Номер 594, страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

594. Можно ли разрезать квадрат на несколько частей так, чтобы потом из них можно было составить два квадрата, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров, если сторона данного квадрата равна:

1) 5 см;

2) 6 см?

Для решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что при разрезании фигуры и составлении из её частей новых фигур общая площадь сохраняется.

Пусть сторона исходного квадрата равна $c$. Его площадь равна $S = c^2$.

Из частей этого квадрата нужно составить два других квадрата. Пусть их стороны равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ должны быть целыми числами (в сантиметрах).

Сумма площадей двух новых квадратов равна $S_{новых} = a^2 + b^2$.

Так как площадь сохраняется, должно выполняться равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы проверить, можно ли квадрат целого числа $c$ представить в виде суммы квадратов двух других целых положительных чисел $a$ и $b$.

1) 5 см

В этом случае сторона исходного квадрата $c = 5$ см. Его площадь $S = 5^2 = 25$ см².

Нам нужно проверить, существуют ли такие целые числа $a > 0$ и $b > 0$, что $a^2 + b^2 = 25$.

Проверим возможные значения. Будем перебирать значения для $a$, начиная с 1:

• Если $a=1$, то $a^2=1$. Тогда $b^2 = 25 - 1 = 24$. $b = \sqrt{24}$, не является целым числом.
• Если $a=2$, то $a^2=4$. Тогда $b^2 = 25 - 4 = 21$. $b = \sqrt{21}$, не является целым числом.
• Если $a=3$, то $a^2=9$. Тогда $b^2 = 25 - 9 = 16$. $b = \sqrt{16} = 4$. Это целое число.

Мы нашли пару целых чисел: $a=3$ и $b=4$. Это означает, что равенство $5^2 = 3^2 + 4^2$ выполняется. Следовательно, квадрат со стороной 5 см можно разрезать и сложить из его частей два квадрата со сторонами 3 см и 4 см.

Ответ: Да, можно. Например, на два квадрата со сторонами 3 см и 4 см.

2) 6 см

В этом случае сторона исходного квадрата $c = 6$ см. Его площадь $S = 6^2 = 36$ см².

Нам нужно проверить, существуют ли такие целые числа $a > 0$ и $b > 0$, что $a^2 + b^2 = 36$.

Проверим возможные значения для $a$. Так как $a^2 < 36$, то $a$ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5.

• Если $a=1$, то $a^2=1$. Тогда $b^2 = 36 - 1 = 35$. $b = \sqrt{35}$, не является целым числом.
• Если $a=2$, то $a^2=4$. Тогда $b^2 = 36 - 4 = 32$. $b = \sqrt{32}$, не является целым числом.
• Если $a=3$, то $a^2=9$. Тогда $b^2 = 36 - 9 = 27$. $b = \sqrt{27}$, не является целым числом.
• Если $a=4$, то $a^2=16$. Тогда $b^2 = 36 - 16 = 20$. $b = \sqrt{20}$, не является целым числом.
• Если $a=5$, то $a^2=25$. Тогда $b^2 = 36 - 25 = 11$. $b = \sqrt{11}$, не является целым числом.

Мы перебрали все возможные целые значения для стороны одного из квадратов, и ни в одном случае сторона второго квадрата не получилась целым числом. Следовательно, представить 36 в виде суммы двух квадратов целых положительных чисел невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.