Страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

588. Длина прямоугольника равна 32 см. На сколько квадратных сантиметров уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширину уменьшить на 5 см?

Обозначим длину прямоугольника как $l$, его первоначальную ширину — $w_1$, а первоначальную площадь — $S_1$.

Согласно условию, длина прямоугольника $l = 32$ см.

Первоначальная площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

$S_1 = l \cdot w_1 = 32w_1$

После того как ширину уменьшили на 5 см, новая ширина $w_2$ стала равна:

$w_2 = w_1 - 5$

Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:

$S_2 = l \cdot w_2 = 32 \cdot (w_1 - 5)$

Чтобы найти, на сколько квадратных сантиметров уменьшилась площадь, необходимо найти разность между первоначальной и новой площадями ($\Delta S$):

$\Delta S = S_1 - S_2 = 32w_1 - 32 \cdot (w_1 - 5)$

Раскроем скобки в выражении:

$\Delta S = 32w_1 - 32w_1 + 32 \cdot 5$

Упростим выражение:

$\Delta S = 160$

Таким образом, площадь прямоугольника уменьшится на 160 см². Это уменьшение равно площади прямоугольника с длиной 32 см и шириной 5 см.

Ответ: 160 см².

589. Площадь квадрата $ABCD$ равна $16 \text{ см}^2$ (рис. 151). Чему равна площадь прямоугольника $ACFE$?

Рис. 151

Площадь квадрата $ABCD$ равна $S_{ABCD} = 16$ см². Площадь квадрата также вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. Следовательно, сторона квадрата $ABCD$ равна $a = \sqrt{16} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Его катеты $AD$ и $CD$ являются сторонами квадрата, поэтому $AD = CD = 4$ см. Гипотенуза $AC$ является диагональю квадрата. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Из рисунка видно, что диагональ квадрата $AC$ является одной из сторон прямоугольника $ACFE$. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Обозначим стороны прямоугольника как $AC$ и $AE$. Тогда площадь прямоугольника $S_{ACFE} = AC \cdot AE$.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны параллельны, то есть $AC \parallel EF$. На рисунке показано, что вершина квадрата $D$ лежит на стороне $EF$ прямоугольника. Следовательно, длина второй стороны прямоугольника, $AE$, равна перпендикулярному расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $EF$. Так как точка $D$ лежит на прямой $EF$, это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Расстояние от вершины $D$ до диагонали $AC$ равно половине длины диагонали $BD$.

Длина диагонали $BD$ равна длине диагонали $AC$, то есть $BD = AC = 4\sqrt{2}$ см.

Тогда расстояние от точки $D$ до $AC$, которое равно стороне $AE$ прямоугольника, составляет:

$AE = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь прямоугольника $ACFE$:

$S_{ACFE} = AC \cdot AE = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot (\sqrt{2})^2 = 8 \cdot 2 = 16$ см².

Ответ: 16 см².

590. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна $12 \text{ см}^2$. Сколько квадратов площадью $4 \text{ см}^2$ можно вырезать из этого прямоугольника?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты размеров прямоугольного листа бумаги, удовлетворяющие условиям.

1. Определение размеров квадрата.

Площадь квадрата, который нужно вырезать, равна $S_{кв} = 4 \text{ см}^2$. Сторона такого квадрата $s$ находится по формуле $s = \sqrt{S_{кв}}$.

$s = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$.

Таким образом, из листа бумаги нужно вырезать квадраты размером $2 \times 2$ см.

2. Определение возможных размеров прямоугольника.

Площадь прямоугольного листа бумаги равна $S_{пр} = 12 \text{ см}^2$. По условию, его стороны $a$ и $b$ имеют целочисленную длину (в сантиметрах). Это значит, что $a$ и $b$ — натуральные числа, произведение которых равно 12. Найдем все возможные пары таких чисел:

• $1 \times 12 = 12$. Размеры листа: 1 см и 12 см.
• $2 \times 6 = 12$. Размеры листа: 2 см и 6 см.
• $3 \times 4 = 12$. Размеры листа: 3 см и 4 см.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы определить, сколько квадратов $2 \times 2$ см можно вырезать.

Случай 1: Размеры листа 1 см × 12 см

Ширина этого прямоугольника равна 1 см, что меньше стороны квадрата (2 см). Следовательно, из такого листа невозможно вырезать ни одного квадрата размером $2 \times 2$ см. Математически, количество квадратов, которые можно уложить, равно $\lfloor \frac{1}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{12}{2} \rfloor = 0 \times 6 = 0$.

Ответ: 0 квадратов.

Случай 2: Размеры листа 2 см × 6 см

Вдоль стороны длиной 2 см можно уложить $\lfloor \frac{2}{2} \rfloor = 1$ квадрат. Вдоль стороны длиной 6 см можно уложить $\lfloor \frac{6}{2} \rfloor = 3$ квадрата. Общее количество квадратов, которое можно вырезать, равно произведению этих чисел: $1 \times 3 = 3$.

Ответ: 3 квадрата.

