Страница 136 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют выражение $8^5$? Как при этом называют число 8? Число 5?

Как называют выражение 8⁵? Выражение $8^5$ называют степенью. Это математическая операция, в которой число умножается само на себя указанное количество раз. Ответ: степень.

Как при этом называют число 8? Число 8, которое возводится в степень (умножается на само себя), называется основанием степени. Ответ: основание степени.

Число 5? Число 5, которое показывает, сколько раз основание умножается на само себя, называется показателем степени. Ответ: показатель степени.

2. Как читают запись $8^5$?

Запись $8^5$ — это степень числа. В данном выражении число 8 называется основанием степени, а число 5 — показателем степени. Показатель степени показывает, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Существует несколько правильных способов прочтения этой записи:

1. Восемь в пятой степени. Это наиболее распространенный и математически грамотный вариант.
2. Пятая степень числа восемь. Этот вариант также является правильным.
3. Восемь в степени пять. Менее формальный, но допустимый в разговорной речи вариант.

Все эти фразы означают одно и то же: $8^5 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.

Ответ: Восемь в пятой степени.

3. Как называют вторую степень числа? Третью степень числа?

1. Квадрат числа, Куб числа: $2^3$, $3^2$

Как называют вторую степень числа? Вторую степень числа, то есть результат умножения числа на само себя, называют квадратом числа. Если число обозначить буквой $a$, то его вторая степень (квадрат) записывается как $a^2$. Читается это выражение как «а в квадрате». Например, квадрат числа 5 равен $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. Название «квадрат» связано с тем, что площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.
Ответ: Квадрат числа.

Третью степень числа? Третью степень числа, то есть результат умножения числа на само себя три раза, называют кубом числа. Если число обозначить буквой $a$, то его третья степень (куб) записывается как $a^3$. Читается это выражение как «а в кубе». Например, куб числа 2 равен $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Название «куб» происходит от того, что объем куба с ребром $a$ равен $a^3$.
Ответ: Куб числа.

4. Как читают запись $a^2$? $a^3$?

Запись вида $a^n$ — это математическое обозначение степени. В этой записи $a$ называется основанием степени (число, которое умножается само на себя), а $n$ — показателем степени (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя). В общем случае запись $a^n$ читают как «а в степени n» или «n-я степень числа а». Однако для второй и третьей степени существуют особые, исторически сложившиеся названия.

$a^2$

Запись $a^2$ представляет собой произведение числа $a$ на само себя: $a \cdot a$. Такую запись называют «квадратом числа». Это название происходит от геометрической фигуры — квадрата. Площадь квадрата со стороной, равной $a$, вычисляется именно по формуле $S = a \cdot a = a^2$.

Поэтому запись $a^2$ читают одним из следующих способов:

1. а в квадрате (наиболее распространенный и общепринятый вариант);

2. а во второй степени (более формальный вариант);

3. вторая степень числа а.

Ответ: Запись $a^2$ читается как «а в квадрате» или «а во второй степени».

$a^3$

Запись $a^3$ представляет собой произведение $a \cdot a \cdot a$. Эту запись называют «кубом числа». Название также пришло из геометрии. Объем куба с ребром, равным $a$, вычисляется по формуле $V = a \cdot a \cdot a = a^3$.

Варианты прочтения записи $a^3$:

1. а в кубе (самый распространенный вариант);

2. а в третьей степени;

3. третья степень числа а.

Ответ: Запись $a^3$ читается как «а в кубе» или «а в третьей степени».

5. Чему равна первая степень числа?

Первая степень любого числа равна самому этому числу. Это одно из фундаментальных свойств операции возведения в степень.

В общем виде это правило можно записать для любого числа $a$ с помощью следующей формулы:
$a^1 = a$

По определению, показатель степени (число, которое стоит вверху) указывает, сколько раз основание степени (число, которое возводят в степень) нужно умножить само на себя. Если показатель степени равен 1, это означает, что основание берется в качестве множителя только один раз, то есть никаких умножений не происходит, и число остается неизменным.

Примеры:
- Для положительного числа: $15^1 = 15$
- Для отрицательного числа: $(-8)^1 = -8$
- Для дробного числа: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
- Для нуля: $0^1 = 0$

Таким образом, операция возведения в первую степень является тождественным преобразованием, которое не изменяет исходное число.

Ответ: Первая степень числа равна самому этому числу.

6. В каком порядке выполняют вычисления, если в числовое выражение входит степень?

При вычислении значения числового выражения, в которое входит степень, необходимо придерживаться общепринятого порядка выполнения математических операций. Этот порядок определяет приоритет каждого действия и обеспечивает получение единственно верного результата.

