Страница 130 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

511. Делимое увеличили в 3 раза. Как надо изменить делитель, чтобы частное:

1) увеличилось в 6 раз;

2) уменьшилось в 6 раз;

3) не изменилось?

Обозначим исходные делимое, делитель и частное буквами $a$, $b$ и $c$ соответственно. Связь между ними выражается формулой:

$c = \frac{a}{b}$

По условию задачи, делимое увеличили в 3 раза. Новое делимое $a_{новое}$ равно $3a$. Пусть новый делитель будет $b_{новое}$, а новое частное $c_{новое}$. Тогда новое равенство будет выглядеть так:

$c_{новое} = \frac{a_{новое}}{b_{новое}} = \frac{3a}{b_{новое}}$

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) увеличилось в 6 раз

В этом случае новое частное должно быть в 6 раз больше исходного: $c_{новое} = 6c$.

Подставим выражения для $c_{новое}$ и $c$:

$\frac{3a}{b_{новое}} = 6 \cdot \frac{a}{b}$

Чтобы найти, как связан новый делитель со старым, выразим $b_{новое}$. Можно сократить обе части уравнения на $a$ (если $a \neq 0$):

$\frac{3}{b_{новое}} = \frac{6}{b}$

Из этой пропорции находим $b_{новое}$:

$b_{новое} = \frac{3b}{6} = \frac{1}{2}b$

Это означает, что делитель нужно уменьшить в 2 раза (или разделить на 2).

Ответ: делитель нужно уменьшить в 2 раза.

2) уменьшилось в 6 раз

В этом случае новое частное должно быть в 6 раз меньше исходного: $c_{новое} = \frac{c}{6}$.

Подставим выражения для $c_{новое}$ и $c$:

$\frac{3a}{b_{новое}} = \frac{a}{6b}$

Сократим обе части на $a$:

$\frac{3}{b_{новое}} = \frac{1}{6b}$

Выразим $b_{новое}$:

$b_{новое} = 3 \cdot 6b = 18b$

Это означает, что делитель нужно увеличить в 18 раз.

Ответ: делитель нужно увеличить в 18 раз.

3) не изменилось

В этом случае новое частное должно быть равно исходному: $c_{новое} = c$.

Подставим выражения для $c_{новое}$ и $c$:

$\frac{3a}{b_{новое}} = \frac{a}{b}$

Сократим обе части на $a$:

$\frac{3}{b_{новое}} = \frac{1}{b}$

Выразим $b_{новое}$:

$b_{новое} = 3b$

Это означает, что делитель нужно увеличить в 3 раза, так же как и делимое.

Ответ: делитель нужно увеличить в 3 раза.

512. При каких значениях a верно равенство:

1) $a : 1 = a;$

2) $0 : a = 0;$

3) $a : a = 1;$

4) $a : 9 = 0;$

5) $16 : a = 0;$

6) $a : a = 0?`$

1) a : 1 = a; Данное равенство $a : 1 = a$ является одним из основных свойств деления. Любое число при делении на 1 равно самому себе. Это свойство выполняется для любого значения $a$, будь то целое число, дробь или ноль. Ответ: при любом значении $a$.

2) 0 : a = 0; Равенство $0 : a = 0$ верно, когда мы делим ноль на любое число. Однако существует одно важное ограничение в математике: на ноль делить нельзя. Поэтому делитель $a$ не может быть равен нулю. Таким образом, равенство верно для любого значения $a$, кроме нуля. Ответ: при любом значении $a$, кроме $a=0$.

3) a : a = 1; Равенство $a : a = 1$ верно, когда любое число делится само на себя. Результатом такого деления всегда будет 1. Исключением является случай, когда $a=0$. Выражение $0 : 0$ является неопределенностью, и деление на ноль не определено. Следовательно, равенство верно для любого значения $a$, не равного нулю. Ответ: при любом значении $a$, кроме $a=0$.