Случай 3: Размеры листа 3 см × 4 см

Вдоль стороны длиной 3 см можно уложить $\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1$ квадрат (при этом останется полоска шириной 1 см). Вдоль стороны длиной 4 см можно уложить $\lfloor \frac{4}{2} \rfloor = 2$ квадрата. Общее количество квадратов, которое можно вырезать, равно $1 \times 2 = 2$.

Ответ: 2 квадрата.

Поскольку в условии не указаны конкретные размеры прямоугольника, а лишь его площадь и целочисленность сторон, задача имеет несколько возможных ответов в зависимости от формы листа. Таким образом, из прямоугольника можно вырезать 0, 2 или 3 квадрата.

591. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна $18 \text{ см}^2$. Сколько квадратов со стороной $3 \text{ см}$ можно вырезать из этого листа?

Пусть стороны прямоугольного листа бумаги равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — целые числа в сантиметрах, а площадь листа $S = a \cdot b = 18 \text{ см}^2$.

Сначала найдем все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 18. Эти пары будут соответствовать возможным размерам листа бумаги:

• $1 \text{ см} \times 18 \text{ см}$
• $2 \text{ см} \times 9 \text{ см}$
• $3 \text{ см} \times 6 \text{ см}$

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев и определим, сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать.

• Случай 1: Размеры листа 1 см × 18 см.

  Поскольку одна из сторон листа (1 см) меньше стороны квадрата (3 см), из такого листа невозможно вырезать ни одного квадрата со стороной 3 см.

• Случай 2: Размеры листа 2 см × 9 см.

  Аналогично первому случаю, одна из сторон листа (2 см) меньше стороны квадрата (3 см). Следовательно, из этого листа также нельзя вырезать ни одного квадрата 3×3 см.

• Случай 3: Размеры листа 3 см × 6 см.

  В этом случае обе стороны листа не меньше стороны квадрата. Вдоль стороны длиной 3 см помещается ровно $3 / 3 = 1$ квадрат. Вдоль стороны длиной 6 см помещается $6 / 3 = 2$ квадрата. Общее количество квадратов, которые можно вырезать, равно произведению этих чисел: $1 \cdot 2 = 2$.

Таким образом, только из листа размером 3 см × 6 см можно вырезать квадраты со стороной 3 см, и их количество будет равно 2.

Ответ: 2.

592. Внутри прямоугольника $ABCD$ (рис. 152) вырезали отверстие прямоугольной формы. Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями?

Рис. 151

Рис. 152

Для решения этой задачи используется свойство центра симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры (для прямоугольника это точка пересечения диагоналей), делит площадь этой фигуры пополам.

Пусть большой прямоугольник $ABCD$ имеет площадь $S_1$, а вырезанное прямоугольное отверстие — площадь $S_2$. Тогда площадь полученной фигуры $F$ составляет $S_F = S_1 - S_2$.

Найдём центр симметрии $O_1$ большого прямоугольника $ABCD$. Он находится в точке пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Аналогично, найдём центр симметрии $O_2$ внутреннего прямоугольника (отверстия). Он также является точкой пересечения его диагоналей.

Проведём прямую линию через точки $O_1$ и $O_2$. Докажем, что эта прямая делит фигуру $F$ на две части равной площади.

1. Так как проведённая прямая проходит через центр $O_1$ большого прямоугольника, она делит его на две равные по площади части, каждая площадью $S_1/2$.

2. Так как эта же прямая проходит через центр $O_2$ малого прямоугольника (отверстия), она делит его площадь также на две равные части, каждая площадью $S_2/2$.

Прямая делит исходную фигуру $F$ на две части, назовем их $F_A$ и $F_B$. Площадь каждой части можно найти как разность площадей соответствующих частей большого и малого прямоугольников.

Площадь первой части $F_A$ будет равна: $S_{F_A} = \frac{S_1}{2} - \frac{S_2}{2} = \frac{S_1 - S_2}{2}$

Площадь второй части $F_B$ будет равна: $S_{F_B} = \frac{S_1}{2} - \frac{S_2}{2} = \frac{S_1 - S_2}{2}$

Поскольку $S_{F_A} = S_{F_B}$, прямая, проходящая через центры обоих прямоугольников, делит полученную фигуру на две фигуры с равными площадями.

Ответ: Необходимо найти центры обоих прямоугольников (точки пересечения их диагоналей) и провести через эти две точки прямую линию. Этот прямолинейный разрез разделит фигуру на две части равной площади.

593. Используя четыре из пяти изображённых на рисунке 153 фигур, составьте квадрат.

Рис. 153

Для того чтобы составить квадрат из четырех из пяти предложенных фигур, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить площади фигур.

   Сначала посчитаем, из скольких единичных квадратиков состоит каждая фигура (ее площадь). Пронумеруем фигуры слева направо от 1 до 5:

   • Фигура 1: 3 квадратика.
   • Фигура 2: 2 квадратика.
   • Фигура 3: 4 квадратика.
   • Фигура 4: 5 квадратиков.
   • Фигура 5: 5 квадратиков.
2. Найти подходящую комбинацию фигур.

