Номер 590, страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

590. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна $12 \text{ см}^2$. Сколько квадратов площадью $4 \text{ см}^2$ можно вырезать из этого прямоугольника?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты размеров прямоугольного листа бумаги, удовлетворяющие условиям.

1. Определение размеров квадрата.

Площадь квадрата, который нужно вырезать, равна $S_{кв} = 4 \text{ см}^2$. Сторона такого квадрата $s$ находится по формуле $s = \sqrt{S_{кв}}$.

$s = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$.

Таким образом, из листа бумаги нужно вырезать квадраты размером $2 \times 2$ см.

2. Определение возможных размеров прямоугольника.

Площадь прямоугольного листа бумаги равна $S_{пр} = 12 \text{ см}^2$. По условию, его стороны $a$ и $b$ имеют целочисленную длину (в сантиметрах). Это значит, что $a$ и $b$ — натуральные числа, произведение которых равно 12. Найдем все возможные пары таких чисел:

• $1 \times 12 = 12$. Размеры листа: 1 см и 12 см.
• $2 \times 6 = 12$. Размеры листа: 2 см и 6 см.
• $3 \times 4 = 12$. Размеры листа: 3 см и 4 см.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы определить, сколько квадратов $2 \times 2$ см можно вырезать.

Случай 1: Размеры листа 1 см × 12 см

Ширина этого прямоугольника равна 1 см, что меньше стороны квадрата (2 см). Следовательно, из такого листа невозможно вырезать ни одного квадрата размером $2 \times 2$ см. Математически, количество квадратов, которые можно уложить, равно $\lfloor \frac{1}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{12}{2} \rfloor = 0 \times 6 = 0$.

Ответ: 0 квадратов.

Случай 2: Размеры листа 2 см × 6 см

Вдоль стороны длиной 2 см можно уложить $\lfloor \frac{2}{2} \rfloor = 1$ квадрат. Вдоль стороны длиной 6 см можно уложить $\lfloor \frac{6}{2} \rfloor = 3$ квадрата. Общее количество квадратов, которое можно вырезать, равно произведению этих чисел: $1 \times 3 = 3$.

Ответ: 3 квадрата.

Случай 3: Размеры листа 3 см × 4 см

Вдоль стороны длиной 3 см можно уложить $\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1$ квадрат (при этом останется полоска шириной 1 см). Вдоль стороны длиной 4 см можно уложить $\lfloor \frac{4}{2} \rfloor = 2$ квадрата. Общее количество квадратов, которое можно вырезать, равно $1 \times 2 = 2$.

Ответ: 2 квадрата.

Поскольку в условии не указаны конкретные размеры прямоугольника, а лишь его площадь и целочисленность сторон, задача имеет несколько возможных ответов в зависимости от формы листа. Таким образом, из прямоугольника можно вырезать 0, 2 или 3 квадрата.