Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие свойства площади фигуры вы знаете?

Площадь фигуры — это неотрицательная величина, численное значение которой обладает следующими основными свойствами:

Неотрицательность
Площадь любой геометрической фигуры является неотрицательной величиной. Она может быть равна нулю только для вырожденных фигур, таких как точка или отрезок. Математически это свойство записывается как $S(F) \ge 0$, где $S$ — площадь, а $F$ — фигура.
Ответ: Площадь любой фигуры является неотрицательным числом.

Аддитивность
Если фигура разделена на несколько частей, не имеющих общих внутренних точек, то её площадь равна сумме площадей этих частей. Например, если фигура $F$ состоит из фигур $F_1$ и $F_2$, то её площадь $S(F)$ будет равна $S(F_1) + S(F_2)$.
Ответ: Площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей.

Инвариантность
Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Это означает, что при перемещении, повороте или зеркальном отражении фигуры её площадь не изменяется. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$ ($F_1 \cong F_2$), то их площади также равны: $S(F_1) = S(F_2)$.
Ответ: Равные фигуры имеют равные площади.

Нормированность (наличие единицы измерения)
Площадь квадрата со стороной, равной единице длины (например, 1 м), принимается за единицу измерения площади (1 м²). Этот квадрат называется единичным. Это свойство позволяет сопоставлять площади с числовыми значениями.
Ответ: Площадь единичного квадрата (квадрата со стороной 1) равна единице.

Монотонность
Если одна фигура $F_1$ является частью другой фигуры $F_2$ ($F_1 \subset F_2$), то площадь первой фигуры не может быть больше площади второй. То есть, $S(F_1) \le S(F_2)$.
Ответ: Площадь части фигуры не превосходит площади всей фигуры.

2. Какой квадрат называют единичным?

Единичным квадратом называют квадрат, длина стороны которого равна 1. Эта единица измерения может быть любой (метр, сантиметр, дюйм и т.д.), но для данного квадрата она является базовой. Это фундаментальное понятие, которое служит эталоном для измерения площади.

Основные свойства единичного квадрата напрямую следуют из его определения. Длина его стороны $a = 1$. Площадь, являющаяся его главной характеристикой, равна $S = a^2 = 1^2 = 1$ квадратной единице. Именно поэтому площадь любой фигуры можно измерить количеством единичных квадратов, которые она покрывает. Периметр единичного квадрата составляет $P = 4a = 4 \times 1 = 4$ единицы, а длина его диагонали, вычисленная по теореме Пифагора, равна $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ единиц.

В декартовой системе координат стандартный единичный квадрат часто определяют как множество точек $(x, y)$, для которых выполняются неравенства $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$. Его вершины в этом случае имеют координаты $(0, 0), (1, 0), (1, 1)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Единичный квадрат — это квадрат, длина стороны которого равна единице.

3. Какие единицы измерения площади вы знаете?

Площадь — это количественная характеристика двумерной геометрической фигуры. Для её измерения существует множество единиц, сгруппированных в разные системы. Вот основные из них:

1. Метрическая система (СИ)

Это наиболее распространённая система, используемая в большинстве стран мира. Она основана на метре. Единицы площади в этой системе являются квадратами линейных единиц.

• Квадратный миллиметр ($мм^2$): площадь квадрата со стороной 1 миллиметр.

• Квадратный сантиметр ($см^2$): площадь квадрата со стороной 1 сантиметр. $1\ см^2 = 100\ мм^2$.

• Квадратный дециметр ($дм^2$): площадь квадрата со стороной 1 дециметр. $1\ дм^2 = 100\ см^2$.

• Квадратный метр ($м^2$): основная единица площади в СИ. Это площадь квадрата со стороной 1 метр. $1\ м^2 = 100\ дм^2 = 10\ 000\ см^2$.

• Квадратный километр ($км^2$): площадь квадрата со стороной 1 километр. $1\ км^2 = 1\ 000\ 000\ м^2$.

2. Единицы для измерения земельных участков

Эти единицы тесно связаны с метрической системой и широко используются в сельском хозяйстве и землеустройстве.

• Ар (сотка): равен площади квадрата со стороной 10 метров. Название «сотка» происходит от того, что ар составляет сотую часть гектара. $1\ ар = 100\ м^2$.

• Гектар (га): равен площади квадрата со стороной 100 метров. $1\ га = 100\ ар = 10\ 000\ м^2$.

3. Английская (имперская) система мер

Эта система используется в США, Великобритании и некоторых других странах.

• Квадратный дюйм ($in^2$): $1\ in^2 \approx 6,4516\ см^2$.

• Квадратный фут ($ft^2$): $1\ ft^2 = 144\ in^2 \approx 0,093\ м^2$.

