Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

579. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке 150 (размеры даны в сантиметрах).

Рис. 150

Периметр

Для вычисления периметра $P$ данной фигуры удобно использовать метод дополнения до прямоугольника. Сначала представим, что фигура является целым прямоугольником без выреза. Высота этого прямоугольника равна $18$ см. Ширина равна сумме длин верхних горизонтальных отрезков: $12 + 6 + 12 = 30$ см. Периметр такого большого прямоугольника был бы равен: $P_{прямоуг.} = 2 \times (18 + 30) = 2 \times 48 = 96$ см.

Теперь учтём наличие выреза. При создании выреза из верхней стороны убирается отрезок длиной $6$ см, но взамен добавляются три новых отрезка: два вертикальных по $4$ см и один горизонтальный длиной $6$ см. Таким образом, общее изменение периметра составляет: $-6 + 4 + 6 + 4 = +8$ см. Итоговый периметр фигуры равен: $P = P_{прямоуг.} + 8 = 96 + 8 = 104$ см.

Ответ: $104$ см.

Площадь

Для вычисления площади $S$ также воспользуемся методом дополнения. Сначала найдем площадь большого прямоугольника (как если бы выреза не было), а затем вычтем из неё площадь вырезанной части. Площадь большого прямоугольника с размерами $18$ см на $30$ см составляет: $S_{большого} = 18 \times 30 = 540$ см².

Вырезанная часть представляет собой прямоугольник с размерами $4$ см на $6$ см. Его площадь равна: $S_{выреза} = 4 \times 6 = 24$ см². Площадь итоговой фигуры равна разности этих площадей: $S = S_{большого} - S_{выреза} = 540 - 24 = 516$ см².

В качестве проверки можно решить задачу методом разбиения. Разобьем фигуру на три прямоугольника: один большой нижний и два малых одинаковых по бокам сверху. Площадь нижнего прямоугольника: $S_{нижнего} = (18 - 4) \times 30 = 14 \times 30 = 420$ см². Суммарная площадь двух боковых прямоугольников: $S_{боковых} = 2 \times (12 \times 4) = 2 \times 48 = 96$ см². Общая площадь: $S = S_{нижнего} + S_{боковых} = 420 + 96 = 516$ см². Результаты совпадают.

Ответ: $516$ см².

580. Хватит ли 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га земли надо высеять 260 кг гороха?

Чтобы определить, хватит ли гороха, необходимо выполнить следующие действия: сначала вычислить площадь поля, затем рассчитать, какое количество гороха потребуется для засева этой площади, и в конце сравнить это количество с имеющимся в наличии.

1. Вычисление площади поля

Поле представляет собой прямоугольник со сторонами 500 м и 400 м. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины на ширину.

$S = 500 \text{ м} \times 400 \text{ м} = 200 \ 000 \text{ м}^2$

2. Перевод площади в гектары

Норма высева дана в килограммах на гектар, поэтому переведем площадь поля из квадратных метров в гектары (га). Известно, что 1 га равен 10 000 м².

$S = \frac{200 \ 000 \text{ м}^2}{10 \ 000 \text{ м}^2/\text{га}} = 20 \text{ га}$

Таким образом, площадь поля составляет 20 гектаров.

3. Расчет необходимого количества гороха

Согласно условию, на 1 га земли требуется 260 кг гороха. Чтобы найти, сколько гороха нужно для засева 20 га, умножим площадь поля на норму высева.

$20 \text{ га} \times 260 \text{ кг/га} = 5 \ 200 \text{ кг}$

Следовательно, для засева всего поля необходимо 5 200 кг гороха.

4. Сравнение имеющегося и необходимого количества гороха

В наличии имеется 5 тонн (т) гороха. Переведем это значение в килограммы, зная, что 1 т = 1 000 кг.

$5 \text{ т} = 5 \times 1 \ 000 \text{ кг} = 5 \ 000 \text{ кг}$

Теперь сравним необходимое количество ($5 \ 200$ кг) с имеющимся ($5 \ 000$ кг):

$5 \ 000 \text{ кг} < 5 \ 200 \text{ кг}$

Имеющегося гороха меньше, чем требуется.

Ответ: Нет, 5 тонн гороха не хватит, чтобы засеять поле, так как для этого необходимо 5 200 кг, а в наличии есть только 5 000 кг.

581. Отец решил облицевать кафелем стену кухни, длина которой равна 4 м 50 см, а высота — 3 м. Хватит ли ему 20 ящиков кафеля, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см, а в одном ящике находится 30 плиток?

