Страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

1) $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$;

2) $10 \cdot 10 \cdot 10$;

3) $a \cdot a \cdot a \cdot a$;

4) $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$;

5) $3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m$;

6) $\underbrace{6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6}_{\text{10 множителей}}$;

7) $\underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{\text{8 множителей}}$;

8) $\underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{\text{n множителей}}$;

1) В выражении $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$ множитель 9 повторяется 4 раза. Чтобы заменить произведение степенью, нужно взять повторяющийся множитель в качестве основания степени, а количество его повторений — в качестве показателя степени. Таким образом, получаем $9^4$.
Ответ: $9^4$

2) В выражении $10 \cdot 10 \cdot 10$ множитель 10 повторяется 3 раза. Заменяя произведение степенью, где 10 — основание, а 3 — показатель, получаем $10^3$.
Ответ: $10^3$

3) В выражении $a \cdot a \cdot a$ множитель $a$ повторяется 3 раза. По определению степени, это выражение равно $a^3$, где $a$ — основание, а 3 — показатель степени.
Ответ: $a^3$

4) В выражении $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ множитель $x$ повторяется 5 раз. Следовательно, данное произведение можно записать в виде степени $x^5$.
Ответ: $x^5$

5) В выражении $3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m$ множитель $3m$ повторяется 5 раз. Важно взять всё выражение $3m$ в скобки, так как оно целиком является основанием степени. Результат будет $(3m)^5$.
Ответ: $(3m)^5$

6) В выражении указано, что число 6 умножается само на себя 10 раз. Это по определению является степенью числа 6 с показателем 10. Таким образом, выражение $\underbrace{6 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 6}_{10 \text{ множителей}}$ равно $6^{10}$.
Ответ: $6^{10}$

7) В выражении указано, что переменная $y$ умножается сама на себя 8 раз. Это можно записать в виде степени $y^8$, где $y$ — основание, а 8 — показатель.
Ответ: $y^8$

8) В выражении переменная $c$ умножается сама на себя $n$ раз, где $n$ — некоторое натуральное число. Это обобщенный случай, который записывается в виде степени $c^n$.
Ответ: $c^n$

550. Найдите значение выражения:

1) $3^3$;

2) $7^2$;

3) $5^4$;

4) $2^5$;

5) $0^6$;

6) $1^{12}$.

1) Возведение в степень означает умножение числа на само себя указанное количество раз. В данном случае, $3^3$ (три в третьей степени или три в кубе) означает, что число 3 нужно умножить на себя 3 раза.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Ответ: 27.

2) Выражение $7^2$ (семь во второй степени или семь в квадрате) означает, что число 7 нужно умножить на себя 2 раза.
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 49.

3) Выражение $5^4$ (пять в четвертой степени) означает, что число 5 нужно умножить на себя 4 раза.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$.
Ответ: 625.

4) Выражение $2^5$ (два в пятой степени) означает, что число 2 нужно умножить на себя 5 раз.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Ответ: 32.

5) Выражение $0^6$ (ноль в шестой степени) означает, что число 0 нужно умножить на себя 6 раз. Любое умножение на ноль дает в результате ноль.
$0^6 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

6) Выражение $1^{12}$ (один в двенадцатой степени) означает, что число 1 нужно умножить на себя 12 раз. Единица, умноженная на себя любое количество раз, всегда равна единице.
$1^{12} = 1$.
Ответ: 1.

551. Найдите значение выражения:

1) $9^3$;

2) $12^2$;

3) $2^4$;

4) $1^{100}$;

5) $100^1$;

6) $10^3$.

1) Чтобы найти значение выражения $9^3$, необходимо возвести число 9 в третью степень (или в куб). Это означает, что основание степени (число 9) нужно умножить само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени (число 3). Выполним вычисление: $9^3 = 9 \times 9 \times 9$. Сначала $9 \times 9 = 81$, а затем $81 \times 9 = 729$. Таким образом, $9^3 = 729$. Ответ: 729

2) Чтобы найти значение выражения $12^2$, необходимо возвести число 12 во вторую степень (или в квадрат). Это означает, что число 12 нужно умножить само на себя два раза. Выполним вычисление: $12^2 = 12 \times 12 = 144$. Ответ: 144

3) Чтобы найти значение выражения $2^4$, необходимо возвести число 2 в четвертую степень. Это означает, что число 2 нужно умножить само на себя четыре раза. Выполним вычисление: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 4 \times 2 \times 2 = 8 \times 2 = 16$. Ответ: 16