• Квадратный ярд ($yd^2$): $1\ yd^2 = 9\ ft^2 \approx 0,836\ м^2$.

• Акr (acre): $1\ акр = 4840\ yd^2 \approx 4046,86\ м^2$.

• Квадратная миля ($mi^2$): $1\ mi^2 = 640\ акров \approx 2,59\ км^2$.

4. Старорусские единицы площади (исторические)

Эти единицы использовались в России до введения метрической системы.

• Квадратная сажень: $\approx 4,552\ м^2$.

• Десятина: одна из основных дометрических русских единиц земельной площади. $1\ десятина = 2400$ квадратных саженей $\approx 1,09\ га$.

Ответ: Существуют различные единицы измерения площади, включая метрические (квадратный метр, сантиметр, километр), земельные (ар, гектар), имперские (квадратный фут, акр) и исторические (десятина).

какие единицы измерения площади вы знаете?

4. Измерить площадь фигуры — это значит найти числовое значение, которое показывает, какую часть плоскости занимает эта фигура. Процесс измерения заключается в сравнении данной фигуры с некоторой единицей измерения площади.

В качестве единицы измерения площади обычно выбирают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины (например, 1 сантиметр, 1 метр и т.д.). Такой квадрат называют единичным квадратом. Его площадь, соответственно, будет равна одному квадратному сантиметру ($см^2$), одному квадратному метру ($м^2$) и так далее.

Таким образом, измерить площадь фигуры — это значит выяснить, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре. Полученное число и является площадью фигуры, выраженной в выбранных квадратных единицах.

Например, если площадь прямоугольника равна 20 $см^2$, это означает, что в нём можно расположить ровно 20 квадратов со стороной 1 см. Для нахождения площади простых фигур, как правило, используют формулы. Например, площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Ответ: Измерить площадь фигуры означает найти число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения площади (например, квадратный сантиметр) укладывается в этой фигуре.

5. Чему равна площадь прямоугольника?

Площадь прямоугольника – это численная характеристика, которая показывает размер этой фигуры на плоскости. Она измеряется в квадратных единицах (например, квадратных сантиметрах $см^2$, квадратных метрах $м^2$ и т.д.).

Формула для вычисления площади

Для нахождения площади прямоугольника необходимо перемножить длины его двух смежных сторон, которые обычно называют длиной и шириной.

Формула для вычисления площади ($S$) прямоугольника с длиной $a$ и шириной $b$ выглядит следующим образом:

$S = a \cdot b$

Пример вычисления

Рассмотрим прямоугольник, длина которого составляет 10 см, а ширина – 4 см.

Дано:

Длина $a = 10$ см

Ширина $b = 4$ см

Подставляем значения в формулу, чтобы найти площадь $S$:

$S = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь этого прямоугольника равна 40 квадратным сантиметрам.

Частный случай: площадь квадрата

Квадрат — это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны. Если обозначить длину стороны квадрата буквой $a$, то его длина и ширина будут одинаковы. В этом случае формула для площади упрощается:

$S = a \cdot a = a^2$

Например, если сторона квадрата равна 7 м, его площадь будет:

$S = 7 \text{ м} \cdot 7 \text{ м} = 49 \text{ м}^2$

Ответ: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон (длины и ширины). Это выражается формулой $S = a \cdot b$.

6. По какой формуле вычисляют площадь квадрата?

Площадь квадрата можно вычислить несколькими способами, в зависимости от известных параметров фигуры.

1. Вычисление по длине стороны

Это основной и наиболее часто используемый способ. Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все стороны и углы равны. Площадь квадрата, как и любого прямоугольника, равна произведению его длины на ширину. Поскольку у квадрата длина и ширина равны, для нахождения площади нужно умножить длину его стороны на саму себя.

Если обозначить длину стороны квадрата как $a$, то формула для вычисления его площади $S$ будет выглядеть так:
$S = a \cdot a = a^2$

Таким образом, площадь квадрата равна квадрату его стороны.

2. Вычисление по длине диагонали

Если известна длина диагонали квадрата, площадь также можно найти. Обозначим диагональ буквой $d$. Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, где стороны квадрата ($a$) являются катетами, а диагональ ($d$) — гипотенузой.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$

Поскольку площадь квадрата $S$ равна $a^2$, мы можем выразить ее из этого уравнения:
$a^2 = \frac{d^2}{2}$

Следовательно, формула площади квадрата через диагональ:
$S = \frac{d^2}{2}$

Таким образом, площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

Ответ: Площадь квадрата вычисляют по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина стороны квадрата.

7. Сколько квадратных метров содержит 1 ар? 1 гектар?