4) a : 9 = 0; В равенстве $a : 9 = 0$ переменная $a$ является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (0) умножить на делитель (9), то есть $a = 0 \times 9$. Выполнив умножение, получаем $a = 0$. Таким образом, равенство верно только при $a=0$. Ответ: при $a=0$.

5) 16 : a = 0; Рассмотрим равенство $16 : a = 0$. Чтобы частное от деления было равно нулю, делимое должно быть равно нулю. В данном случае делимое равно 16, что не является нулем. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором частное от деления 16 на $a$ было бы равно нулю. Ответ: нет таких значений $a$.

6) a : a = 0? Рассматриваем равенство $a : a = 0$. Как было показано в пункте 3, частное от деления любого ненулевого числа $a$ на само себя равно 1 ($a : a = 1$ при $a \neq 0$). Если же $a=0$, то выражение $0:0$ не определено. Таким образом, частное $a : a$ никогда не может быть равно нулю. Не существует таких значений $a$, для которых это равенство было бы верным. Ответ: нет таких значений $a$.

513. Вычислите удобным способом:

1) $(44 \cdot 58) : 11;$

2) $(69 \cdot 60) : 30;$

3) $(26 \cdot 20) : 13;$

4) $(63 \cdot 88) : 21;$

5) $(350 \cdot 48) : 70;$

6) $(47 \cdot 200) : 50;$

7) $(2 \cdot 17 \cdot 14) : 28;$

8) $(21 \cdot 18) : 14;$

9) $(5 \cdot 11 \cdot 32) : 16.$

1) Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на второй множитель. В данном случае удобнее разделить 44 на 11, а затем результат умножить на 58.
$(44 \cdot 58) : 11 = (44 : 11) \cdot 58 = 4 \cdot 58 = 232$.
Ответ: 232

2) Удобнее сначала разделить множитель 60 на 30, а затем умножить 69 на полученный результат.
$(69 \cdot 60) : 30 = 69 \cdot (60 : 30) = 69 \cdot 2 = 138$.
Ответ: 138

3) Удобнее сначала разделить множитель 26 на 13, а затем умножить результат на 20.
$(26 \cdot 20) : 13 = (26 : 13) \cdot 20 = 2 \cdot 20 = 40$.
Ответ: 40

4) Удобнее сначала разделить множитель 63 на 21, а затем умножить результат на 88.
$(63 \cdot 88) : 21 = (63 : 21) \cdot 88 = 3 \cdot 88 = 264$.
Ответ: 264

5) Удобнее сначала разделить множитель 350 на 70, а затем умножить результат на 48.
$(350 \cdot 48) : 70 = (350 : 70) \cdot 48 = 5 \cdot 48 = 240$.
Ответ: 240

6) Удобнее сначала разделить множитель 200 на 50, а затем умножить 47 на полученный результат.
$(47 \cdot 200) : 50 = 47 \cdot (200 : 50) = 47 \cdot 4 = 188$.
Ответ: 188

7) Воспользуемся сочетательным свойством умножения и сгруппируем множители так, чтобы их произведение было удобно делить на 28. Заметим, что $2 \cdot 14 = 28$.
$(2 \cdot 17 \cdot 14) : 28 = (17 \cdot (2 \cdot 14)) : 28 = (17 \cdot 28) : 28 = 17$.
Ответ: 17

8) Так как ни один из множителей (21 и 18) не делится на 14 нацело, можно представить деление в виде дроби и сократить её. Разделим 21 и 14 на их общий делитель 7, а затем 18 разделим на оставшийся в знаменателе 2.
$(21 \cdot 18) : 14 = \frac{21 \cdot 18}{14} = \frac{(21:7) \cdot 18}{(14:7)} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot (18:2) = 3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27

9) Сначала удобнее разделить 32 на 16. Затем, для удобства счета, сгруппируем множители 5 и 2.
$(5 \cdot 11 \cdot 32) : 16 = 5 \cdot 11 \cdot (32 : 16) = 5 \cdot 11 \cdot 2 = (5 \cdot 2) \cdot 11 = 10 \cdot 11 = 110$.
Ответ: 110

514. Вычислите удобным способом:

1) $(36 \cdot 21) : 12;$

2) $(40 \cdot 420) : 60;$

3) $(5 \cdot 6 \cdot 78) : 3;$

4) $(45 \cdot 63) : 81.$

1) $(36 \cdot 21) : 12$

Для вычисления удобным способом воспользуемся свойством деления произведения на число: чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на второй множитель. В данном случае удобно сначала разделить 36 на 12.