Порядок действий следующий:

1. Действия в скобках. В первую очередь всегда выполняются все операции, заключенные в скобки. Если в выражении есть несколько пар скобок, в том числе вложенных, то вычисления начинаются с самых внутренних.

2. Возведение в степень. Сразу после вычисления всех выражений в скобках (или если скобок в выражении нет) выполняется операция возведения в степень. Это действие имеет более высокий приоритет, чем умножение, деление, сложение и вычитание.

3. Умножение и деление. Эти операции относятся к действиям "второй ступени". Они имеют одинаковый приоритет и выполняются после возведения в степень в том порядке, в котором они записаны в выражении, то есть слева направо.

4. Сложение и вычитание. Эти операции относятся к действиям "первой ступени" и выполняются в последнюю очередь. Они также равноправны и вычисляются в порядке их следования слева направо.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере:

Вычислим значение выражения $40 + (7 - 2^2) \cdot 5$.

1. Начинаем с действий в скобках $(7 - 2^2)$. Внутри скобок есть вычитание и возведение в степень. Согласно порядку, сначала выполняем возведение в степень: $2^2 = 4$.
2. Теперь выполняем оставшееся действие в скобках: $7 - 4 = 3$.
3. Выражение принимает вид: $40 + 3 \cdot 5$.
4. Следующим по приоритету идет умножение: $3 \cdot 5 = 15$.
5. Выражение принимает вид: $40 + 15$.
6. Последним действием выполняем сложение: $40 + 15 = 55$.

Ответ: Вычисления в числовом выражении, содержащем степень, выполняются в следующем порядке: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, далее умножение и деление (слева направо) и, в последнюю очередь, сложение и вычитание (слева направо).

1. Решите уравнение:

1) $(x - 10) : 2 = 20;$

2) $(x + 10) \cdot 2 = 20;$

3) $x \cdot 10 - 2 = 8;$

4) $x : 10 + 2 = 8.$

1) $(x - 10) : 2 = 20$

В этом уравнении выражение $(x - 10)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (20) умножить на делитель (2).

$x - 10 = 20 \cdot 2$

$x - 10 = 40$

Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (40) прибавить вычитаемое (10).

$x = 40 + 10$

$x = 50$

Проверка: $(50 - 10) : 2 = 40 : 2 = 20$. Равенство верно.

Ответ: $50$.

2) $(x + 10) \cdot 2 = 20$

В этом уравнении выражение $(x + 10)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (20) разделить на известный множитель (2).

$x + 10 = 20 : 2$

$x + 10 = 10$

Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (10) вычесть известное слагаемое (10).

$x = 10 - 10$

$x = 0$

Проверка: $(0 + 10) \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$. Равенство верно.

Ответ: $0$.

3) $x \cdot 10 - 2 = 8$

В этом уравнении выражение $x \cdot 10$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (8) прибавить вычитаемое (2).

$x \cdot 10 = 8 + 2$

$x \cdot 10 = 10$

Теперь $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (10) разделить на известный множитель (10).

$x = 10 : 10$

$x = 1$

Проверка: $1 \cdot 10 - 2 = 10 - 2 = 8$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

4) $x : 10 + 2 = 8$

В этом уравнении выражение $x : 10$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (8) вычесть известное слагаемое (2).

$x : 10 = 8 - 2$

$x : 10 = 6$

Теперь $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (6) умножить на делитель (10).

$x = 6 \cdot 10$

$x = 60$

Проверка: $60 : 10 + 2 = 6 + 2 = 8$. Равенство верно.

Ответ: $60$.

2. Верно ли равенство $90 = 14 \cdot 5 + 20$? Можно ли утверждать, что при делении 90 на 14 получим неполное частное 5 и остаток 20?

Верно ли равенство 90 = 14 · 5 + 20?
Для проверки верности данного равенства необходимо вычислить значение выражения в правой части и сравнить его с левой частью.
Выполним вычисления в правой части согласно порядку действий:
1. Умножение: $14 \cdot 5 = 70$.
2. Сложение: $70 + 20 = 90$.
Результат вычислений в правой части равен 90. В левой части равенства также стоит число 90.
Поскольку $90 = 90$, данное равенство является верным.
Ответ: да, равенство верно.

Можно ли утверждать, что при делении 90 на 14 получим неполное частное 5 и остаток 20?
Деление с остатком можно записать в виде формулы: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, и $r$ — остаток.
Ключевым правилом деления с остатком является то, что остаток всегда должен быть меньше делителя, то есть должно выполняться неравенство $0 \le r < b$.
В рассматриваемом случае:
- делимое $a = 90$;
- делитель $b = 14$;
- предполагаемое неполное частное $q = 5$;
- предполагаемый остаток $r = 20$.
Проверим выполнение условия $r < b$:
$20 < 14$.
Это неравенство является ложным, так как 20 больше 14. Следовательно, число 20 не может быть остатком при делении на 14.
Таким образом, несмотря на верность числового равенства $90 = 14 \cdot 5 + 20$, оно не является записью деления 90 на 14 с остатком.
Правильное деление 90 на 14 с остатком выглядит так: $90 = 14 \cdot 6 + 6$, где неполное частное равно 6, а остаток равен 6 (и $6 < 14$).
Ответ: нет, нельзя, так как остаток (20) не может быть больше делителя (14).