Для того чтобы определить, хватит ли отцу кафеля, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Приведение всех размеров к единой единице измерения.
Удобнее всего перевести все размеры в сантиметры, так как сторона плитки дана в сантиметрах.
Длина стены: $4 \text{ м } 50 \text{ см} = 4 \times 100 \text{ см} + 50 \text{ см} = 450 \text{ см}$.
Высота стены: $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

2. Расчет необходимого количества плиток.
Сначала узнаем, сколько плиток поместится в один ряд по длине и по высоте стены.
Количество плиток по длине: $450 \text{ см} \div 15 \text{ см} = 30$ штук.
Количество плиток по высоте: $300 \text{ см} \div 15 \text{ см} = 20$ штук.
Теперь найдем общее количество плиток, умножив количество плиток по длине на количество плиток по высоте.
Общее необходимое количество плиток: $30 \times 20 = 600$ штук.

3. Расчет имеющегося количества плиток.
У отца есть 20 ящиков, в каждом из которых по 30 плиток.
Общее имеющееся количество плиток: $20 \text{ ящиков} \times 30 \text{ плиток/ящик} = 600$ штук.

4. Сравнение необходимого и имеющегося количества.
Необходимо для облицовки стены: $600$ плиток.
Имеется в наличии: $600$ плиток.
$600 = 600$.
Количество имеющихся плиток в точности равно необходимому количеству.

Ответ: да, 20 ящиков кафеля хватит.

582. Фермер Пётр Трудолюб посадил в теплице огурцы. Длина теплицы равна 16 м 50 см, а ширина — 12 м. Сколько килограммов огурцов соберёт фермер в своей теплице, если с $1 м^2$ собирают 30 кг огурцов?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти площадь теплицы, а затем, зная урожайность, рассчитать общий вес собранных огурцов.

1. Найдём площадь теплицы.

Для вычисления площади необходимо, чтобы длина и ширина были в одинаковых единицах измерения. Переведём длину теплицы в метры.

Длина = 16 м 50 см.

Поскольку $1 \, \text{м} = 100 \, \text{см}$, то $50 \, \text{см} = 0,5 \, \text{м}$.

Следовательно, длина теплицы составляет $16 + 0,5 = 16,5 \, \text{м}$.

Ширина теплицы равна $12 \, \text{м}$.

Теперь вычислим площадь ($S$) по формуле площади прямоугольника:

$S = \text{длина} \times \text{ширина}$

$S = 16,5 \, \text{м} \times 12 \, \text{м} = 198 \, \text{м}^2$

2. Рассчитаем общий вес урожая.

Известно, что с $1 \, \text{м}^2$ собирают $30 \, \text{кг}$ огурцов. Чтобы найти общий вес урожая со всей теплицы, нужно её площадь умножить на урожайность с одного квадратного метра.

$198 \, \text{м}^2 \times 30 \, \text{кг/м}^2 = 5940 \, \text{кг}$

Ответ: фермер соберёт 5940 кг огурцов.

583. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет $180 \text{ г}$ на $1 \text{ м}^2$. Хватит ли $3 \text{ кг}$ эмали, чтобы покрасить стену длиной $6 \text{ м}$ и высотой $3 \text{ м}$?

Чтобы определить, хватит ли краски, нужно сначала рассчитать площадь окрашиваемой поверхности, а затем найти необходимое количество краски и сравнить его с имеющимся.

1. Вычислим площадь стены.
Стена имеет форму прямоугольника, площадь которого ($S$) равна произведению его длины ($l$) на высоту ($h$).
$l = 6 \, \text{м}$
$h = 3 \, \text{м}$
$S = l \cdot h = 6 \, \text{м} \cdot 3 \, \text{м} = 18 \, \text{м}^2$.

2. Рассчитаем общее количество краски, необходимое для покраски стены.
Расход краски составляет 180 г на 1 м². Умножим площадь стены на расход краски на один квадратный метр:
$18 \, \text{м}^2 \cdot 180 \, \text{г/м}^2 = 3240 \, \text{г}$.
Таким образом, для покраски стены требуется 3240 г эмали.

3. Сравним необходимое количество краски с имеющимся.
В наличии имеется 3 кг эмали. Переведём килограммы в граммы, зная, что $1 \, \text{кг} = 1000 \, \text{г}$:
$3 \, \text{кг} = 3 \cdot 1000 \, \text{г} = 3000 \, \text{г}$.
Теперь сравним требуемое количество краски (3240 г) с имеющимся (3000 г):
$3240 \, \text{г} > 3000 \, \text{г}$.

Поскольку краски для покраски стены требуется больше, чем есть в наличии, 3 кг эмали не хватит.