$(36 \cdot 21) : 12 = (36 : 12) \cdot 21 = 3 \cdot 21 = 63$

Ответ: 63

2) $(40 \cdot 420) : 60$

Применим то же свойство. Удобнее сначала разделить 420 на 60, так как они делятся нацело.

$(40 \cdot 420) : 60 = 40 \cdot (420 : 60) = 40 \cdot 7 = 280$

Ответ: 280

3) $(5 \cdot 6 \cdot 78) : 3$

В этом выражении удобно разделить один из множителей (6) на 3. Затем последовательно выполнить умножение.

$(5 \cdot 6 \cdot 78) : 3 = 5 \cdot (6 : 3) \cdot 78 = 5 \cdot 2 \cdot 78 = 10 \cdot 78 = 780$

Ответ: 780

4) $(45 \cdot 63) : 81$

Чтобы упростить вычисление, представим деление в виде дроби и сократим ее. Мы можем поочередно делить множители в числителе и знаменатель на их общие делители. Сначала разделим 45 и 81 на их общий делитель 9.

$(45 \cdot 63) : 81 = \frac{45 \cdot 63}{81} = \frac{(45:9) \cdot 63}{(81:9)} = \frac{5 \cdot 63}{9}$

Теперь разделим 63 на 9.

$\frac{5 \cdot 63}{9} = 5 \cdot (63:9) = 5 \cdot 7 = 35$

Ответ: 35

515. Раставьте в записи $7 \cdot 9 + 12 : 3 - 2$ скобки так, чтобы значение полученного выражения было равно:

1) 75;

2) 23.

1)

Чтобы получить значение выражения, равное 75, необходимо расставить скобки так, чтобы изменить стандартный порядок выполнения арифметических действий. Исходное выражение без скобок: $7 \cdot 9 + 12 : 3 - 2 = 63 + 4 - 2 = 65$.

Для получения 75, рассмотрим вариант, при котором последним действием будет сложение $63 + 12$. Чтобы получить 12 из части $12 : 3 - 2$, нужно сначала выполнить вычитание. Поставим скобки вокруг $3 - 2$.

Получаем выражение: $7 \cdot 9 + 12 : (3 - 2)$.

Проверим порядок действий и результат:

1. Действие в скобках: $3 - 2 = 1$.
2. Умножение: $7 \cdot 9 = 63$.
3. Деление: $12 : 1 = 12$.
4. Сложение: $63 + 12 = 75$.

Результат совпадает с требуемым.

Ответ: $7 \cdot 9 + 12 : (3 - 2)$.

2)

Чтобы получить значение выражения, равное 23, также изменим порядок действий с помощью скобок. Попробуем объединить в скобки первые три числа, чтобы операция деления выполнялась после сложения.

Получаем выражение: $(7 \cdot 9 + 12) : 3 - 2$.

Проверим порядок действий и результат:

1. Действия в скобках (сначала умножение, затем сложение):
   • $7 \cdot 9 = 63$.
   • $63 + 12 = 75$.
2. Деление: $75 : 3 = 25$.
3. Вычитание: $25 - 2 = 23$.

Результат совпадает с требуемым.

Ответ: $(7 \cdot 9 + 12) : 3 - 2$.

516. Расставьте в записи $4 \cdot 12 + 18 : 6 + 3$ скобки так, чтобы значение полученного выражения было равно:

1) 50;

2) 72.

