Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

595. Из вершины прямого угла $ABC$ (рис. 154) провели лучи $BD$ и $BE$ так, что угол $ABE$ оказался больше угла $DBE$ на $34^\circ$, а угол $CBD$ больше угла $DBE$ на $23^\circ$. Какова градусная мера угла $DBE$?

Рис. 154

Пусть градусная мера искомого угла $DBE$ равна $x$.

Согласно условию задачи, угол $ABE$ больше угла $DBE$ на $34^\circ$. Это можно записать в виде уравнения:
$\angle ABE = \angle DBE + 34^\circ = x + 34^\circ$.

Также по условию, угол $CBD$ больше угла $DBE$ на $23^\circ$. Запишем это в виде уравнения:
$\angle CBD = \angle DBE + 23^\circ = x + 23^\circ$.

Из рисунка видно, что прямой угол $ABC$ состоит из трех углов: $\angle ABD$, $\angle DBE$ и $\angle EBC$. Их сумма равна $90^\circ$:
$\angle ABD + \angle DBE + \angle EBC = \angle ABC = 90^\circ$.

Мы можем выразить углы $\angle ABD$ и $\angle EBC$ через известные соотношения:

• Угол $ABE$ состоит из суммы углов $ABD$ и $DBE$. Следовательно, $\angle ABD = \angle ABE - \angle DBE$. Подставив выражения с $x$, получим: $\angle ABD = (x + 34^\circ) - x = 34^\circ$.
• Угол $CBD$ состоит из суммы углов $CBE$ (или $EBC$) и $DBE$. Следовательно, $\angle EBC = \angle CBD - \angle DBE$. Подставив выражения с $x$, получим: $\angle EBC = (x + 23^\circ) - x = 23^\circ$.

Теперь подставим найденные значения в уравнение для угла $ABC$:
$34^\circ + x + 23^\circ = 90^\circ$.

Решим полученное уравнение:
$x + 57^\circ = 90^\circ$
$x = 90^\circ - 57^\circ$
$x = 33^\circ$

Таким образом, градусная мера угла $DBE$ составляет $33^\circ$.

Ответ: $33^\circ$.

596. Выполните действия:

1) $1\,008 \cdot 604 - 105\,984 : 12 - 54\,321;$

2) $(57 \cdot 34 + 812\,754 : 27) : 18.$

1) $1008 \cdot 604 - 105984 : 12 - 54321$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание (также слева направо).

1. Выполним умножение:

$1008 \cdot 604 = 608832$

2. Выполним деление:

$105984 : 12 = 8832$

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание по порядку:

$608832 - 8832 - 54321$

4. Первое вычитание:

$608832 - 8832 = 600000$

5. Второе вычитание:

$600000 - 54321 = 545679$

Ответ: 545679

2) $(57 \cdot 34 + 812754 : 27) : 18$

В этом примере сначала выполняются действия в скобках, а затем действие за скобками. Внутри скобок приоритет у умножения и деления, после чего выполняется сложение.

1. Выполним умножение в скобках:

$57 \cdot 34 = 1938$

2. Выполним деление в скобках:

$812754 : 27 = 30102$

3. Теперь выполним сложение результатов внутри скобок:

$1938 + 30102 = 32040$

4. Наконец, разделим результат, полученный в скобках, на 18:

$32040 : 18 = 1780$

Ответ: 1780

597. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 30 км. Из города $A$ в город $B$ выехал велосипедист и двигался со скоростью 15 км/ч. Одновременно из города $B$ в направлении города $A$ вылетела птица со скоростью 30 км/ч. Встретившись с велосипедистом, птица развернулась и полетела назад. Прилетев в город $B$, она снова развернулась и полетела навстречу велосипедисту. Встретившись с ним, птица развернулась и полетела назад в город $B$ и т. д. Сколько километров пролетела птица за то время, пока велосипедист ехал из города $A$ в город $B$?

Эта задача, несмотря на кажущуюся сложность из-за многократных перемещений птицы, решается достаточно просто. Ключевым моментом является то, что общее время полета птицы равно времени, которое велосипедист потратил на весь свой путь из города А в город В.

1. Сначала найдем время, которое велосипедист находился в пути.
Расстояние между городами $S = 30$ км.
Скорость велосипедиста $v_{вел} = 15$ км/ч.
Время в пути $t$ находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.
$t_{вел} = \frac{30 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Таким образом, велосипедист ехал из города А в город В ровно 2 часа.

2. Птица летала без остановок все это время. Следовательно, общее время полета птицы также составляет 2 часа. Теперь мы можем найти общее расстояние, которое пролетела птица.
Скорость птицы $v_{пт} = 30$ км/ч.
Общее время полета $t_{пт} = t_{вел} = 2$ часа.
Общее расстояние, которое пролетела птица, найдем по формуле $S = v \cdot t$.
$S_{пт} = v_{пт} \cdot t_{пт} = 30 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 60$ км.

Ответ: 60 км.