4) Чтобы найти значение выражения $1^{100}$, необходимо возвести число 1 в сотую степень. Существует правило, что число 1 в любой натуральной степени равно 1, так как умножение единицы на саму себя любое количество раз в результате дает единицу. Таким образом, $1^{100} = 1$. Ответ: 1

5) Чтобы найти значение выражения $100^1$, необходимо возвести число 100 в первую степень. По определению степени, любое число в первой степени равно самому себе ($a^1=a$). Следовательно, $100^1 = 100$. Ответ: 100

6) Чтобы найти значение выражения $10^3$, необходимо возвести число 10 в третью степень (или в куб). Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя три раза. Выполним вычисление: $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 100 \times 10 = 1000$. Ответ: 1000

552. Вычислите:

1) $10^2 - 7^2$;

2) $5^3 - 5^2$;

3) $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$;

4) $8^3 : 4^2 - 2^3$;

5) $25^2 : (24^2 + 7^2)$;

6) $10^3 - 10^2 + 9^3$.

1) $10^2 - 7^2$

Чтобы вычислить значение выражения, сначала возведем каждое число в квадрат, а затем выполним вычитание.

1. $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

2. $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

3. $100 - 49 = 51$

Ответ: 51

2) $5^3 - 5^2$

Сначала вычислим значения степеней, а потом найдем их разность.

1. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

2. $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

3. $125 - 25 = 100$

Ответ: 100

3) $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$

Соблюдаем порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление и умножение (слева направо), и в конце вычитание.

1. Возводим в степень: $42^2 = 1764$ и $4^2 = 16$.

2. Выполняем деление: $1764 : 14 = 126$.

3. Выполняем умножение: $16 \cdot 6 = 96$.

4. Выполняем вычитание: $126 - 96 = 30$.

Ответ: 30

4) $8^3 : 4^2 - 2^3$

Выполняем действия в следующем порядке: возведение в степень, деление, вычитание.

1. Возводим в степень: $8^3 = 512$, $4^2 = 16$ и $2^3 = 8$.

2. Выполняем деление: $512 : 16 = 32$.

3. Выполняем вычитание: $32 - 8 = 24$.

Ответ: 24

5) $25^2 : (24^2 + 7^2)$

Сначала выполняем действия в скобках (возведение в степень, затем сложение), после этого — деление.

1. Вычисляем значения в скобках: $24^2 = 576$ и $7^2 = 49$.

2. Складываем результаты: $576 + 49 = 625$.

3. Возводим в степень делимое: $25^2 = 625$.

4. Выполняем деление: $625 : 625 = 1$.

Ответ: 1

6) $10^3 - 10^2 + 9^3$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание и сложение слева направо.

1. Возводим в степень: $10^3 = 1000$, $10^2 = 100$ и $9^3 = 729$.

2. Выполняем вычитание: $1000 - 100 = 900$.

3. Выполняем сложение: $900 + 729 = 1629$.

Ответ: 1629

553. Вычислите:

1) $3^2 + 4^2;$

2) $3^3 + 2^3;$

3) $26^2 - (12^2 \cdot 3 + 175);$

4) $6^3 - 2 \cdot 4^3 - 1^3;$

5) $15^2 : (13^2 - 124);$

6) $8^3 : (4^2 - 2^3).$

1) Для вычисления значения выражения $3^2 + 4^2$ сначала возведем каждое число в степень, а затем сложим полученные результаты.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$
$9 + 16 = 25$
Ответ: 25

2) Для вычисления значения выражения $3^3 + 2^3$ сначала возведем каждое число в степень, а затем сложим полученные результаты.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$27 + 8 = 35$
Ответ: 35

3) Для вычисления значения выражения $26^2 - (12^2 \cdot 3 + 175)$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (возведение в степень, умножение, сложение), затем возведение в степень вне скобок и, наконец, вычитание.
1. $12^2 = 144$
2. $144 \cdot 3 = 432$
3. $432 + 175 = 607$
4. $26^2 = 676$
5. $676 - 607 = 69$
Полная запись решения: $26^2 - (12^2 \cdot 3 + 175) = 676 - (144 \cdot 3 + 175) = 676 - (432 + 175) = 676 - 607 = 69$.
Ответ: 69