   Площадь итогового квадрата должна быть равна сумме площадей четырех выбранных фигур. Также площадь квадрата должна быть полным квадратом ($S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата). Давайте проверим все возможные комбинации, исключая по одной фигуре.

   Общая площадь всех пяти фигур: $3 + 2 + 4 + 5 + 5 = 19$.

   • Исключаем фигуру 1 (площадь 3): $19 - 3 = 16$. Число 16 является полным квадратом ($16 = 4^2$). Это означает, что из оставшихся четырех фигур (2, 3, 4 и 5) можно составить квадрат со стороной 4.
   • Исключаем фигуру 2 (площадь 2): $19 - 2 = 17$. Не является полным квадратом.
   • Исключаем фигуру 3 (площадь 4): $19 - 4 = 15$. Не является полным квадратом.
   • Исключаем фигуру 4 (площадь 5): $19 - 5 = 14$. Не является полным квадратом.
   • Исключаем фигуру 5 (площадь 5): $19 - 5 = 14$. Не является полным квадратом.

   Единственный возможный вариант — использовать фигуры 2, 3, 4 и 5 для составления квадрата размером $4 \times 4$.

3. Собрать квадрат.

   Теперь необходимо расположить выбранные фигуры (домино, Т-образную, "лесенку" и "скобку") так, чтобы они образовали квадрат $4 \times 4$. Это можно сделать следующим образом:

   На рисунке выше показано, как четыре фигуры (оранжевая "лесенка", синяя "скобка", зеленая Т-образная и красное домино) складываются в квадрат.

Ответ: Чтобы составить квадрат, нужно использовать вторую, третью, четвертую и пятую фигуры. Их общая площадь равна 16 ($2+4+5+5$), что позволяет составить квадрат $4 \times 4$, как показано на схеме.

594. Можно ли разрезать квадрат на несколько частей так, чтобы потом из них можно было составить два квадрата, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров, если сторона данного квадрата равна:

1) 5 см;

2) 6 см?

Для решения этой задачи воспользуемся тем фактом, что при разрезании фигуры и составлении из её частей новых фигур общая площадь сохраняется.

Пусть сторона исходного квадрата равна $c$. Его площадь равна $S = c^2$.

Из частей этого квадрата нужно составить два других квадрата. Пусть их стороны равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ должны быть целыми числами (в сантиметрах).

Сумма площадей двух новых квадратов равна $S_{новых} = a^2 + b^2$.

Так как площадь сохраняется, должно выполняться равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы проверить, можно ли квадрат целого числа $c$ представить в виде суммы квадратов двух других целых положительных чисел $a$ и $b$.

1) 5 см

В этом случае сторона исходного квадрата $c = 5$ см. Его площадь $S = 5^2 = 25$ см².

Нам нужно проверить, существуют ли такие целые числа $a > 0$ и $b > 0$, что $a^2 + b^2 = 25$.

Проверим возможные значения. Будем перебирать значения для $a$, начиная с 1:

• Если $a=1$, то $a^2=1$. Тогда $b^2 = 25 - 1 = 24$. $b = \sqrt{24}$, не является целым числом.
• Если $a=2$, то $a^2=4$. Тогда $b^2 = 25 - 4 = 21$. $b = \sqrt{21}$, не является целым числом.
• Если $a=3$, то $a^2=9$. Тогда $b^2 = 25 - 9 = 16$. $b = \sqrt{16} = 4$. Это целое число.

Мы нашли пару целых чисел: $a=3$ и $b=4$. Это означает, что равенство $5^2 = 3^2 + 4^2$ выполняется. Следовательно, квадрат со стороной 5 см можно разрезать и сложить из его частей два квадрата со сторонами 3 см и 4 см.

Ответ: Да, можно. Например, на два квадрата со сторонами 3 см и 4 см.

2) 6 см

В этом случае сторона исходного квадрата $c = 6$ см. Его площадь $S = 6^2 = 36$ см².

Нам нужно проверить, существуют ли такие целые числа $a > 0$ и $b > 0$, что $a^2 + b^2 = 36$.

Проверим возможные значения для $a$. Так как $a^2 < 36$, то $a$ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5.

• Если $a=1$, то $a^2=1$. Тогда $b^2 = 36 - 1 = 35$. $b = \sqrt{35}$, не является целым числом.
• Если $a=2$, то $a^2=4$. Тогда $b^2 = 36 - 4 = 32$. $b = \sqrt{32}$, не является целым числом.
• Если $a=3$, то $a^2=9$. Тогда $b^2 = 36 - 9 = 27$. $b = \sqrt{27}$, не является целым числом.
• Если $a=4$, то $a^2=16$. Тогда $b^2 = 36 - 16 = 20$. $b = \sqrt{20}$, не является целым числом.
• Если $a=5$, то $a^2=25$. Тогда $b^2 = 36 - 25 = 11$. $b = \sqrt{11}$, не является целым числом.

Мы перебрали все возможные целые значения для стороны одного из квадратов, и ни в одном случае сторона второго квадрата не получилась целым числом. Следовательно, представить 36 в виде суммы двух квадратов целых положительных чисел невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.