Номер 592, страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

592. Внутри прямоугольника $ABCD$ (рис. 152) вырезали отверстие прямоугольной формы. Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями?

Рис. 151

Рис. 152

Для решения этой задачи используется свойство центра симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры (для прямоугольника это точка пересечения диагоналей), делит площадь этой фигуры пополам.

Пусть большой прямоугольник $ABCD$ имеет площадь $S_1$, а вырезанное прямоугольное отверстие — площадь $S_2$. Тогда площадь полученной фигуры $F$ составляет $S_F = S_1 - S_2$.

Найдём центр симметрии $O_1$ большого прямоугольника $ABCD$. Он находится в точке пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Аналогично, найдём центр симметрии $O_2$ внутреннего прямоугольника (отверстия). Он также является точкой пересечения его диагоналей.

Проведём прямую линию через точки $O_1$ и $O_2$. Докажем, что эта прямая делит фигуру $F$ на две части равной площади.

1. Так как проведённая прямая проходит через центр $O_1$ большого прямоугольника, она делит его на две равные по площади части, каждая площадью $S_1/2$.

2. Так как эта же прямая проходит через центр $O_2$ малого прямоугольника (отверстия), она делит его площадь также на две равные части, каждая площадью $S_2/2$.

Прямая делит исходную фигуру $F$ на две части, назовем их $F_A$ и $F_B$. Площадь каждой части можно найти как разность площадей соответствующих частей большого и малого прямоугольников.

Площадь первой части $F_A$ будет равна: $S_{F_A} = \frac{S_1}{2} - \frac{S_2}{2} = \frac{S_1 - S_2}{2}$

Площадь второй части $F_B$ будет равна: $S_{F_B} = \frac{S_1}{2} - \frac{S_2}{2} = \frac{S_1 - S_2}{2}$

Поскольку $S_{F_A} = S_{F_B}$, прямая, проходящая через центры обоих прямоугольников, делит полученную фигуру на две фигуры с равными площадями.

Ответ: Необходимо найти центры обоих прямоугольников (точки пересечения их диагоналей) и провести через эти две точки прямую линию. Этот прямолинейный разрез разделит фигуру на две части равной площади.