/мин.

474. С двух станций, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно в одном направлении отправились два поезда. Впереди двигался поезд со скоростью 58 км/ч. Через 4 ч после начала движения его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда.

Для решения задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Поскольку поезда движутся в одном направлении, и второй поезд догоняет первый, скорость их сближения равна разности их скоростей.

Пусть $v_1$ — скорость первого поезда (который движется впереди), а $v_2$ — скорость второго поезда (который догоняет).
Дано:
$v_1 = 58$ км/ч
Начальное расстояние между поездами $S = 24$ км
Время, через которое второй поезд догнал первый, $t = 4$ ч

1. Скорость сближения ($v_{сбл}$) показывает, на сколько километров в час второй поезд сокращает расстояние до первого. Эту скорость можно найти, разделив начальное расстояние на время, за которое оно было преодолено:

$v_{сбл} = S / t = 24 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 6$ км/ч.

2. С другой стороны, скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей догоняющего и уезжающего объектов:

$v_{сбл} = v_2 - v_1$

3. Зная скорость сближения и скорость первого поезда, можем найти скорость второго поезда:

$v_2 = v_1 + v_{сбл}$

$v_2 = 58 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 64$ км/ч.

Ответ: 64 км/ч.

475. Расстояние между сёлами Грушевое и Яблоневое равно 30 км. Из этих сёл одновременно в одном направлении отправились казаки Серошапка и Черноус. Черноус скакал на коне со скоростью 9 км/ч и через 6 ч после начала движения догнал Серошапку, который шёл пешком. С какой скоростью шёл Серошапка?

Для решения этой задачи рассмотрим два способа.

Способ 1: Через скорость сближения

Когда один объект догоняет другой, движущийся в том же направлении, скорость, с которой сокращается расстояние между ними (скорость сближения), равна разности их скоростей. Пусть $V_Ч$ — скорость Черноуса (9 км/ч), а $V_С$ — искомая скорость Серошапки.

Скорость сближения $V_{сбл}$ равна:

$V_{сбл} = V_Ч - V_С$

За время $t = 6$ часов Черноус полностью сократил первоначальное расстояние $S = 30$ км. Используя формулу $S = V \times t$, получаем уравнение:

$S = V_{сбл} \times t$

$30 = (9 - V_С) \times 6$

Чтобы найти $V_С$, решим это уравнение. Разделим обе части на 6:

$30 / 6 = 9 - V_С$

$5 = 9 - V_С$

Теперь выразим $V_С$:

$V_С = 9 - 5$

$V_С = 4$ км/ч.

Способ 2: Через пройденные расстояния

1. Сначала найдём, какое расстояние проскакал Черноус за 6 часов до момента встречи. Для этого его скорость умножим на время:

$S_Ч = 9 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 54$ км.

2. В момент начала движения Серошапка был впереди Черноуса на 30 км. Это означает, что для того, чтобы догнать Серошапку, Черноус должен был проехать на 30 км больше. Следовательно, расстояние, которое прошёл Серошапка за то же время, равно:

$S_С = S_Ч - 30 \text{ км} = 54 \text{ км} - 30 \text{ км} = 24$ км.

3. Теперь, зная, что Серошапка прошёл 24 км за 6 часов, мы можем найти его скорость, разделив пройденное расстояние на время:

$V_С = S_С / t = 24 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 4$ км/ч.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 4 км/ч.

476. Расстояние между городками Сен-Жермен и Сен-Антуан равно 12 лье (старинная французская единица длины, 1 лье приблизительно равно 4 444 м). Из этих городков одновременно в одном направлении выехали Портос со скоростью 1 лье/ч и д'Артаньян со скоростью 3 лье/ч, причём Портос скакал впереди. Через сколько часов после выезда д'Артаньян догонит Портоса?

Это задача на движение вдогонку. Поскольку д'Артаньян движется быстрее Портоса, он будет сокращать расстояние между ними. Время, через которое он догонит Портоса, можно найти, разделив первоначальное расстояние на скорость их сближения.

1. Определение скорости сближения.
Скорость сближения — это разность скоростей д'Артаньяна (догоняющего) и Портоса (уезжающего).
Скорость д'Артаньяна: $v_{д} = 3$ лье/ч.
Скорость Портоса: $v_{П} = 1$ лье/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_{д} - v_{П} = 3 - 1 = 2$ лье/ч.
Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 2 лье.

2. Расчет времени до встречи.
Первоначальное расстояние между ними $S$ равно 12 лье. Чтобы найти время $t$, необходимо разделить расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{12 \text{ лье}}{2 \text{ лье/ч}} = 6$ ч.

(Информация о том, что 1 лье приблизительно равно 4444 м, в данной задаче является избыточной, так как все расчеты проводятся в лье и часах).

Ответ: д'Артаньян догонит Портоса через 6 часов.

477. Расстояние между островами Акулий и Китовый равно 48 морским милям ($1 \text{ морская миля} = 1852 \text{ м}$). От этих островов одновременно в одном направлении отчалили фрегаты «Отважный» и «Стремительный», причём «Отважный» плыл впереди «Стремительного». Скорость «Отважного» равна 12 миль/ч, а «Стремительного» — 18 миль/ч. Через сколько часов «Стремительный» догонит фрегат «Отважный»?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти, через сколько часов фрегат «Стремительный» догонит фрегат «Отважный», необходимо определить скорость их сближения, а затем разделить на нее первоначальное расстояние между ними.

Обозначим:
- $S$ — начальное расстояние между фрегатами, равное 48 морским милям.
- $v_{отв}$ — скорость фрегата «Отважный», равная 12 миль/ч.
- $v_{стр}$ — скорость фрегата «Стремительный», равная 18 миль/ч.

1. Сначала найдем скорость сближения фрегатов. Поскольку они движутся в одном направлении и «Стремительный» (более быстрый) догоняет «Отважный» (более медленный), скорость их сближения ($v_{сбл}$) будет равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_{стр} - v_{отв} = 18 \text{ миль/ч} - 12 \text{ миль/ч} = 6 \text{ миль/ч}$.
Это означает, что каждый час расстояние между фрегатами сокращается на 6 миль.

2. Теперь, зная скорость сближения и начальное расстояние, найдем время ($t$), через которое произойдет встреча. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{48 \text{ миль}}{6 \text{ миль/ч}} = 8 \text{ часов}$.

Таким образом, фрегат «Стремительный» догонит фрегат «Отважный» через 8 часов. Информация о том, что 1 морская миля равна 1852 м, в данной задаче является избыточной, так как все расчеты производятся в милях и часах.

Ответ: 8 часов.