1) 50;
Чтобы получить в результате 50, необходимо изменить порядок действий. Если мы выполним действия в исходном выражении по порядку, получим: $4 \cdot 12 + 18 : 6 + 3 = 48 + 3 + 3 = 54$. Нам нужно получить 50. Попробуем сгруппировать последние два числа в скобки.
Расставим скобки следующим образом: $4 \cdot 12 + 18 : (6 + 3)$.
Теперь выполним вычисления согласно правилам порядка действий (сначала в скобках, затем умножение и деление, потом сложение):
1. Сначала выполняем действие в скобках: $6 + 3 = 9$.
2. Теперь выражение выглядит так: $4 \cdot 12 + 18 : 9$.
3. Выполняем умножение: $4 \cdot 12 = 48$.
4. Выполняем деление: $18 : 9 = 2$.
5. Выполняем сложение: $48 + 2 = 50$.
Значение выражения равно 50, что соответствует условию.
Ответ: $4 \cdot 12 + 18 : (6 + 3)$.

2) 72.
Чтобы получить в результате 72, попробуем другой вариант расстановки скобок. Цель — найти комбинацию, которая приведёт к числу 72. Попробуем сгруппировать все числа после первого множителя.
Расставим скобки так: $4 \cdot (12 + 18 : 6 + 3)$.
Выполним вычисления:
1. Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первым действием будет деление: $18 : 6 = 3$.
2. Теперь выражение в скобках выглядит так: $(12 + 3 + 3)$.
3. Выполняем сложение в скобках: $12 + 3 + 3 = 18$.
4. Теперь исходное выражение свелось к: $4 \cdot 18$.
5. Выполняем умножение: $4 \cdot 18 = 72$.
Значение выражения равно 72, что соответствует условию.
Ответ: $4 \cdot (12 + 18 : 6 + 3)$.

517. Составьте числовое выражение с использованием только знаков четырёх арифметических действий и четырёх цифр 2 так, чтобы значение полученного выражения было равно:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5;

6) 6;

7) 8;

8) 10.

1) Чтобы получить 1, можно составить выражение, в котором делимое равно делителю. Используя четыре двойки, это можно записать так: $(2+2)/(2+2)$.
Проверим вычисление: $(2+2)/(2+2) = 4/4 = 1$.
Ответ: $(2+2)/(2+2)$

2) Чтобы получить 2, можно сложить две единицы. Каждую единицу можно получить, разделив 2 на 2. Таким образом, выражение будет выглядеть так: $2/2 + 2/2$.
Проверим вычисление: $2/2 + 2/2 = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $2/2 + 2/2$

3) Чтобы получить 3, можно сумму трёх двоек разделить на четвёртую двойку. Составим выражение: $(2+2+2)/2$.
Проверим вычисление: $(2+2+2)/2 = 6/2 = 3$.
Ответ: $(2+2+2)/2$

4) Чтобы получить 4, можно к произведению двух двоек прибавить их разность, умноженную на 0, но это не будет использовать все 4 двойки. Проще сложить три двойки и вычесть одну: $2+2+2-2$.
Проверим вычисление: $2+2+2-2 = 6-2 = 4$.
Другой вариант: $2*2-2+2=4$.
Ответ: $2+2+2-2$

5) Чтобы получить 5, можно к сумме двух двоек прибавить результат деления третьей двойки на четвертую: $2+2+2/2$.
Проверим вычисление: $2+2+2/2 = 4 + 1 = 5$.
Ответ: $2+2+2/2$

6) Чтобы получить 6, можно из произведения трёх двоек вычесть четвёртую двойку: $2*2*2-2$.
Проверим вычисление: $2*2*2-2 = 8-2=6$.
Ответ: $2*2*2-2$

7) Чтобы получить 8, можно сложить результат произведения двух двоек с двумя другими двойками: $2*2+2+2$.
Проверим вычисление: $2*2+2+2 = 4+2+2=8$.
Ответ: $2*2+2+2$

8) Чтобы получить 10, можно к произведению трёх двоек прибавить четвёртую двойку: $2*2*2+2$.
Проверим вычисление: $2*2*2+2 = 8+2=10$.
Ответ: $2*2*2+2$

518. Периметр четырёхугольника $ABCD$ равен $34$ см, $AB = 6$ см, сторона $BC$ в $2$ раза больше стороны $AB$, стороны $CD$ и $AD$ равны. Вычислите длину стороны $AD$.