Ответ: Нет, 3 кг эмали не хватит, так как для покраски стены необходимо 3240 г (3,24 кг).

584. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, длина которого равна 18 см, являются равновеликими. Найдите периметр прямоугольника.

По условию задачи квадрат и прямоугольник являются равновеликими. Это означает, что их площади равны.

1. Найдем площадь квадрата
Сторона квадрата $a = 12$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$.
$S_{кв} = 12^2 = 144 \text{ см}^2$.

2. Найдем ширину прямоугольника
Так как площади фигур равны, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) также равна $144 \text{ см}^2$. Длина прямоугольника по условию $l = 18$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{пр} = l \cdot w$, где $w$ — ширина прямоугольника.
Выразим ширину из формулы:
$w = \frac{S_{пр}}{l} = \frac{144}{18} = 8 \text{ см}$.

3. Найдем периметр прямоугольника
Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) вычисляется по формуле $P_{пр} = 2(l + w)$.
Подставим известные значения длины и найденное значение ширины:
$P_{пр} = 2(18 + 8) = 2 \cdot 26 = 52 \text{ см}$.

Ответ: 52 см.

585. Квадрат и прямоугольник являются равновеликими, соседние стороны прямоугольника равны 3 см и 12 см. Найдите периметр квадрата.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник являются равновеликими, что означает равенство их площадей. Обозначим площадь прямоугольника как $S_{пр}$, а площадь квадрата — $S_{кв}$.

1. Сначала вычислим площадь прямоугольника. Его соседние стороны равны 3 см и 12 см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{пр} = 3 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$

2. Так как фигуры равновелики, площадь квадрата равна площади прямоугольника:

$S_{кв} = S_{пр} = 36 \text{ см}^2$

3. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Найдем сторону квадрата:

$a^2 = 36 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{36 \text{ см}^2} = 6 \text{ см}$

4. Теперь найдем периметр квадрата ($P_{кв}$). Периметр — это сумма длин всех его четырех равных сторон:

$P_{кв} = 4 \times a$

$P_{кв} = 4 \times 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: 24 см.

586. Ширина прямоугольника равна 26 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь этого прямоугольника, если его длину увеличить на 4 см?

Чтобы найти, на сколько увеличится площадь прямоугольника, можно использовать алгебраический метод. Обозначим исходные размеры прямоугольника:
- Ширина $w = 26$ см.
- Первоначальная длина $l$.

Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) вычисляется по формуле:
$S_1 = l \times w$

Согласно условию, длину прямоугольника увеличили на 4 см. Новая длина ($l'$) стала равна:
$l' = l + 4$ см.

Ширина прямоугольника осталась без изменений. Площадь нового прямоугольника ($S_2$) будет:
$S_2 = l' \times w = (l + 4) \times w$

Увеличение площади ($\Delta S$) равно разности между новой и первоначальной площадями:
$\Delta S = S_2 - S_1 = (l + 4) \times w - l \times w$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta S = l \times w + 4 \times w - l \times w$
Слагаемые $l \times w$ и $-l \times w$ взаимно уничтожаются:
$\Delta S = 4 \times w$

Теперь подставим известное значение ширины $w = 26$ см в полученное выражение:
$\Delta S = 4 \times 26 = 104$

Таким образом, площадь прямоугольника увеличится на 104 квадратных сантиметра. Важно отметить, что увеличение площади не зависит от первоначальной длины прямоугольника.

Ответ: на 104 $см^2$.

587. Во сколько раз увеличатся периметр и площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза?

Обозначим начальные стороны прямоугольника как $a$ (длина) и $b$ (ширина).

Периметр
Периметр исходного прямоугольника ($P_1$) вычисляется по формуле:
$P_1 = 2(a + b)$
После увеличения каждой стороны в 4 раза, новые стороны будут равны $4a$ и $4b$.
Периметр нового прямоугольника ($P_2$) будет:
$P_2 = 2(4a + 4b) = 2 \cdot 4(a + b) = 8(a + b)$
Чтобы определить, во сколько раз увеличился периметр, найдем отношение нового периметра к исходному:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8(a + b)}{2(a + b)} = 4$
Ответ: Периметр увеличится в 4 раза.

Площадь
Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) вычисляется по формуле:
$S_1 = a \cdot b$
Новые стороны прямоугольника равны $4a$ и $4b$.
Площадь нового прямоугольника ($S_2$) будет:
$S_2 = (4a) \cdot (4b) = 16 \cdot a \cdot b = 16 S_1$
Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади к исходной:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16ab}{ab} = 16$
Ответ: Площадь увеличится в 16 раз.