4) Для вычисления значения выражения $6^3 - 2 \cdot 4^3 - 1^3$ сначала возводим числа в степень, затем выполняем умножение и после этого вычитание.
1. $6^3 = 216$
2. $4^3 = 64$
3. $1^3 = 1$
4. $2 \cdot 64 = 128$
5. $216 - 128 = 88$
6. $88 - 1 = 87$
Полная запись решения: $6^3 - 2 \cdot 4^3 - 1^3 = 216 - 2 \cdot 64 - 1 = 216 - 128 - 1 = 87$.
Ответ: 87

5) Для вычисления значения выражения $15^2 : (13^2 - 124)$ сначала выполняем действия в скобках (возведение в степень, затем вычитание), после чего выполняем деление.
1. $13^2 = 169$
2. $169 - 124 = 45$
3. $15^2 = 225$
4. $225 : 45 = 5$
Полная запись решения: $15^2 : (13^2 - 124) = 225 : (169 - 124) = 225 : 45 = 5$.
Ответ: 5

6) Для вычисления значения выражения $8^3 : (4^2 - 2^3)$ сначала выполняем действия в скобках (возведение в степень, затем вычитание), после чего выполняем деление.
1. $4^2 = 16$
2. $2^3 = 8$
3. $16 - 8 = 8$
4. $8^3 = 512$
5. $512 : 8 = 64$
Полная запись решения: $8^3 : (4^2 - 2^3) = 512 : (16 - 8) = 512 : 8 = 64$.
Ответ: 64

554. Найдите значение выражения:

1) $16 - c^3$, если $c = 2$;

2) $x^3 - x^2$, если $x = 10$;

3) $15a^2$, если $a = 4$;

4) $a^2b^3$, если $a = 6, b = 10$;

5) $(x^2 - y^2) : (x - y)$, если $x = 4, y = 2$;

6) $(x^2 - y^2) : x - y$, если $x = 4, y = 2$;

7) $x^2 - y^2 : (x - y)$, если $x = 4, y = 2$;

8) $x^2 - y^2 : x - y$, если $x = 4, y = 2$.

1) Чтобы найти значение выражения $16 - c^3$ при $c = 2$, подставим значение $c$ в выражение:

$16 - 2^3 = 16 - (2 \cdot 2 \cdot 2) = 16 - 8 = 8$.

Ответ: 8

2) Подставим значение $x = 10$ в выражение $x^3 - x^2$:

$10^3 - 10^2 = 1000 - 100 = 900$.

Ответ: 900

3) Подставим значение $a = 4$ в выражение $15a^2$:

$15a^2 = 15 \cdot 4^2 = 15 \cdot 16 = 240$.

Ответ: 240

4) Подставим значения $a = 6$ и $b = 10$ в выражение $a^2b^3$:

$a^2b^3 = 6^2 \cdot 10^3 = 36 \cdot 1000 = 36000$.

Ответ: 36000

5) Для нахождения значения выражения $(x^2 - y^2) : (x - y)$ при $x = 4$ и $y = 2$, подставим эти значения:

$(4^2 - 2^2) : (4 - 2) = (16 - 4) : 2 = 12 : 2 = 6$.

Также можно было упростить выражение, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(x^2 - y^2) : (x - y) = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$.

Подставив значения, получаем: $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

6) Вычислим значение выражения $(x^2 - y^2) : x - y$ при $x = 4$ и $y = 2$, соблюдая порядок действий (сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание):

$(4^2 - 2^2) : 4 - 2 = (16 - 4) : 4 - 2 = 12 : 4 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

7) Вычислим значение выражения $x^2 - y^2 : (x - y)$ при $x = 4$ и $y = 2$, соблюдая порядок действий (сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание):

$4^2 - 2^2 : (4 - 2) = 16 - 4 : 2 = 16 - 2 = 14$.

Ответ: 14

8) Вычислим значение выражения $x^2 - y^2 : x - y$ при $x = 4$ и $y = 2$, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, затем деление, затем вычитание слева направо):

$4^2 - 2^2 : 4 - 2 = 16 - 4 : 4 - 2 = 16 - 1 - 2 = 15 - 2 = 13$.

Ответ: 13

555. Найдите значение выражения:

1) $x^2 - 14$, если $x = 5; 7; 18;$

2) $2y^2 + 13$, если $y = 6; 8; 9; 100.$

1) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 14$, необходимо подставить в него заданные значения переменной $x$ и выполнить вычисления.