Периметр четырехугольника $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон. Формула периметра:
$P = AB + BC + CD + AD$

По условию задачи нам известны:
Периметр $P = 34$ см.
Длина стороны $AB = 6$ см.

1. Найдем длину стороны $BC$. В условии сказано, что сторона $BC$ в 2 раза больше стороны $AB$:
$BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

2. По условию, стороны $CD$ и $AD$ равны. Обозначим их длину переменной $x$:
$CD = AD = x$.

3. Подставим все известные значения в формулу периметра, чтобы составить уравнение:
$34 = 6 + 12 + x + x$

4. Упростим и решим полученное уравнение:
$34 = 18 + 2x$
Вычтем 18 из обеих частей уравнения:
$2x = 34 - 18$
$2x = 16$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{16}{2}$
$x = 8$

Таким образом, длина стороны $AD$, которую мы обозначили как $x$, равна 8 см.

Ответ: 8 см.

519. Купили розовые и зелёные конверты. Розовых среди них было 18 конвертов. С марками было 12 конвертов, из них 8 были розовыми. Сколько всего купили конвертов, если все зелёные конверты были с марками?

1. Найдем количество зелёных конвертов.

Из условия задачи известно, что всего с марками было 12 конвертов. Из этого количества 8 конвертов были розовыми. Значит, остальные конверты с марками были зелёными. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа конвертов с марками вычесть число розовых конвертов с марками:

$12 - 8 = 4$ (зелёных конверта с марками).

Поскольку в условии сказано, что все зелёные конверты были с марками, то общее количество купленных зелёных конвертов равно 4.

2. Найдем общее количество купленных конвертов.

Чтобы найти общее количество всех конвертов, необходимо сложить количество розовых и зелёных конвертов. Количество розовых конвертов по условию — 18. Количество зелёных конвертов мы нашли на предыдущем шаге — 4.

$18 + 4 = 22$ (конверта).

Ответ: 22 конверта.

520. На столе расположено семь зубчатых колёс так, что первое сцеплено со вторым, второе — с третьим и т. д., а седьмое сцеплено с первым. Могут ли все колёса вращаться одновременно?

Рассмотрим, как вращаются два сцепленных зубчатых колеса. Если одно колесо вращается по часовой стрелке, то второе, сцепленное с ним, должно вращаться против часовой стрелки. Таким образом, два соседних колеса в цепи всегда вращаются в противоположных направлениях.

Пронумеруем колёса от 1 до 7. Допустим, первое колесо вращается в некотором направлении (например, по часовой стрелке).

Тогда второе колесо, сцепленное с первым, будет вращаться в противоположном направлении (против часовой стрелки).

Третье колесо, сцепленное со вторым, будет вращаться в противоположном ему направлении, то есть так же, как и первое (по часовой стрелке).

Продолжая эту логическую цепочку, мы можем заключить, что все колёса с нечётными номерами (1, 3, 5, 7) должны вращаться в одном и том же направлении, а все колёса с чётными номерами (2, 4, 6) — в противоположном направлении.

Следовательно, седьмое колесо (имеющее нечётный номер) должно вращаться в том же направлении, что и первое колесо (также имеющее нечётный номер).

Однако по условию задачи седьмое колесо сцеплено с первым. Это означает, что они должны вращаться в противоположных направлениях.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, первое и седьмое колёса должны вращаться в одном направлении, а с другой — в противоположных. Это противоречие доказывает, что одновременное вращение всех семи колёс в такой системе невозможно.

В общем виде, замкнутая цепь из $n$ зубчатых колёс может вращаться только в том случае, если число колёс $n$ — чётное. В данной задаче $n=7$, что является нечётным числом.

Ответ: Нет, не могут.