3. Вася разложил 60 яблок на кучки по 8 яблок, и ещё 4 яблока у него осталось. На сколько кучек Вася разложил яблоки?

Для решения задачи нужно сначала выяснить, сколько яблок было разложено по кучкам. Всего у Васи было 60 яблок, а 4 из них остались неразложенными. Следовательно, количество яблок в кучках можно найти, вычтя остаток из общего количества.

1. Найдем количество яблок, которые Вася разложил по кучкам:
$60 - 4 = 56$ (яблок).

Теперь известно, что 56 яблок были разложены на кучки по 8 яблок в каждой. Чтобы найти количество кучек, нужно разделить общее количество разложенных яблок на количество яблок в одной кучке.

2. Найдем количество получившихся кучек:
$56 \div 8 = 7$ (кучек).

Ответ: 7 кучек.

4. Турист должен преодолеть маршрут длиной 25 км. После того как он шёл 4 ч с одной и той же скоростью, ему осталось пройти 1 км. С какой скоростью шёл турист?

Для того чтобы найти скорость туриста, необходимо сначала определить, какое расстояние он прошел. Общая длина маршрута — 25 км. После того как он прошел некоторую часть пути, ему осталось пройти 1 км. Найдем пройденное расстояние, вычтя из общей длины оставшееся расстояние:

$25 \text{ км} - 1 \text{ км} = 24 \text{ км}$

Итак, турист прошел 24 км. По условию, он затратил на этот путь 4 часа, двигаясь с постоянной скоростью. Чтобы найти скорость, нужно разделить пройденное расстояние на время в пути. Используем формулу скорости:

$v = S / t$

где $v$ — скорость, $S$ — расстояние, $t$ — время.

Подставим известные значения:

$v = 24 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 6 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость туриста составляла 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

5. На двух участках росло 20 кустов роз. После того как с первого участка пересадили 2 куста роз на второй, на обоих участках стало по 10 кустов роз. Сколько кустов роз росло на каждом участке?

Для решения этой задачи будем рассуждать от конечного результата к начальному состоянию, используя обратные действия.

В конце, после пересадки, на каждом из двух участков стало по 10 кустов роз.

Найдем первоначальное количество кустов на первом участке. С него забрали 2 куста, после чего на нем осталось 10 кустов. Чтобы найти исходное количество, нужно эти 2 куста "вернуть" обратно, то есть прибавить.

$10 + 2 = 12$ (кустов)

Таким образом, на первом участке изначально было 12 кустов роз.

Теперь найдем первоначальное количество кустов на втором участке. На него добавили 2 куста, после чего на нем стало 10 кустов. Чтобы найти исходное количество, нужно эти 2 куста "забрать" обратно, то есть вычесть.

$10 - 2 = 8$ (кустов)

Таким образом, на втором участке изначально было 8 кустов роз.

Проверим: изначально общее количество кустов было $12 + 8 = 20$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Изначально на первом участке росло 12 кустов роз, а на втором — 8 кустов роз.

548. Назовите основание и показатель степени:

1) $4^8$;

2) $13^{10}$;

3) $a^9$;

4) $6^m$;

5) $2^{39}$;

6) $93^1$.

В математическом выражении вида $a^n$, число $a$ называется основанием степени, а число $n$ — показателем степени. Основание — это число (или переменная), которое возводится в степень, а показатель — это число, которое показывает, в какую степень возводится основание.

1) В выражении $4^8$ основанием степени является число 4, а показателем степени — число 8.

Ответ: основание – 4, показатель степени – 8.

2) В выражении $13^{10}$ основанием степени является число 13, а показателем степени — число 10.

Ответ: основание – 13, показатель степени – 10.

3) В выражении $a^9$ основанием степени является переменная $a$, а показателем степени — число 9.

Ответ: основание – $a$, показатель степени – 9.

4) В выражении $6^m$ основанием степени является число 6, а показателем степени — переменная $m$.

Ответ: основание – 6, показатель степени – $m$.

5) В выражении $2^{39}$ основанием степени является число 2, а показателем степени — число 39.

Ответ: основание – 2, показатель степени – 39.

6) В выражении $93^1$ основанием степени является число 93, а показателем степени — число 1.

Ответ: основание – 93, показатель степени – 1.