При $x = 5$:
$x^2 - 14 = 5^2 - 14 = 25 - 14 = 11$.

При $x = 7$:
$x^2 - 14 = 7^2 - 14 = 49 - 14 = 35$.

При $x = 18$:
$x^2 - 14 = 18^2 - 14 = 324 - 14 = 310$.

Ответ: 11; 35; 310.

2) Чтобы найти значение выражения $2y^2 + 13$, необходимо подставить в него заданные значения переменной $y$ и выполнить вычисления.

При $y = 6$:
$2y^2 + 13 = 2 \cdot 6^2 + 13 = 2 \cdot 36 + 13 = 72 + 13 = 85$.

При $y = 8$:
$2y^2 + 13 = 2 \cdot 8^2 + 13 = 2 \cdot 64 + 13 = 128 + 13 = 141$.

При $y = 9$:
$2y^2 + 13 = 2 \cdot 9^2 + 13 = 2 \cdot 81 + 13 = 162 + 13 = 175$.

При $y = 100$:
$2y^2 + 13 = 2 \cdot 100^2 + 13 = 2 \cdot 10000 + 13 = 20000 + 13 = 20013$.

Ответ: 85; 141; 175; 20013.

556. Запишите в виде степени с основанием $3$ число:

1) $9$;

2) $27$;

3) $243$;

4) $81$.

1) Чтобы записать число 9 в виде степени с основанием 3, необходимо найти показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $3^x = 9$. Поскольку $3 \cdot 3 = 9$, мы видим, что число 3 умножается само на себя дважды. Следовательно, $9 = 3^2$.
Ответ: $3^2$.

2) Для числа 27 найдём такой показатель степени $x$, что $3^x = 27$. Разложим число 27 на множители: $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot (3 \cdot 3) = 3 \cdot 3 \cdot 3$. Множитель 3 повторяется три раза, поэтому $27 = 3^3$.
Ответ: $3^3$.

3) Чтобы представить число 243 в виде степени с основанием 3, найдём, сколько раз нужно умножить 3 само на себя, чтобы получить 243. Мы можем это сделать последовательным умножением: $3^1 = 3$; $3^2 = 9$; $3^3 = 27$; $3^4 = 81$; $3^5 = 81 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $243 = 3^5$.
Ответ: $3^5$.

4) Для числа 81 найдём показатель степени $x$, для которого $3^x = 81$. Мы можем представить 81 как произведение двух девяток: $81 = 9 \cdot 9$. Так как $9 = 3^2$, то $81 = 3^2 \cdot 3^2$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $81 = 3^{2+2} = 3^4$.
Ответ: $3^4$.

557. Запишите в виде степени с основанием 2 число:

1) 4;

2) 16;

3) 32;

4) 256.

1) 4;

Чтобы представить число 4 в виде степени с основанием 2, нужно найти такой показатель степени $x$, при котором выполняется равенство $2^x = 4$.

Мы знаем, что $2 \cdot 2 = 4$. Это означает, что 2 нужно умножить на себя 2 раза, чтобы получить 4.

Следовательно, $4 = 2^2$.

Ответ: $2^2$.

2) 16;

Аналогично, ищем показатель степени $x$ для равенства $2^x = 16$.

Можно разложить число 16 на множители, равные 2:

$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Мы умножили 2 на себя 4 раза, значит, $16 = 2^4$.

Ответ: $2^4$.

3) 32;

Представим число 32 в виде степени с основанием 2. Ищем $x$ в равенстве $2^x = 32$.

Можно продолжить умножение на 2, используя результат из предыдущего примера: $32 = 16 \cdot 2$.

Так как $16 = 2^4$, то $32 = 2^4 \cdot 2^1$.

По свойству степеней, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^4 \cdot 2^1 = 2^{4+1} = 2^5$.

Ответ: $2^5$.

4) 256;

Представим число 256 в виде степени с основанием 2. Ищем $x$ в равенстве $2^x = 256$.

Можно заметить, что число 256 равно $16 \cdot 16$.

Из пункта 2 мы знаем, что $16 = 2^4$. Подставим это значение в произведение:

$256 = 16 \cdot 16 = 2^4 \cdot 2^4$.

Используя свойство умножения степеней, получаем:

$2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8$.

Ответ: $2^8$.