1 ар?
Ар (также известный как сотка) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров. Чтобы найти, сколько квадратных метров в одном аре, нужно вычислить площадь этого квадрата (перемножить длину на ширину).
$1 \text{ ар} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$.
Таким образом, 1 ар содержит 100 квадратных метров.
Ответ: 100 квадратных метров.

1 гектар?
Гектар (сокращенно га) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 100 метров. Вычислим его площадь в квадратных метрах:
$1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м}^2$.
Также 1 гектар равен 100 арам. Зная, что 1 ар — это 100 м², можно выполнить проверку:
$1 \text{ га} = 100 \text{ ар} = 100 \times 100 \text{ м}^2 = 10000 \text{ м}^2$.
Следовательно, 1 гектар содержит 10 000 квадратных метров.
Ответ: 10 000 квадратных метров.

1. Сколько сантиметров содержится в: $1 \text{ дм}$; $1 \text{ м } 3 \text{ дм}$; $5 \text{ м } 2 \text{ дм}$; $12 \text{ дм } 5 \text{ см}$; $40 \text{ мм}$?

1 дм
Чтобы перевести дециметры (дм) в сантиметры (см), необходимо использовать соотношение: в одном дециметре содержится 10 сантиметров.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
Ответ: 10 см.

1 м 3 дм
Для перевода этого значения в сантиметры (см), сначала переведем метры (м) и дециметры (дм) в сантиметры по отдельности, а затем сложим полученные значения.
1. Переводим метры в сантиметры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
2. Переводим дециметры в сантиметры, зная, что в 1 дециметре 10 сантиметров.
$3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$
3. Складываем полученные значения.
$100 \text{ см} + 30 \text{ см} = 130 \text{ см}$
Ответ: 130 см.

5 м 2 дм
Переведем каждую часть в сантиметры (см) и сложим результаты.
1. Переводим 5 метров в сантиметры.
$5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$
2. Переводим 2 дециметра в сантиметры.
$2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$
3. Складываем полученные значения.
$500 \text{ см} + 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$
Ответ: 520 см.

12 дм 5 см
В этом случае нужно перевести дециметры (дм) в сантиметры (см) и прибавить к ним уже имеющиеся сантиметры.
1. Переводим 12 дециметров в сантиметры.
$12 \text{ дм} = 12 \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}$
2. Добавляем 5 сантиметров.
$120 \text{ см} + 5 \text{ см} = 125 \text{ см}$
Ответ: 125 см.

40 мм
Чтобы перевести миллиметры (мм) в сантиметры (см), нужно использовать соотношение: в одном сантиметре 10 миллиметров. Следовательно, для перевода миллиметров в сантиметры нужно разделить их количество на 10.
$40 \text{ мм} = 40 / 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$
Ответ: 4 см.

2. Лодка за 5 ч прошла 40 км. За сколько часов она пройдёт с той же скоростью 24 км?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти скорость лодки, а затем использовать эту скорость для вычисления времени, которое потребуется, чтобы пройти второе расстояние.

1. Вычисление скорости лодки
Скорость ($v$) равна отношению расстояния ($s$) ко времени ($t$).
Формула: $v = s / t$.
По условию, $s = 40$ км, а $t = 5$ ч.
Подставляем значения в формулу:
$v = 40 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 8 \text{ км/ч}$.
Итак, скорость лодки составляет 8 км/ч.

2. Вычисление времени для прохождения 24 км
Теперь нужно найти время ($t$), за которое лодка пройдет расстояние $s = 24$ км с той же скоростью $v = 8$ км/ч.
Формула для времени: $t = s / v$.
Подставляем известные значения:
$t = 24 \text{ км} / 8 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: 3 часа.

3. Сколько литров воды может перекачать насос за 8 мин, если пять таких насосов за 6 мин перекачивают 450 л воды?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность одного насоса, то есть количество воды, которое он перекачивает за одну минуту.

1. Найдём общую производительность пяти насосов.

Из условия известно, что пять насосов за 6 минут перекачивают 450 литров воды. Чтобы найти, сколько литров они перекачивают вместе за одну минуту, разделим общий объём воды на время:

$450 \text{ л} \div 6 \text{ мин} = 75 \text{ л/мин}$

Таким образом, общая производительность пяти насосов составляет 75 литров в минуту.

2. Найдём производительность одного насоса.

Поскольку все насосы одинаковые, разделим общую производительность на количество насосов:

$75 \text{ л/мин} \div 5 = 15 \text{ л/мин}$

Это означает, что один насос перекачивает 15 литров воды за одну минуту.

3. Вычислим, сколько воды перекачает один насос за 8 минут.

Теперь умножим производительность одного насоса на указанное время (8 минут):

$15 \text{ л/мин} \times 8 \text{ мин} = 120 \text{ л}$

Ответ: 120 л.